§7Ἐκ τοῦ διπλασίου διαστήματος καὶ ἡμιολίου τριπλάσιον διάστημα γίνεται.
二倍音程とヘミオリオス音程から、三倍音程が生じる。
Ἔστω γὰρ ὁ μὲν α τοῦ β διπλάσιος, ὁ δὲ β τοῦ γ ἡμιόλιος.
なぜなら、αはβの2倍であり、βはγのヘミオリオスであるとする。
λέγω ὅτι ὁ α τοῦ γ ἐστι τριπλάσιος.
私は、αはγの3倍であると主張する。
Ἐπεὶ γὰρ ὁ α τοῦ β ἐστι διπλάσιος, ὁ α ἄρα ἶσός ἐστι δυσὶ τοῖς β.
なぜなら、αはβの2倍であるから、それゆえαは二つのβと等しい。
πάλιν ἐπεὶ ὁ β ιβ Ϛ δ τοῦ γ ἐστιν ἡμιόλιος, ἄρα ὁ ἔχει τὸν γ καὶ τὸ ἥμισυ αὐτοῦ.
再び、βは（ιβ, Ϛ, δ）γのヘミオリオスであるから、それゆえ［β］はγとその半分を含んでいる。
δύο ἄρα οἱ β ἶσοί εἰσι τρισὶ τοῖς γ.
したがって、二つのβは三つのγと等しい。
δύο δὲ οἱ β ἶσοί εἰσι τῷ α.
そして、二つのβはαと等しい。
καὶ ὁ α ἄρα ἶσός ἐστι τρισὶ τοῖς γ.
それゆえ、αもまた三つのγと等しい。
τριπλάσιος ἄρα ἐστὶν ὁ α τοῦ γ (p. 30).
したがって、αはγの3倍である (p. 30)。
§8Ἐὰν ἀπὸ ἡμιολίου διαστήματος ἐπίτριτον διάστημα ἀφαιρεθῇ, τὸ λοιπὸν καταλείπεται ἐπόγδοον.
ヘミオリオス音程からエピトリトス音程が引かれるならば、残りはエポグドオスとして残される。
Ἔστω γὰρ ὁ μὲν α τοῦ β ἡμιόλιος, ὁ δὲ γ τοῦ β ἐπίτριτος.
なぜなら、αはβのヘミオリオスであり、 γはβのエピトリトスであるとする。
λέγω ὅτι ὁ α τοῦ ἐστὶν ἐπόγδοος.
私は、αはγのエポグドオスであると主張する。
Ἐπεὶ γὰρ ὁ α τοῦ β ἐστὶν ἡμιόλιος, ὁ α ἄρα ἔχει τὸν β καὶ τὸ ἥμισυ αὐτοῦ.
なぜなら、αはβのヘミオリオスであるから、それゆえαはβとその半分を含んでいる。
ὀκτὼ ἄρα οἱ α ἶσοί εἰσι δώδεκα τοῖς β.
したがって、八つのαは十二のβと等しい。
πάλιν ἐπεὶ ὁ τοῦ ἐστὶν ἐπίτριτος, ὁ γ ἄρα ἔχει θ Ϛ η τὸν β καὶ τὸ τρίτον αὐτοῦ.
再び γは［β］のエピトリトスであるから、それゆえγは（θ, Ϛ, η）βとその3分の1を含んでいる。
ἐννέα ἄρα οἱ γ ἶσοί εἰσι δώδεκα τοῖς β.
したがって、九つの γは十二のβと等しい。
δώδεκα δὲ οἱ β ἶσοί εἰσιν ὀκτὼ τοῖς α·
そして、十二のβは八つのαと等しい。
ὀκτὼ ἄρα οἱ α ἶσοί εἰσιν ἐννέα τοῖς γ.
したがって、八つのαは九つのγと等しい。
ὁ α ἄρα ἶσός ἐστι τῷ γ καὶ τῷ ὀγδόῳ αὐτοῦ, ἄρα ὁ α τοῦ ἐστὶν ἐπόγδοος.
それゆえ、αはγとその8分の1（γの8分の1に等しいもの）と等しい。 したがって、αはγのエポグドオスである。
§9Τὰ ἓξ ἐπόγδοα διαστήματα μείζονά ἐστι διαστήματος ἑνὸς διπλασίου.
六つのエポグドオス音程は、一つの二倍音程よりも大きい。
Ἐστω γὰρ εἶς ἀριθμὸς ὁ α.
なぜなら、ある一つの数をαとする。
καὶ τοῦ μὲν α ἐπόγδοος ἔστω ὁ β, τοῦ δὲ β (p. 31) ἐπόγδοος ὁ γ, τοῦ δὲ ἐπόγδοος ὁ δ, τοῦ δὲ δ ἐπόγδοος ὁ ε, τοῦ ε ἐπόγδοος ὁ ζ, τοῦ ζ ἐπόγδοος ὁ η.
