§7Ἐκ τοῦ διπλασίου διαστήματος καὶ ἡμιολίου τριπλάσιον διάστημα γίνεται.
두 배 음정과 헤미올리오스 음정으로부터 세 배 음정이 만들어진다.
Ἔστω γὰρ ὁ μὲν α τοῦ β διπλάσιος, ὁ δὲ β τοῦ γ ἡμιόλιος.
왜냐하면 α는 β의 두 배이고, β는 γ의 헤미올리오스라고 하자.
λέγω ὅτι ὁ α τοῦ γ ἐστι τριπλάσιος.
나는 α가 γ의 세 배라고 주장한다.
Ἐπεὶ γὰρ ὁ α τοῦ β ἐστι διπλάσιος, ὁ α ἄρα ἶσός ἐστι δυσὶ τοῖς β.
왜냐하면 α는 β의 두 배이므로, 따라서 α는 두 개의 β와 같다.
πάλιν ἐπεὶ ὁ β ιβ Ϛ δ τοῦ γ ἐστιν ἡμιόλιος, ἄρα ὁ ἔχει τὸν γ καὶ τὸ ἥμισυ αὐτοῦ.
다시, β는 (ιβ, Ϛ, δ) γ의 헤미올리오스이므로, 따라서 ［β］는 γ와 그것의 절반을 갖는다.
δύο ἄρα οἱ β ἶσοί εἰσι τρισὶ τοῖς γ.
그러므로 두 개의 β는 세 개의 γ와 같다.
δύο δὲ οἱ β ἶσοί εἰσι τῷ α.
그런데 두 개의 β는 α와 같다.
καὶ ὁ α ἄρα ἶσός ἐστι τρισὶ τοῖς γ.
그러므로 α 역시 세 개의 γ와 같다.
τριπλάσιος ἄρα ἐστὶν ὁ α τοῦ γ (p.
따라서 α는 γ의 세 배이다 (p.
30).
30)。
§8Ἐὰν ἀπὸ ἡμιολίου διαστήματος ἐπίτριτον διάστημα ἀφαιρεθῇ, τὸ λοιπὸν καταλείπεται ἐπόγδοον.
헤미올리오스 음정에서 에피트리토스 음정을 빼면, 그 나머지는 에포그도오스로 남는다.
Ἔστω γὰρ ὁ μὲν α τοῦ β ἡμιόλιος, ὁ δὲ γ τοῦ β ἐπίτριτος.
왜냐하면 α는 β의 헤미올리오스이고, γ는 β의 에피트리토스라고 하자.
λέγω ὅτι ὁ α τοῦ ἐστὶν ἐπόγδοος.
나는 α가 γ의 에포그도오스라고 주장한다.
Ἐπεὶ γὰρ ὁ α τοῦ β ἐστὶν ἡμιόλιος, ὁ α ἄρα ἔχει τὸν β καὶ τὸ ἥμισυ αὐτοῦ.
왜냐하면 α는 β의 헤미올리오스이므로, 따라서 α는 β와 그것의 절반을 갖는다.
ὀκτὼ ἄρα οἱ α ἶσοί εἰσι δώδεκα τοῖς β.
그러므로 여덟 개의 α는 열두 개의 β와 같다.
πάλιν ἐπεὶ ὁ τοῦ ἐστὶν ἐπίτριτος, ὁ γ ἄρα ἔχει θ Ϛ η τὸν β καὶ τὸ τρίτον αὐτοῦ.
다시 γ는［β］의 에피트리토스이므로, 따라서 γ는 (θ, Ϛ, η) β와 그것의 3분의 1을 갖는다.
ἐννέα ἄρα οἱ γ ἶσοί εἰσι δώδεκα τοῖς β.
그러므로 아홉 개의 γ는 열두 개의 β와 같다.
δώδεκα δὲ οἱ β ἶσοί εἰσιν ὀκτὼ τοῖς α·
그런데 열두 개의 β는 여덟 개의 α와 같다.
ὀκτὼ ἄρα οἱ α ἶσοί εἰσιν ἐννέα τοῖς γ.
그러므로 여덟 개의 α는 아홉 개의 γ와 같다.
ὁ α ἄρα ἶσός ἐστι τῷ γ καὶ τῷ ὀγδόῳ αὐτοῦ, ἄρα ὁ α τοῦ ἐστὶν ἐπόγδοος.
그러므로 α는 γ와 그것의 8분의 1과 같다. 따라서 α는 γ의 에포그도오스이다.
§9Τὰ ἓξ ἐπόγδοα διαστήματα μείζονά ἐστι διαστήματος ἑνὸς διπλασίου.
여섯 개의 에포그도오스 음정은 하나의 두 배 음정보다 크다.
Ἐστω γὰρ εἶς ἀριθμὸς ὁ α.
왜냐하면 어떤 하나의 수를 α라 하자.
καὶ τοῦ μὲν α ἐπόγδοος ἔστω ὁ β, τοῦ δὲ β (p.
그리고 α의 에포그도오스를 β라 하고, β의 (p.
31) ἐπόγδοος ὁ γ, τοῦ δὲ ἐπόγδοος ὁ δ, τοῦ δὲ δ ἐπόγδοος ὁ ε, τοῦ ε ἐπόγδοος ὁ ζ, τοῦ ζ ἐπόγδοος ὁ η.
