§pr## ΕΥΚΛΕΙΔΟΥ
Κατατομὴ κανόνος. Εἰ ἡσυχία εἴη καὶ ἀκινησία, σιωπὴ ἂν εἴη·
## エウクレイデスカノーンの分割もし静寂と不動があるならば、沈黙があるだろう。
σιωπῆς δὲ οὔσης καὶ μηδενὸς κινουμένου οὐδὲν ἂν ἀκούοιτο·
沈黙があり、何ものも動いていないならば、何も聞こえないだろう。
εἰ ἄρα μέλλει τι ἀκουσθήσεσθαι, πληγὴν καὶ κίνησιν πρότερον δεῖ γενέσθαι.
それゆえ、もし何かが聞こえることになるならば、まず衝撃と運動が生じなければならない。
ὥστε ἐπειδὴ πάντες οἱ φθόγγοι γίνονται πληγῆς τινος γινομένης, πληγὴν δὲ ἀμήχανον γενέσθαι μὴ οὐχὶ κινήσεως πρότερον γενομένης, — τῶν δὲ κινήσεων αἱ μὲν πυκνότεραί εἰσιν, αἱ δὲ ἀραιότεραι, καὶ αἱ μὲν πυκνότεραι ὀξυτέρους ποιοῦσι τοὺς φθόγγους, αἱ δὲ ἀραιότεραι βαρυτέρους, — ἀναγκαῖον τοὺς μὲν ὀξυτέρους εἶναι, ἐπείπερ ἐκ πυκνοτέρων καὶ πλειόνων σύγκεινται κινήσεων, τοὺς δὲ βαρυτέρους ἐπείπερ ἐξ ἀραιοτέρων καὶ ἐλασσόνων σύγκεινται κινήσεων.
したがって、すべての音はある衝撃が生じることによって生じ、また、あらかじめ運動が生じることなしには、衝撃が生じることは不可能であるから、――そして、運動のうち、あるものはより密であり、あるものはより粗であって、より密な運動はより高い音を作り出し、より粗な運動はより低い音を作り出すのであるから――、高い音は、より密でより多くの運動から構成されているがゆえに、［そうなることが］必然であり、低い音は、より粗でより少ない運動から構成されているがゆえに、［そうなることが必然である］。
ὥστε τοὺς μὲν ὀξυτέρους τοῦ δέοντος ἀνιεμένους ἀφαιρέσει κινήσεως τυγχάνειν τοῦ δέοντος, τοὺς δὲ βαρυτέρους ἐπιτεινομένους προσθέσει κινήσεως τυγχάνειν τοῦ δέοντος.
したがって、必要以上に高い音は、運動の除去によって緩められることで、必要とされる音に達し、必要以上に低い音は、運動の付加によって緊張させられることで、必要とされる音に達する。
διόπερ ἐκ μορίων τοὺς φθόγγους συγκεῖσθαι φατέον, ἐπειδὴ προσθέσει καὶ ἀφαιρέσει τυγχάνουσι τοῦ δέοντος.
それゆえ、音は部分から構成されていると言わねばならない。 なぜなら、それらは付加と除去によって必要とされる音に達するからである。
πάντα δὲ τὰ ἐκ μορίων συγκείμενα ἀριθμοῦ λόγῳ λέγεται πρὸς ἄλληλα, ὥστε καὶ τοὺς φθόγγους ἀναγκαῖον ἐν ἀριθμοῦ λόγῳ λέγεσθαι πρὸς ἀλλήλους·
ところで、部分から構成されるすべてのものは、互いに対して数の比において言われる。 したがって、音もまた互いに対して数の比において言われることが必然である。
τῶν δὲ ἀριθμῶν οἱ μὲν (p. 24 Meib) ἐν πολλαπλασίῳ λόγῳ λέγονται, οἱ δὲ ἐν ἐπιμορίῳ, οἱ δὲ ἐν ἐπιμερεῖ, ὥστε καὶ τοὺς φθόγγους ἀναγκαῖον ἐν τοῖς τοιούτοις λόγοις λέγεσθαι πρὸς ἀλλήλους.
そして、数のうち、あるものは倍数比において言われ、あるものは超一分比において言われ、あるものは超多部分比において言われる。 したがって、音もまた、そのような比において互いに対して言われることが必然である。
τούτων δὲ οἱ μὲν πολλαπλάσιοι καὶ ἐπιμόριοι ἑνὶ ὀνόματι λέγονται πρὸς ἀλλήλους.
これらのうち、倍数と超一分は、互いに対して一つの名で言われる。
Γινώσκομεν δὲ καὶ τῶν φθόγγων τοὺς μὲν συμφώνους ὄντας, τοὺς δὲ διαφώνους, καὶ τοὺς μὲν συμφώνους μίαν κρᾶσιν τὴν ἐξ ἀμφοῖν ποιοῦντας, τοὺς δὲ διαφώνους οὔ.
また、我々は、音のうちあるものは協和し、あるものは不協和であることを知っている。 そして、協和する音は両者からなる一つの混合を作り出すが、不協和な音はそうではないことを知っている。
τούτων οὕτως ἐχόντων εἰκὸς τοὺς συμφώνους φθόγγους, ἐπειδὴ μίαν τὴν ἐξ ἀμφοῖν ποιοῦνται κρᾶσιν τῆς φωνῆς, εἶναι τῶν ἐν ἑνὶ ὀνόματι πρὸς ἀλλήλους λεγομένων ἀριθμῶν, ἤτοι πολλαπλασίους ὄντας ἢ ἐπιμορίους.
