§6.1α΄. Ἔστω καταγραφὴ ἡ ΑΒΓ∠ΕΖΗ, καὶ ἔστω, ὡς ἡ ΑΖ πρὸς τὴν ΖΗ, οὕτως ἡ Α∠ πρὸς τὴν ∠Γ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΘΚ ὅτι παράλληλός ἐστιν ἡ ΘΚ τῇ ΑΓ.
ἤχθω διὰ τοῦ Ζ τῇ Β∠ παράλληλος ἡ ΖΛ.
ἐπεὶ οὖν ἔστιν, ὡς ἡ ΑΖ πρὸς τὴν ΖΗ, οὕτως ἡ Α∠ πρὸς τὴν ∠Γ ἀνάπαλιν καὶ συνθέντι καὶ ἐναλλάξ ἐστιν, ὡς ἡ ∠Α πρὸς τὴν ΑΖ, τουτέστιν ἐν παραλλήλῳ ὡς ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΛ, οὕτως ἡ ΓΑ πρὸς τὴν ΑΗ παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΛΗ τῇ ΒΓ ἔστιν ἄρα, ὡς ἡ ΕΒ πρὸς τὴν ΒΛ, οὕτως ἐν παραλλήλῳ ἡ ΕΘ πρὸς τὴν ΘΗ. ἔστι δὲ καί, ὡς ἡ ΕΒ πρὸς τὴν ΒΛ, οὕτως ἐν παραλλήλῳ ἡ ΕΚ πρὸς τὴν ΚΖ καὶ ὡς ἄρα ἡ ΕΚ πρὸς τὴν ΚΖ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΕΘ πρὸς τὴν ΘΗ. παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΘΚ τῇ ΑΓ.
Διὰ δὲ τοῦ συνημμένου οὕτως· ἐπεί ἐστιν, ὡς ἡ ΑΖ πρὸς τὴν ΖΗ, οὕτως ἡ Α∠ πρὸς τὴν ∠Γ. ἀνάπαλίν ἐστιν, ὡς ἡ ΗΖ πρὸς τὴν ΖΑ, οὕτως ἡ Γ∠ πρὸς τὴν ∠Α. συνθέντι καὶ ἐναλλὰξ καὶ ἀναστρέψαντί ἐστιν, ὡς ἡ Α∠ πρὸς τὴν ∠Ζ, οὕτως ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΓΗ. ἀλλʼ ὁ μὲν τῆς Α∠ πρὸς τὴν ∠Ζ συνῆπται ἔκ τε τοῦ τῆς ΑΒ πρὸς τὴν ΒΕ καὶ τοῦ τῆς ΕΚ πρὸς τὴν ΚΖ, ὁ δὲ τῆς ΑΓ πρὸς τὴν ΓΗ ἔκ τε τοῦ τῆς Α Β πρὸς τὴν ΒΕ καὶ τοῦ τῆς ΕΘ πρὸς τὴν ΘΗ ὁ ἄρα συνημμένος λόγος ἔκ τε τοῦ, ὃν ἔχει ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΕ, καὶ ἡ ΕΚ πρὸς τὴν ΚΖ, ὁ αὐτός ἔστιν τῷ συνημμένῳ ἔκ τε τοῦ, ὃν ἔχει ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΕ, καὶ ἡ ΕΘ πρὸς τὴν ΘΗ. καὶ κοινὸς ἐκκεκρούσθω ὁ τῆς ΑΒ πρὸς τὴν ΒΕ λόγος· λοιπὸν ἄρα ὁ τῆς ΕΚ πρὸς τὴν ΚΖ λόγος ὁ αὐτός ἐστιν τῷ τῆς ΕΘ πρὸς τὴν ΘΗ. παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΘΚ τῇ ΑΓ.