31) 에포그도오스를 γ라 하고, ［γ］의 에포그도오스를 δ라 하고, δ의 에포그도오스를 ε이라 하고, ε의 에포그도오스를 ζ라 하고, ζ의 에포그도오스를 η라 하자.
λέγω, ὅτι ὁ η τοῦ α μείζων ἐστὶν ἢ διπλάσιος.
나는 η가 α의 두 배보다 크다고 주장한다.
Ἐπεὶ ἐμάθομεν εὑρεῖν ἑπτὰ ἀριθμοὺς ἐπογδόους ἀλλήλων, εὑρήσθωσαν οἱ α β γ δ ε ζ η, καὶ γίνεται ὁ μὲν α κϚ μύρια βρμδ,
ὁ δὲ β κθ μύρια δϠιβ,
ὁ δὲ γ λγ μύρια αψοϚ
ὁ δὲ δ λζ μύρια γϲμη,
ὁ δὲ ε μα μύρια θϠδ,
ὁ δὲ ζ μζ μύρια βτ Ϟβ,
ὁ δὲ η νγ μύρια αυμα καὶ ἔστιν ὁ η τοῦ α μείζων ἢ διπλάσιος.
우리는 서로에 대해 에포그도오스 비율인 일곱 개의 수를 구하는 법을 배웠으므로, α, β, γ, δ, ε, ζ, η가 구해졌다고 하자. 그리하여 α는 262,144가 되고, β는 294,912가 되고, γ는 331,776이 되고, δ는 373,248이 되고, ε은 419,904가 되고, ζ는 472,392가 되고, η는 531,441이 된다. 그리고 η는 α의 두 배보다 크다.
§10Τὸ διὰ πασῶν διάστημά ἐστι πολλαπλάσιον.
디아파손 음정은 배수비이다.
Ἔστω γὰρ νήτη μὲν ὑπερβολαίων (p.
왜냐하면 네테 히페르볼라이온을 (p.
32) ὁ α, μέση γ δὲ ὁ β, προσλαμβανόμενος δὲ ὁ γ.
32) α라 하고, 메세(γ)를 β라 하고, 프로슬람바노메노스를 γ라 하자.
τὸ ἄρα α γ διάστημα δὶς διὰ πασῶν ὂν ἐστὶ σύμφωνον.
따라서 αγ 음정은 두 배의 디아파손이며 협화음이다.
ἤτοι οὖν ἐπιμόριόν ἐστιν, ἢ πολλαπλασιον.
그러므로 이것은 초일분비이거나 배수비이다.
ἐπιμόριον μὲν οὐκ ἔστιν·
그런데 초일분비는 아니다.
ἐπιμορίου γὰρ διαστήματος μέσος οὐδεὶς ἀνάλογον ἐμπίπτει.
왜냐하면 초일분비 음정 사이에는 비례하는 중항이 전혀 끼어들지 못하기 때문이다.
πολλαπλάσιον ἄρα ἐστίν.
그러므로 배수비이다.
ἐπεὶ οὖν δύο ἶσα διαστήματα τὰ αβ βγ συντεθέντα ποιεῖ πολλαπλάσιον τὸ ὅλον, καὶ τὸ αβ ἄρα ἐστὶ πολλαπλάσιον.
따라서 두 개의 같은 음정 αβ와 βγ가 결합되어 전체로서 배수비를 만드는 것이므로, 따라서 αβ 역시 배수비이다.
§11Τὸ διὰ τεσσάρων διάστημα καὶ τὸ διὰ πέντε ἑκάτερον ἐπιμόριόν ἐστιν.
디아테사론 음정과 디아펜테 음정은 각각 초일분비이다.
Ἔστω γὰρ νήτη μὲν συνημμένων ὁ α, μέση δὲ ὁ β, ὑπάτη δὲ μέσων ὁ γ.
왜냐하면 네테 시넴메논을 α라 하고, 메세를 β라 하고, 히파테 메손을 γ라 하자.
τὸ ἄρα α διάστημα δὶς διὰ τεσσάρων ὂν ἐστὶ διάφωνον·
따라서 αγ 음정은 두 배의 디아테사론이며 불협화음이다.
οὐκ ἄρα γ ἐστὶ πολλαπλάσιον.
그러므로 이것은 배수비가 아니다.
ἐπεὶ οὖν δύο διαστήματα β ἶσα τὰ αβ β γ συντεθέντα τὸ ὅλον μὴ α ποιεῖ πολλαπλάσιον, οὐδὲ ἄρα τὸ αβ ἐστὶ πολλαπλάσιον.
따라서 두 개의 같은 (β) 음정 αβ와 βγ가 결합되어 전체로서 (α) 배수비를 만들지 않는 것이므로, 따라서 αβ 역시 배수비가 아니다.
καὶ ἔστι σύμφωνον·
그리고 이것은 협화음이다.
ἐπιμόριον ἄρα.
그러므로 초일분비이다.
ἡ αὐτὴ δὲ ἀπόδειξις καὶ ἐπὶ ισ ιβ θ τοῦ διὰ πέντε.
똑같은 증명이 디아펜테(ισ, ιβ, θ)에 대해서도 적용된다 (p.
(p. 33. )
33)。