§6.10ι΄.
10.
Εἰς δύο εὐθείας τὰς ΒΑΕ, ∠ΑΗ ἀπὸ τοῦ Θ σημείου δύο διήχθωσαν εὐθεῖαι αἱ ∠Θ, ΘΕ, ἔστω δέ, ὡς τὸ ὑπὸ τῶν ∠Θ, ΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ∠Γ, ΒΘ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΘΗ, ΖΕ πρὸς τὸ ὑπὸ ΘΕ, ΖΗ ὅτι εὐθεῖά ἔστιν ἡ διὰ τῶν Α, Ζ.
ἤχθω διὰ τοῦ Θ τῇ ΓΑ παράλληλος ἡ ΚΛ καὶ συμπιπτέτω ταῖς ΑΒ, Α∠ κατὰ τὰ Κ, Λ σημεῖα, καὶ διὰ τοῦ Λ τῇ Α∠ παράλληλος ἤχθω ἡ ΛΜ, καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΕΘ ἐπὶ τὸ Μ, διὰ δὲ τοῦ Κ τῇ ΑΒ παράλληλος ἤχθω ἡ ΚΝ, καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ∠Θ ἐπὶ τὸ Ν.
ἐπεὶ οὖν διὰ τὰς παραλλήλους γίνεται, ὡς ἡ ∠Θ πρὸς τὴν ΘΝ, οὕτως ἡ ∠Γ πρὸς τὴν ΓΒ, τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ∠Θ, ΓΒ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν ∠Γ, ΘΝ. ἄλλο δέ τι τυχὸν τὸ ὑπὸ ∠Γ ΒΘ·
두 직선 ΒΑΕ, ∠ΑΗ에 대하여 점 Θ로부터 두 직선 ∠Θ, ΘΕ가 그어져 있다고 하고, ∠Θ와 ΒΓ가 만드는 직사각형의, ∠Γ와 ΒΘ가 만드는 직사각형에 대한 비가, ΘΗ와 ΖΕ가 만드는 직사각형의, ΘΕ와 ΖΗ가 만드는 직사각형에 대한 비와 같다고 하자. Α, Ζ를 지나는 선은 직선임을 (보여야 한다). Θ를 지나며 ΓΑ에 평행한 직선 ΚΛ을 긋고, ΑΒ, Α∠와 점 Κ, Λ에서 만나게 하라. 그리고 Λ을 지나며 Α∠에 평행한 직선 ΛΜ을 긋고, ΕΘ를 Μ까지 연장하라. 그리고 Κ를 지나며 ΑΒ에 평행한 직선 ΚΝ을 긋고, ∠Θ를 Ν까지 연장하라. 이제 평행선들에 의해, ∠Θ의 ΘΝ에 대한 비는 ∠Γ의 ΓΒ에 대한 비와 같게 되므로, 그러므로 ∠Θ와 ΓΒ가 만드는 직사각형은 ∠Γ와 ΘΝ이 만드는 직사각형과 같다. 한편, ∠Γ와 ΒΘ가 만드는 직사각형은 다른 어떤 임의의 양이다.
