§6.1α΄.
1.
Ἔστω καταγραφὴ ἡ ΑΒΓ∠ΕΖΗ, καὶ ἔστω, ὡς ἡ ΑΖ πρὸς τὴν ΖΗ, οὕτως ἡ Α∠ πρὸς τὴν ∠Γ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΘΚ ὅτι παράλληλός ἐστιν ἡ ΘΚ τῇ ΑΓ.
ἤχθω διὰ τοῦ Ζ τῇ Β∠ παράλληλος ἡ ΖΛ.
ἐπεὶ οὖν ἔστιν, ὡς ἡ ΑΖ πρὸς τὴν ΖΗ, οὕτως ἡ Α∠ πρὸς τὴν ∠Γ ἀνάπαλιν καὶ συνθέντι καὶ ἐναλλάξ ἐστιν, ὡς ἡ ∠Α πρὸς τὴν ΑΖ, τουτέστιν ἐν παραλλήλῳ ὡς ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΛ, οὕτως ἡ ΓΑ πρὸς τὴν ΑΗ παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΛΗ τῇ ΒΓ ἔστιν ἄρα, ὡς ἡ ΕΒ πρὸς τὴν ΒΛ, οὕτως ἐν παραλλήλῳ ἡ ΕΘ πρὸς τὴν ΘΗ. ἔστι δὲ καί, ὡς ἡ ΕΒ πρὸς τὴν ΒΛ, οὕτως ἐν παραλλήλῳ ἡ ΕΚ πρὸς τὴν ΚΖ καὶ ὡς ἄρα ἡ ΕΚ πρὸς τὴν ΚΖ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΕΘ πρὸς τὴν ΘΗ. παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΘΚ τῇ ΑΓ.
Διὰ δὲ τοῦ συνημμένου οὕτως·
도형을 ΑΒΓ∠ΕΖΗ라 하고, ΑΖ의 ΖΗ에 대한 비가 Α∠의 ∠Γ에 대한 비와 같다고 하자. 그리고 ΘΚ가 연결되어 있다고 하자. ΘΚ가 ΑΓ에 평행함을 (보여야 한다). Ζ를 지나고 Β∠에 평행한 직선 ΖΛ을 그어라. 그러므로 ΑΖ의 ΖΗ에 대한 비가 Α∠ 의 ∠Γ에 대한 비와 같으므로, 반비, 합비, 교비에 의해 ∠Α의 ΑΖ에 대한 비, 즉 평행선에서 ΒΑ의 ΑΛ에 대한 비는 ΓΑ의 ΑΗ에 대한 비와 같다. 그러므로 ΛΗ는 ΒΓ에 평행하다. 그러므로 ΕΒ의 ΒΛ에 대한 비는 평행선에서 ΕΘ의 ΘΗ에 대한 비와 같다. 하지만 또한 ΕΒ의 ΒΛ에 대한 비는 평행선에서 ΕΚ의 ΚΖ에 대한 비와도 같으므로, 결국 ΕΚ의 ΚΖ에 대한 비는 ΕΘ의 ΘΗ에 대한 비와 같다. 그러므로 ΘΚ는 ΑΓ에 평행하다. 합성비에 의해서는 다음과 같이 (증명된다).
ἐπεί ἐστιν, ὡς ἡ ΑΖ πρὸς τὴν ΖΗ, οὕτως ἡ Α∠ πρὸς τὴν ∠Γ. ἀνάπαλίν ἐστιν, ὡς ἡ ΗΖ πρὸς τὴν ΖΑ, οὕτως ἡ Γ∠ πρὸς τὴν ∠Α. συνθέντι καὶ ἐναλλὰξ καὶ ἀναστρέψαντί ἐστιν, ὡς ἡ Α∠ πρὸς τὴν ∠Ζ, οὕτως ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΓΗ. ἀλλʼ ὁ μὲν τῆς Α∠ πρὸς τὴν ∠Ζ συνῆπται ἔκ τε τοῦ τῆς ΑΒ πρὸς τὴν ΒΕ καὶ τοῦ τῆς ΕΚ πρὸς τὴν ΚΖ, ὁ δὲ τῆς ΑΓ πρὸς τὴν ΓΗ ἔκ τε τοῦ τῆς Α Β πρὸς τὴν ΒΕ καὶ τοῦ τῆς ΕΘ πρὸς τὴν ΘΗ ὁ ἄρα συνημμένος λόγος ἔκ τε τοῦ, ὃν ἔχει ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΕ, καὶ ἡ ΕΚ πρὸς τὴν ΚΖ, ὁ αὐτός ἔστιν τῷ συνημμένῳ ἔκ τε τοῦ, ὃν ἔχει ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΕ, καὶ ἡ ΕΘ πρὸς τὴν ΘΗ. καὶ κοινὸς ἐκκεκρούσθω ὁ τῆς ΑΒ πρὸς τὴν ΒΕ λόγος·
ΑΖ의 ΖΗ에 대한 비가 Α∠의 ∠Γ에 대한 비와 같으므로, 반비에 의해 ΗΖ의 ΖΑ에 대한 비는 Γ∠의 ∠Α에 대한 비와 같다. 합비, 교비, 반전비에 의해 Α∠의 ∠Ζ에 대한 비는 ΑΓ의 ΓΗ에 대한 비와 같다. 그런데 Α∠의 ∠Ζ에 대한 비는 ΑΒ의 ΒΕ에 대한 비와 ΕΚ의 ΚΖ에 대한 비로부터 합성되며, ΑΓ의 ΓΗ에 대한 비는 ΑΒ의 ΒΕ에 대한 비와 ΕΘ의 ΘΗ에 대한 비로부터 합성된다. 그러므로 ΑΒ의 ΒΕ에 대한 비 및 ΕΚ의 ΚΖ에 대한 비로부터 합성된 비는, ΑΒ의 ΒΕ에 대한 비 및 ΕΘ의 ΘΗ에 대한 비로부터 합성된 비와 같다. 그리고 공통인 ΑΒ의 ΒΕ에 대한 비를 제거하도록 하자.