1. 设图为 ΑΒΓ∠ΕΖΗ，且设 ΑΖ 对 ΖΗ 的比等于 Α∠ 对 ∠Γ 的比，并连接 ΘΚ；（求证）ΘΚ 平行于 ΑΓ。 过 Ζ 作平行于 Β∠ 的直线 ΖΛ。 因为，当 ΑΖ 对 ΖΗ 的比等于 Α∠ 对 ∠Γ 的比时，通过反比、合比与更比，∠Α 对 ΑΖ 的比——也就是在平行线中 ΒΑ 对 ΑΛ 的比——等于 ΓΑ 对 ΑΗ 的比；因此 ΛΗ 平行于 ΒΓ。 因此，ΕΒ 对 ΒΛ 的比等于在平行线中 ΕΘ 对 ΘΗ 的比。 但是，ΕΒ 对 ΒΛ 的比也等于在平行线中 ΕΚ 对 ΚΖ 的比；因此，ΕΚ 对 ΚΖ 的比等于 ΕΘ 对 ΘΗ 的比。 因此 ΘΚ 平行于 ΑΓ。 而通过复比则如下：因为 ΑΖ 对 ΖΗ 的比等于 Α∠ 对 ∠Γ 的比，通过反比，ΗΖ 对 ΖΑ 的比等于 Γ∠ 对 ∠Α 的比。 通过合比、更比和反转比，Α∠ 对 ∠Ζ 的比等于 ΑΓ 对 ΓΗ 的比。 但是，Α∠ 对 ∠Ζ 的比是由 ΑΒ 对 ΒΕ 的比与 ΕΚ 对 ΚΖ 的比合成的，而 ΑΓ 对 ΓΗ 的比是由 ΑΒ 对 ΒΕ 的比与 ΕΘ 对 ΘΗ 的比合成的。 因此，由 ΑΒ 对 ΒΕ 的比和 ΕΚ 对 ΚΖ 的比所合成的比，与由 ΑΒ 对 ΒΕ 的比和 ΕΘ 对 ΘΗ 的比所合成的比相同。 且让共同的 ΑΒ 对 ΒΕ 的比被消去；因此剩余的 ΕΚ 对 ΚΖ 的比与 ΕΘ 对 ΘΗ 的比相同。 因此 ΘΚ 平行于 ΑΓ。
§6.2## Εἰς τὸ δεύτερον πόρισμα.
## 对于第二个副论。
β΄. Καταγραφὴ ἡ ΑΒΓ∠ΕΖΗΘ, ἔστω δὲ παράλληλος ἡ ΑΖ τῇ ∠Β, ὡς δὲ ἡ ΑΕ πρὸς τὴν ΕΖ, οὕτως ἡ ΓΗ πρὸς τὴν ΗΖ ὅτι εὐθεῖά ἐστιν ἡ διὰ τῶν Θ, Κ, Ζ.
ἤχθω διὰ τοῦ Η παρὰ τὴν ∠Ε ἡ ΗΛ, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΘΚ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Λ.
ἐπεῖ οὖν ἐστιν, ὡς ἡ ΑΕ πρὸς τὴν ΕΖ, οὕτως ἡ ΓΗ πρὸς τὴν ΗΖ, ἐναλλάξ ἐστιν, ὡς ἡ ΑΕ πρὸς τὴν ΓΗ οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΖΗ. ὡς δὲ ἡ ΑΕ πρὸς τὴν ΓΗ οὕτως ἡ ΕΘ πρὸς τὴν ΗΛ καὶ ὡς ἀρα ἡ Ε πρὸς τὴν ΖΕ, οὕτως ἡ ΕΘ πρὸς τὴν ΗΛ. καί ἔστι παράλληλος ἡ ΕΘ τῇ ΗΛ· εὐθεῖα ἄρα ἐστὶν ἡ διὰ τῶν Θ, Λ, Ζ·
2. 设图为 ΑΒΓ∠ΕΖΗΘ，且设 ΑΖ 平行于 ∠Β，且 ΑΕ 对 ΕΖ 的比等于 ΓΗ 对 ΗΖ 的比；（求证）过 Θ, Κ, Ζ 的线是直线。 过 Η 作平行于 ∠Ε 的直线 ΗΛ，且连接 ΘΚ 并延长至 Λ。 因为 ΑΕ 对 ΕΖ 的比等于 ΓΗ 对 ΗΖ 的比，通过更比，ΑΕ 对 ΓΗ 的比等于 ΕΖ 对 ΖΗ 的比。 但是 ΑΕ 对 ΓΗ 的比等于 ΕΘ 对 ΗΛ 的比；因此 ΕΖ 对 ΖΗ 的比等于 ΕΘ 对 ΗΛ 的比。 且 ΕΘ 平行于 ΗΛ；因此过 Θ, Λ, Ζ 的线是直线。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
这就是所要求证的。