§7Ἐκ τοῦ διπλασίου διαστήματος καὶ ἡμιολίου τριπλάσιον διάστημα γίνεται.
由双倍音程与一又二分之一音程产生三倍音程。
Ἔστω γὰρ ὁ μὲν α τοῦ β διπλάσιος, ὁ δὲ β τοῦ γ ἡμιόλιος.
设α是β的双倍，且β是γ的一又二分之一。
λέγω ὅτι ὁ α τοῦ γ ἐστι τριπλάσιος.
我声明，α是γ的三倍。
Ἐπεὶ γὰρ ὁ α τοῦ β ἐστι διπλάσιος, ὁ α ἄρα ἶσός ἐστι δυσὶ τοῖς β.
因为既然α是β的双倍，α便等于两个β。
πάλιν ἐπεὶ ὁ β ιβ Ϛ δ τοῦ γ ἐστιν ἡμιόλιος, ἄρα ὁ ἔχει τὸν γ καὶ τὸ ἥμισυ αὐτοῦ.
再次，因为β是（ιβ, Ϛ, δ）γ的一又二分之一，所以［β］包含γ及其一半。
δύο ἄρα οἱ β ἶσοί εἰσι τρισὶ τοῖς γ.
因此，两个β等于三个γ。
δύο δὲ οἱ β ἶσοί εἰσι τῷ α.
而两个β等于α。
καὶ ὁ α ἄρα ἶσός ἐστι τρισὶ τοῖς γ.
所以，α也等于三个γ。
τριπλάσιος ἄρα ἐστὶν ὁ α τοῦ γ (p. 30).
因此α是γ的三倍 (p. 30)。
§8Ἐὰν ἀπὸ ἡμιολίου διαστήματος ἐπίτριτον διάστημα ἀφαιρεθῇ, τὸ λοιπὸν καταλείπεται ἐπόγδοον.
如果从一又二分之一音程中减去一又三分之一音程，其余数留下一又八分之一。
Ἔστω γὰρ ὁ μὲν α τοῦ β ἡμιόλιος, ὁ δὲ γ τοῦ β ἐπίτριτος.
设α是β的一又二分之一，且 γ是β的一又三分之一。
λέγω ὅτι ὁ α τοῦ ἐστὶν ἐπόγδοος.
我声明，α是γ的一又八分之一。
Ἐπεὶ γὰρ ὁ α τοῦ β ἐστὶν ἡμιόλιος, ὁ α ἄρα ἔχει τὸν β καὶ τὸ ἥμισυ αὐτοῦ.
因为既然α是β的一又二分之一，α便包含β及其一半。
ὀκτὼ ἄρα οἱ α ἶσοί εἰσι δώδεκα τοῖς β.
因此，八个α等于十二个β。
πάλιν ἐπεὶ ὁ τοῦ ἐστὶν ἐπίτριτος, ὁ γ ἄρα ἔχει θ Ϛ η τὸν β καὶ τὸ τρίτον αὐτοῦ.
再次，既然γ是［β］的一又三分之一，γ便包含（θ, Ϛ, η）β及其三分之一。
ἐννέα ἄρα οἱ γ ἶσοί εἰσι δώδεκα τοῖς β.
因此，九个 γ等于十二个β。
δώδεκα δὲ οἱ β ἶσοί εἰσιν ὀκτὼ τοῖς α· ὀκτὼ ἄρα οἱ α ἶσοί εἰσιν ἐννέα τοῖς γ.
而十二个β等于八个α；因此，八个α等于九个γ。
ὁ α ἄρα ἶσός ἐστι τῷ γ καὶ τῷ ὀγδόῳ αὐτοῦ, ἄρα ὁ α τοῦ ἐστὶν ἐπόγδοος.
所以，α等于γ及其八分之一。 因此，α是γ的一又八分之一。
§9Τὰ ἓξ ἐπόγδοα διαστήματα μείζονά ἐστι διαστήματος ἑνὸς διπλασίου.
六个一又八分之一音程大于一个双倍音程。
Ἐστω γὰρ εἶς ἀριθμὸς ὁ α.
设一个数为α。
καὶ τοῦ μὲν α ἐπόγδοος ἔστω ὁ β, τοῦ δὲ β (p. 31) ἐπόγδοος ὁ γ, τοῦ δὲ ἐπόγδοος ὁ δ, τοῦ δὲ δ ἐπόγδοος ὁ ε, τοῦ ε ἐπόγδοος ὁ ζ, τοῦ ζ ἐπόγδοος ὁ η.