λοιπὸν ἄρα ὁ τῆς ΕΚ πρὸς τὴν ΚΖ λόγος ὁ αὐτός ἐστιν τῷ τῆς ΕΘ πρὸς τὴν ΘΗ. παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΘΚ τῇ ΑΓ.
그러므로 남은 ΕΚ의 ΚΖ에 대한 비는 ΕΘ의 ΘΗ에 대한 비와 같다. 그러므로 ΘΚ는 ΑΓ에 평행하다.
§6.2## Εἰς τὸ δεύτερον πόρισμα.
## 두 번째 포리스마에 대하여.
β΄.
2.
Καταγραφὴ ἡ ΑΒΓ∠ΕΖΗΘ, ἔστω δὲ παράλληλος ἡ ΑΖ τῇ ∠Β, ὡς δὲ ἡ ΑΕ πρὸς τὴν ΕΖ, οὕτως ἡ ΓΗ πρὸς τὴν ΗΖ ὅτι εὐθεῖά ἐστιν ἡ διὰ τῶν Θ, Κ, Ζ.
ἤχθω διὰ τοῦ Η παρὰ τὴν ∠Ε ἡ ΗΛ, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΘΚ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Λ.
ἐπεῖ οὖν ἐστιν, ὡς ἡ ΑΕ πρὸς τὴν ΕΖ, οὕτως ἡ ΓΗ πρὸς τὴν ΗΖ, ἐναλλάξ ἐστιν, ὡς ἡ ΑΕ πρὸς τὴν ΓΗ οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΖΗ. ὡς δὲ ἡ ΑΕ πρὸς τὴν ΓΗ οὕτως ἡ ΕΘ πρὸς τὴν ΗΛ καὶ ὡς ἀρα ἡ Ε πρὸς τὴν ΖΕ, οὕτως ἡ ΕΘ πρὸς τὴν ΗΛ. καί ἔστι παράλληλος ἡ ΕΘ τῇ ΗΛ·
도형을 ΑΒΓ∠ΕΖΗΘ라 하고, ΑΖ는 ∠Β와 평행하며, ΑΕ의 ΕΖ에 대한 비는 ΓΗ 의 ΗΖ에 대한 비와 같다고 하자. Θ, Κ, Ζ를 지나는 (선)이 직선임을 (보여야 한다). Η를 지나고 ∠Ε에 평행한 직선 ΗΛ을 긋고, 연결된 ΘΚ를 Λ까지 연장하라. 그러므로 ΑΕ의 ΕΖ에 대한 비가 ΓΗ의 ΗΖ에 대한 비와 같으므로, 교비에 의해 ΑΕ의 ΓΗ에 대한 비는 ΕΖ의 ΖΗ에 대한 비와 같다. 그런데 ΑΕ의 ΓΗ에 대한 비는 ΕΘ의 ΗΛ에 대한 비와 같으므로, 결국 ΕΖ의 ΖΗ에 대한 비는 ΕΘ의 ΗΛ에 대한 비와 같다. 그리고 ΕΘ는 ΗΛ에 평행하다.
εὐθεῖα ἄρα ἐστὶν ἡ διὰ τῶν Θ, Λ, Ζ·
그러므로 Θ, Λ, Ζ를 지나는 (선)은 직선이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 보여야 했던 것이다.