§4Ἐὰν διάστημα μὴ πολλαπλάσιον δὶς συντεθῇ, τὸ ὅλον οὔτε πολλαπλάσιον ἔσται, οὔτε ἐπιμόριον.
もし倍数比でない音程が二度合わされるならば、全体は倍数比でも超一分比でもないだろう。
Ἔστω γὰρ διάστημα μὴ πολλαπλάσιον, τὸ βγ, καὶ γεγενήσθω ὡς ὁ (p. 27) πρὸς τὸν β ὁ β πρὸς τὸν δ.
なぜなら、倍数比でない音程をβγとし、［γ］（p. 27）に対する βの比が、βに対するδの比となるように［δが］作られたとする。
λέγω ὅτι ὁ δ τοῦ γ οὔτε πολλαπλάσιος οὔτε ἐπιμόριός ἐστιν.
δはγの倍数でも超一分でもないと私は言う。
Ἔστω γὰρ πρῶτον ὁ δ τοῦ γ πολλαπλάσιος.
まず、δがγの倍数であるとしよう。
οὐκοῦν ἐμάθομεν, ὅτι ἐὰν διάστημα δὶς συντεθὲν τὸ ὅλον ποιῇ πολλαπλάσιον, καὶ αὐτὸ πολλαπλάσιόν ἐστιν.
ところで、もし音程が二度合わされて全体として倍数比を作るならば、それ自体も倍数比である、ということを我々は学んだ。
ἔσται ἄρα ὁ β τοῦ πολλαπλάσιος.
それゆえ、βは［γ］の倍数となるだろう。
οὐκ ἦν δέ.
しかし、そうではなかった。
ἀδύνατον ἄρα τὸν τοῦ εἶναι πολλαπλάσιον.
したがって、［δ］が［γ］の倍数であることは不可能である。
ἀλλὰ μὴν οὐδʼ ἐπιμόριον.
だがしかし、超一分でもない。
ἐπιμορίου γὰρ διαστήματος μέσος οὐδεὶς ἀνάλογον ἐμπίπτει.
なぜなら、超一分音程の間には、比例する中項は一つも入らないからである。
εἰς δὲ τοὺς δγ ἐμπίπτει ὁ β.
ところが、δとγの間にはβが入っている。
ἀδύνατον ἄρα τὸν δ τοῦ γ ἢ πολλαπλάσιον ἢ ἐπιμόριον εἶναι.
したがって、δがγの倍数であるか、あるいは超一分であることは不可能である。
§5Ἐὰν διάστημα δὶς συντεθὲν τὸ ὅλον μὴ ποιῇ πολλαπλάσιον, οὐδʼ αὐτὸ ἔσται πολλαπλάσιον.
もし音程が二度合わされて、全体として倍数比を作らないならば、それ自体も倍数比にはならないだろう。
Ἔστω γὰρ διάστημα τὸ βγ, καὶ γεγενήσθω ὡς ὁ πρὸς τὸν β ὁ β πρὸς τὸν δ, καὶ μὴ ἔστω ὁ δ τοῦ πολλαπλάσιος.
なぜなら、音程をβγとし、［γ］に対するβの比が、βに対するδの比となるように［δが］作られたとし、δは［γ］の倍数でないとする。
λέγω, ὅτι οὐδὲ ὁ β τοῦ γ ἔσται πολλαπλάσιος.
私は、 βもまたγの倍数にはならないと主張する。
εἰ γάρ ἔστιν ὁ β τοῦ (p. 28) πολλαπλάσιος, ἔσται ἄρα ὁ δ τοῦ γ πολλαπλάσιος.
なぜなら、もしβが［γ］（p. 28）の倍数であるなら、それゆえδはγの倍数となるだろうからである。
οὐκ ἔστι θ ϛ δ δέ.
しかしそうではない（θ, ϛ, δ）。
οὐκ ἄρα ὁ β τοῦ ἔσται πολλαπλάσιος.
したがって、βは［γ］の倍数にはならない。
Ϛ. Τὸ διπλάσιον διάστημα ἐκ δύο τῶν μεγίστων ἐπιμορίων συνέστηκεν, ἔκ τε τοῦ ἡμιολίου καὶ ἐκ τοῦ ἐπιτρίτου.