设α的一又八分之一为β，β的（p. 31）一又八分之一为γ，［γ］的一又八分之一为δ，δ的一又八分之一为ε，ε的一又八分之一为ζ，ζ的一又八分之一为η。
λέγω, ὅτι ὁ η τοῦ α μείζων ἐστὶν ἢ διπλάσιος.
我声明，η大于α的双倍。
Ἐπεὶ ἐμάθομεν εὑρεῖν ἑπτὰ ἀριθμοὺς ἐπογδόους ἀλλήλων, εὑρήσθωσαν οἱ α β γ δ ε ζ η, καὶ γίνεται ὁ μὲν α κϚ μύρια βρμδ,
ὁ δὲ β κθ μύρια δϠιβ,
ὁ δὲ γ λγ μύρια αψοϚ
ὁ δὲ δ λζ μύρια γϲμη,
ὁ δὲ ε μα μύρια θϠδ,
ὁ δὲ ζ μζ μύρια βτ Ϟβ,
ὁ δὲ η νγ μύρια αυμα καὶ ἔστιν ὁ η τοῦ α μείζων ἢ διπλάσιος.
既然我们已经学过如何求得彼此呈一又八分之一比的七个数，设α, β, γ, δ, ε, ζ, η已被求得。 于是，α成为262,144， β成为294,912， γ成为331,776， δ成为373,248， ε成为419,904， ζ成为472,392， η成为531,441。 且η大于α的双倍。
§10Τὸ διὰ πασῶν διάστημά ἐστι πολλαπλάσιον.
八度音程是倍比的。
Ἔστω γὰρ νήτη μὲν ὑπερβολαίων (p. 32) ὁ α, μέση γ δὲ ὁ β, προσλαμβανόμενος δὲ ὁ γ.
设最上音区之最上音（p. 32）为α，中音（γ）为β，附加音为γ。
τὸ ἄρα α γ διάστημα δὶς διὰ πασῶν ὂν ἐστὶ σύμφωνον.
因此， αγ音程作为双重八度音程，是协和的。
ἤτοι οὖν ἐπιμόριόν ἐστιν, ἢ πολλαπλασιον.
因此，它或为超一分比，或为倍比。
ἐπιμόριον μὲν οὐκ ἔστιν· ἐπιμορίου γὰρ διαστήματος μέσος οὐδεὶς ἀνάλογον ἐμπίπτει.
它不是超一分比；因为在超一分比音程之间，没有任何比例中项能插入其间。
πολλαπλάσιον ἄρα ἐστίν.
因此，它是倍比的。
ἐπεὶ οὖν δύο ἶσα διαστήματα τὰ αβ βγ συντεθέντα ποιεῖ πολλαπλάσιον τὸ ὅλον, καὶ τὸ αβ ἄρα ἐστὶ πολλαπλάσιον.
既然两个相等的音程αβ与βγ结合，其整体产生倍比，因此αβ也是倍比的。
§11Τὸ διὰ τεσσάρων διάστημα καὶ τὸ διὰ πέντε ἑκάτερον ἐπιμόριόν ἐστιν.
四度音程与五度音程各自都是超一分比。
Ἔστω γὰρ νήτη μὲν συνημμένων ὁ α, μέση δὲ ὁ β, ὑπάτη δὲ μέσων ὁ γ.
设结合音区之最上音为α，中音为β，中音区之最低音为γ。
τὸ ἄρα α διάστημα δὶς διὰ τεσσάρων ὂν ἐστὶ διάφωνον· οὐκ ἄρα γ ἐστὶ πολλαπλάσιον.
因此，αγ音程作为双重四度，是不协和的；因此它不是倍比的。
ἐπεὶ οὖν δύο διαστήματα β ἶσα τὰ αβ β γ συντεθέντα τὸ ὅλον μὴ α ποιεῖ πολλαπλάσιον, οὐδὲ ἄρα τὸ αβ ἐστὶ πολλαπλάσιον.
既然两个相等（β）的音程αβ与βγ结合，其整体（α）不产生倍比，因此αβ也不是倍比的。
καὶ ἔστι σύμφωνον· ἐπιμόριον ἄρα.
且它是协和的；因此是超一分比的。
ἡ αὐτὴ δὲ ἀπόδειξις καὶ ἐπὶ ισ ιβ θ τοῦ διὰ πέντε. (p. 33. )
同样的证明也适用于五度音程（ισ, ιβ, θ） (p. 33)。