ἔστιν ἄρα, ὡς τὸ ὑπὸ ∠Θ, ΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ∠Γ ΒΘ, οὕτως τὸ ὑπὸ Γ∠, ΘΝ πρὸς τὸ ὑπὸ ∠Γ ΒΘ, τουτέστιν ἡ ΘΝ πρὸς ΘΒ. ἀλλ᾿ ὡς μὲν τὸ ὑπὸ Θ∠, ΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ∠Γ. ΒΘ, ὑπόκειται τὸ ὑπὸ ΘΗ, ΖΕ πρὸς τὸ ὑπὸ ΘΕ, ΖΗ, ὡς δὲ ἡ ΘΝ πρὸς ΘΒ, οὕτως ἡ ΚΘ πρὸς ΘΛ, τουτέστιν ἐν παραλλήλῳ ἡ ΗΘ πρὸς τὴν ΘΜ, τουτέστιν τὸ ὑπὸ ΘΗ, ΖΕ πρὸς τὸ ὑπὸ ΘΜ, ΖΕ καὶ ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ ΘΗ, ΖΕ πρὸς τὸ ὑπὸ ΘΕ, ΖΗ, οὕτως ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΘΗ, ΖΕ πρὸς τὸ ὑπὸ ΘΜ, ΖΕ ἴσον ἄρα ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΘΕ, ΖΗ τῷ ὑπὸ ΘΜ, ΖΕ. καὶ ἐπεί ἐστιν, ὡς ἡ ΘΜ πρὸς τὴν ΘΕ, οὕτως ἡ ΗΖ πρὸς τὴν ΖΕ, συνθέντι καὶ ἐναλλάξ ἐστιν, ὡς ἡ ΜΕ πρὸς τὴν ΕΗ, οὕτως ἡ ΘΕ πρὸς τὴν ΕΖ. ἀλλʼ ὡς ἡ ΜΕ πρὸς τὴν ΕΗ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΛΕ πρὸς τὴν ΕΑ·
그러므로 ∠Θ와 ΒΓ가 만드는 직사각형의, ∠Γ와 ΒΘ가 만드는 직사각형에 대한 비는, Γ∠와 ΘΝ이 만드는 직사각형의, ∠Γ와 ΒΘ가 만드는 직사각형에 대한 비와 같다. 즉 ΘΝ의 ΘΒ에 대한 비이다. 그런데 한편으로, Θ∠와 ΒΓ가 만드는 직사각형의, ∠Γ와 ΒΘ가 만드는 직사각형에 대한 비는 가정에 의해 ΘΗ와 ΖΕ가 만드는 직사각형의, ΘΕ와 ΖΗ가 만드는 직사각형에 대한 비와 같고, 다른 한편으로, ΘΝ의 ΘΒ에 대한 비는 ΚΘ의 ΘΛ에 대한 비와 같으며, 즉 평행선 사이에서 ΗΘ의 ΘΜ에 대한 비이고, 즉 ΘΗ와 ΖΕ가 만드는 직사각형의, ΘΜ과 ΖΕ가 만드는 직사각형에 대한 비이다. 그러므로 또한 ΘΗ와 ΖΕ가 만드는 직사각형의, ΘΕ와 ΖΗ가 만드는 직사각형에 대한 비는, ΘΗ와 ΖΕ가 만드는 직사각형의, ΘΜ과 ΖΕ가 만드는 직사각형에 대한 비와 같다. 그러므로 ΘΕ와 ΖΗ가 만드는 직사각형은 ΘΜ과 ΖΕ가 만드는 직사각형과 같다. 그리고 ΘΜ의 ΘΕ에 대한 비가 ΗΖ의 ΖΕ에 대한 비와 같으므로, 합비와 교대비를 취하면, ΜΕ의 ΕΗ에 대한 비는 ΘΕ의 ΕΖ에 대한 비와 같다. 그런데 ΜΕ의 ΕΗ에 대한 비는 ΛΕ의 ΕΑ에 대한 비와 같다.
καὶ ὡς ἄρα ἡ ΛΕ πρὸς τὴν ΕΑ, οὕτως ἡ ΘΕ πρὸς τὴν ΕΖ·
그러므로 또한 ΛΕ의 ΕΑ에 대한 비는 ΘΕ의 ΕΖ에 대한 비와 같다.
παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΖ τῇ ΚΛ. ἀλλὰ καὶ ἡ ΓΑ εὐθεῖα ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΑΖ·
그러므로 ΑΖ는 ΚΛ에 평행하다. 그런데 또한 ΚΛ은 ΓΑ에도 평행하다. 그러므로 ΓΑΖ는 직선이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 보여야 했던 것이다.
τὰ δὲ πτωτικὰ αὐτοῦ ὁμοίως τοῖς προγεγραμμένοις, ὧν ἐστιν ἀναστρόφιον.
그리고 그것의 여러 사례들은 전에 기록된 것들과 유사하며, 그것들의 역이다.
§6.11ια΄.
11.