6. 二倍音程は、二つの最大の超一分比、すなわちヘミオリオスとエピトリトスから構成される。
Ἔστω γὰρ ὁ μὲν β τοῦ δζ ἡμιόλιος, ὁ δὲ δζ τοῦ θ ἐπίτριτος.
なぜなら、βはδζのヘミオリオスであり、δζはθのエピトリトスであるとする。
φημὶ τὸν β τοῦ θ διπλάσιον εἶναι.
私は、βはθの2倍であると主張する。
ἀφεῖλον γὰρ ἶσον τῷ θ τὸν ζκ καὶ τῷ δζ τὸν γλ.
というのも、私はθと等しいζκを［δζから］、そしてδζと等しいγλを［βから］引き去ったからである。
οὐκοῦν ἐπεὶ ὁ βγ τοῦ δζ ἡμιόλιος, ὁ βλ ἄρα β τοῦ βγ τρίτον μέρος ἐστὶν, τοῦ δὲ δζ ἥμισυ.
したがって、βγがδζのヘミオリオスであるから、それゆえβλはβγの3分の1であり、δζの半分である。
πάλιν ἐπεὶ ὁ δζ τοῦ θ ἐπίτριτός ἐστιν, ὁ δκ δ τοῦ μὲν δζ τεταρτημόριον, τοῦ δὲ θ τριτημόριον.
再び、δζがθのエピトリトスであるから、δκはδζの4分の1であり、θの3分の1である。
οὐκοῦν ἐπεὶ ὁ δκ τοῦ δζ ἐστι τεταρτημόριον, ὁ δὲ βλ τοῦ δζ ἥμισυ, τοῦ ἄρα βλ ἥμισυ ἔσται ὁ δκ.
したがって、δκがδζの4分の1であり、βλがδζの半分であるから、それゆえδκはβλの半分となるだろう。
ἦν δὲ ὁ βλ τοῦ βγ τρίτον μέρος·
ところで、βλはβγの3分の1であった。
ὁ ἄρα δκ τοῦ βγ ἕκτον γ ζ μέρος ἐστίν.
したがって、δκはβγの6分の1（γ, ζ）である。
ἦν δὲ ὁ δκ τοῦ θ τρίτον μέρος·
また、δκはθの3分の1であった。
ιβ η Ϛ ὁ ἄρα β τοῦ θ διπλάσιός ἐστιν.
それゆえ、（ιβ, η, Ϛ） βはθの2倍である。
Ἄλλως.
別証明。
Ἔστω γὰρ ὁ μὲν α τοῦ β ἡμιόλιος, ὁ δὲ β τοῦ ἐπίτριτος.
αはβのヘミオリオスであり、βはγのエピトリトスであるとする。
λέγω ὅτι (p. 29) ὁ α τοῦ γ ἐστι διπλάσιος.
私は、 (p. 29) αはγの2倍であると主張する。
Ἐπεὶ γὰρ ἡμιόλιός ἐστιν ὁ α τοῦ β, ὁ α ἄρα ἔχει τὸν β καὶ τὸ ἥμισυ αὐτοῦ.
なぜなら、αはβのヘミオリオスであるから、それゆえαは βとその半分を含んでいる。
δύο β ἄρα οἱ α ἶσοί εἰσι τρισὶ τοῖς β.
したがって、二つのαは三つのβと等しい。
πάλιν ἐπεὶ ὁ β τοῦ γ ἐστιν ἐπίτριτος, ὁ β ἄρα ἔχει τὸν γ καὶ τὸ τρίτον αὐτοῦ.
再び、βがγのエピトリトスであるから、それゆえβはγとその3分の1を含んでいる。
τρεῖς ἄρα οἱ β ἶσοί εἰσι τέτταρσι τοῖς γ.
したがって、三つのβは四つのγと等しい。
τρεῖς δὲ οἱ ν ἶσοί εἰσι δυσὶ τοῖς α.
そして、三つのβは二つの αと等しい。
δύο ἄρα οἱ α ἶσοί εἰσι τέτταρσι ιβ η Ϛ τοῖς γ.
したがって、二つのαは（ιβ, η, Ϛ）四つのγと等しい。
ἄρα ὁ α ἶσός ἐστι δυσὶ τοῖς γ·
したがって、αは二つのγと等しい。
διπλάσιος ἄρα ἐστὶν ὁ α τοῦ γ.
それゆえ、αはγの2倍である。