そして、αのエポグドオスをβとし、βの (p. 31) エポグドオスをγとし、［γ］のエポグドオスをδとし、δのエポグドオスをεとし、εのエポグドオスをζとし、ζのエポグドオスをηとする。
λέγω, ὅτι ὁ η τοῦ α μείζων ἐστὶν ἢ διπλάσιος.
私は、ηはαの2倍よりも大きいと主張する。
Ἐπεὶ ἐμάθομεν εὑρεῖν ἑπτὰ ἀριθμοὺς ἐπογδόους ἀλλήλων, εὑρήσθωσαν οἱ α β γ δ ε ζ η, καὶ γίνεται ὁ μὲν α κϚ μύρια βρμδ,
ὁ δὲ β κθ μύρια δϠιβ,
ὁ δὲ γ λγ μύρια αψοϚ
ὁ δὲ δ λζ μύρια γϲμη,
ὁ δὲ ε μα μύρια θϠδ,
ὁ δὲ ζ μζ μύρια βτ Ϟβ,
ὁ δὲ η νγ μύρια αυμα καὶ ἔστιν ὁ η τοῦ α μείζων ἢ διπλάσιος.
我々は、互いにエポグドオスである七つの数を求める方法を学んだのであるから、α, β, γ, δ, ε, ζ, ηが求められたとしよう。 すると、αは26万2144となり、 βは29万4912となり、 γは33万1776となり、 δは37万3248となり、 εは41万9904となり、 ζは47万2392となり、 ηは53万1441となる。 そして、ηはαの2倍よりも大きい。
§10Τὸ διὰ πασῶν διάστημά ἐστι πολλαπλάσιον.
ディ・ア・パソーン音程は倍数比である。
Ἔστω γὰρ νήτη μὲν ὑπερβολαίων (p. 32) ὁ α, μέση γ δὲ ὁ β, προσλαμβανόμενος δὲ ὁ γ.
なぜなら、ネーテー・ヒュペルボライオーンを (p. 32) αとし、メセー（γ）をβとし、プロスランバノメノスをγとする。
τὸ ἄρα α γ διάστημα δὶς διὰ πασῶν ὂν ἐστὶ σύμφωνον.
したがって、 αγ音程は二つのディ・ア・パソーンであり、協和音である。
ἤτοι οὖν ἐπιμόριόν ἐστιν, ἢ πολλαπλασιον.
それは超一分比であるか、あるいは倍数比であるかのいずれかである。
ἐπιμόριον μὲν οὐκ ἔστιν·
それは超一分比ではない。
ἐπιμορίου γὰρ διαστήματος μέσος οὐδεὶς ἀνάλογον ἐμπίπτει.
なぜなら、超一分比の音程の間には、比例する中項は一つも入らないからである。
πολλαπλάσιον ἄρα ἐστίν.
したがって、それは倍数比である。
ἐπεὶ οὖν δύο ἶσα διαστήματα τὰ αβ βγ συντεθέντα ποιεῖ πολλαπλάσιον τὸ ὅλον, καὶ τὸ αβ ἄρα ἐστὶ πολλαπλάσιον.
それゆえ、二つの等しい音程αβとβγが合わされて、全体として倍数比を作るのであるから、それゆえαβもまた倍数比である。
§11Τὸ διὰ τεσσάρων διάστημα καὶ τὸ διὰ πέντε ἑκάτερον ἐπιμόριόν ἐστιν.
ディ・ア・テッサローン音程とディ・ア・ペンテ音程は、それぞれ超一分比である。
Ἔστω γὰρ νήτη μὲν συνημμένων ὁ α, μέση δὲ ὁ β, ὑπάτη δὲ μέσων ὁ γ.
なぜなら、ネーテー・シュネームメノーンをαとし、メセーをβとし、ヒュパテー・メソーンをγとする。
τὸ ἄρα α διάστημα δὶς διὰ τεσσάρων ὂν ἐστὶ διάφωνον·
したがって、αγ音程は二つのディ・ア・テッサローンであり、不協和音である。
οὐκ ἄρα γ ἐστὶ πολλαπλάσιον.
したがって、それは倍数比ではない。
ἐπεὶ οὖν δύο διαστήματα β ἶσα τὰ αβ β γ συντεθέντα τὸ ὅλον μὴ α ποιεῖ πολλαπλάσιον, οὐδὲ ἄρα τὸ αβ ἐστὶ πολλαπλάσιον.
それゆえ、二つの等しい（β）音程αβとβγが合わされて、全体として（α）倍数比を作らないのであるから、それゆえαβも倍数比ではない。
καὶ ἔστι σύμφωνον·
そして、それは協和音である。
ἐπιμόριον ἄρα.
したがって、超一分比である。
ἡ αὐτὴ δὲ ἀπόδειξις καὶ ἐπὶ ισ ιβ θ τοῦ διὰ πέντε. (p. 33. )
同じ証明は、ディ・ア・ペンテ（ισ, ιβ, θ）に対しても当てはまる (p. 33)。