Τρίγωνον τὸ ΑΒΓ. καὶ τῇ ΒΓ παράλληλος ἡ Α∠, καὶ διαχθεῖσα ἡ ∠Ε τῇ ΒΓ συμπιπτέτω κατὰ τὸ Ε σημεῖον·
삼각형 ΑΒΓ가 있다고 하자. 그리고 ΒΓ에 평행한 직선 Α∠가 그어지고, 그어진 직선 ∠Ε가 ΒΓ와 점 Ε에서 만난다고 하자.
ὅτι ἐστίν, ὡς τὸ ὑπὸ ∠Ε, ΖΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΖ, Η∠, οὕτως ἡ ΓΒ πρὸς τὴν ΒΕ.
ἤχθω διὰ τοῦ Γ τῇ ∠Ε παράλληλος ἡ ΓΘ, καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΑΒ ἐπὶ τὸ Θ.
ἐπεὶ οὖν ἐστιν, ὡς ἡ Γ πρὸς τὴν ΑΗ, οὕτως ἡ ΓΘ πρὸς τὴν ΖΗ, ὡς δὲ ἠ Γ πρὸς τὴν ΑΗ, οὕτως ἐστὶν ἡ Ε∠ πρὸς τὴν ∠Η. καὶ ὡς ἄρα ἡ Ε∠ πρὸς τὴν ∠Η, οὕτως ἐστὶν ἡ ΘΓ πρὸς τὴν ΖΗ τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΓΘ, ∠Η ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν Ε∠, ΖΗ. ἄλλο δέ τι τυχὸν τὸ ὑπὸ ΕΖ, Η∠ ἔστιν ἄρα, ὡς τὸ ὑπὸ ∠Ε, ΖΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ∠Η, ΕΖ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΓΘ, ∠Η πρὸς τὸ ὑπὸ ∠Η, ΕΖ, τουτέστιν ἡ ΓΘ πρὸς ΕΖ, τσυτέστιν ἡ ΓΒ πρὸς ΒΕ. ἔστιν οὖν, ὡς τὸ ὑπὸ ∠Ε, ΖΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΖ, Η∠, οὕτως ἡ ΓΒ πρὸς ΒΕ.
τὰ δʼ αὐτά, κἂν ἐπὶ τὰ ἕτερα μέρη ἀχθῇ ἡ Α∠ παράλληλος, καὶ ἀπὸ τοῦ ∠ ἐκτὸς ὡς ἐπὶ τὸ Γ διαχθῇ ἡ εὐθεῖα.
∠Ε와 ΖΗ가 만드는 직사각형의, ΕΖ와 Η∠가 만드는 직사각형에 대한 비는, ΓΒ의 ΒΕ에 대한 비와 같음을 (보여야 한다). Γ를 지나며 ∠Ε에 평행한 직선 ΓΘ를 긋고, ΑΒ를 Θ까지 연장하라. 이제 Γ의 ΑΗ에 대한 비가 ΓΘ의 ΖΗ에 대한 비와 같고, 한편 Γ의 ΑΗ에 대한 비는 Ε∠의 ∠Η에 대한 비와 같으므로, 그러므로 또한 Ε∠의 ∠Η에 대한 비는 ΘΓ의 ΖΗ에 대한 비와 같다. 그러므로 ΓΘ와 ∠Η가 만드는 직사각형은 Ε∠와 ΖΗ가 만드는 직사각형과 같다. 한편, ΕΖ와 Η∠가 만드는 직사각형은 다른 어떤 임의의 양이다. 그러므로 ∠Ε와 ΖΗ가 만드는 직사각형의, ∠Η와 ΕΖ가 만드는 직사각형에 대한 비는, ΓΘ와 ∠Η가 만드는 직사각형의, ∠Η와 ΕΖ가 만드는 직사각형에 대한 비와 같다. 즉 ΓΘ의 ΕΖ에 대한 비이고, 즉 ΓΒ의 ΒΕ에 대한 비이다. 그러므로 ∠Ε와 ΖΗ가 만드는 직사각형의, ΕΖ와 Η∠가 만드는 직사각형에 대한 비는, ΓΒ의 ΒΕ에 대한 비와 같다. 그리고 비록 Α∠가 다른 쪽으로 평행하게 그어지고, 직선이 점 ∠로부터 외측으로 Γ를 향해 그어지더라도, 같은 일이 성립한다.