これらがこのようであるなら、協和する音は、両者からなる一つの声の混合を作り出すのであるから、互いに対して一つの名で言われる数たちの間にある、すなわち、倍数であるか超一分であるかのいずれかであるのが自然である。
§1Ἐὰν διάστημα πολλαπλάσιον δὶς συντεθὲν ποιῇ τι διάστημα, καὶ αὐτὸ πολλαπλάσιον ἔσται.
もし倍数比の音程が二度合わされてある音程を作るならば、それ自身も倍数比になるであろう。
Ἔστω διάστημα τὸ βγ, καὶ ἔστω πολλαπλάσιος ὁ β τοῦ γ, καὶ γεγενήσθω ὡς ὁ γ πρὸς τὸν β ὁ β πρὸς τὸν δ.
音程をβγとし、βはγの倍数であるとする。 そして、γ に対するβの比が、βに対するδの比となるように［δが］作られたとする。
φημὶ δὴ τὸν δ τοῦ γ πολλαπλάσιον εἶναι.
このとき、δはγの倍数であると私は主張する。
ἐπεὶ γὰρ ὁ β τοῦ πολλαπλάσιός ἐστι, μετρεῖ ἄρα ὁ τὸν β.
なぜなら、βは［γ］の倍数であるから、それゆえ［γ］はβを割り切る。
ἦν δὲ καὶ ὡς ὁ (p. 25) πρὸς (η) (δ) (β) τὸν β ὁ β πρὸς τὸν δ, ὥστε μετρεῖ ὁ γ καὶ τὸν δ.
また、［γ］に対するβの比はβに対するδの比であったから、それゆえ γはδをも割り切る。
πολλαπλάσιος ἄρα ἐστὶν ὁ δ τοῦ γ.
したがって、δはγの倍数である。
§2Ἐὰν διάστημα δὶς συντεθὲν τὸ ὅλον ποιῇ πολλαπλάσιον, καὶ αὐτὸ ἔσται πολλαπλάσιον.
もし音程が二度合わされて、全体として倍数比を作るならば、それ自体も倍数比になるであろう。
γ β δ σ ιβ κδ
Ἔστω διάστημα τὸ βγ καὶ γεγενήσθω ὡς ὁ πρὸς τὸν β οὕτως ὁ β πρὸς τὸν δ, καὶ ἔστω ὁ δ τοῦ γ πολλαπλάσιος.
γ β δ σ ιβ κδ 音程をβγとし、［γ］に対するβの比がそのように、βに対するδの比となるように［δが］作られたとし、δはγの倍数であるとする。
φημὶ καὶ τὸν β τοῦ εἶναι πολλαπλάσιον.
私は、βもまた［γ］の倍数であると主張する。
ἐπεὶ γὰρ ὁ δ τοῦ πολλαπλάσιός ἐστι, μετρεῖ ἄρα ὁ τὸν δ.
なぜなら、δは［γ］の倍数であるから、それゆえ［γ］はδを割り切る。
ἐμάθομεν δὲ ὅτι, ἐὰν ὦσιν ἀριθμοὶ ἀνάλογον ὁποσοιοῦν, ὁ δὲ πρῶτος τὸν ἔσχατον μετρῇ, καὶ τοὺς μεταξὺ μετρήσει.
そして、いくつかの数が比例関係にあり、最初の数が最後の数を割り切るならば、その間の数をも割り切る、ということを我々は学んだ。
μετρεῖ ἄρα ὁ γ τὸν β, πολλαπλάσιος ἄρα ὁ β τοῦ γ.
それゆえ、γはβを割り切り、したがってβはγの倍数である。
§3Ἐπιμορίου διαστήματος οὐδεὶς μέσος, οὔτε εἷς οὔτε πλείους ἀνάλογον ἐμπεσεῖται ἀριθμός.
超一分比の音程の間には、比例する中項の数は、一つも、あるいは複数であっても、決して入ることはない。
(p. 26. )
Ἔστω γὰρ ἐπιμόριον διάστημα τὸ βγ· ἐλάχιστοι δὲ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ τοῖς βγ ἔστωσαν οἱ δζ θ.
なぜなら、超一分音程をβγとし、βとγと同じ比における最小の数をδζとθとする。
οὗτοι οὖν ὑπὸ μονάδος μόνης μετροῦνται κοινοῦ μέτρου.
したがって、これらは唯一の共通の尺度である「一」によってのみ割り切られる。
ἄφελε ἶσον τῷ θ τὸν ηζ.
θと等しいηζを［δζから］引き去りなさい。
καὶ ἐπεὶ ἐπιμόριός ἐστιν ὁ δζ τοῦ θ, ἡ ὑπεροχὴ ὁ δη κοινὸν μέτρον τοῦ τε δζ καὶ τοῦ θ ἐστι·
そして、δζはθの超一分であるから、その差であるδηは、δζ とθの共通の尺度である。
μονὰς ἄρα ὁ δη·
それゆえ、δηは「一」である。
οὐκ ἄρα ἐμπεσεῖται εἰς τοὺς δζ θ μέσος οὐδείς.
したがって、δζとθの間には、中項は一つも入ることはない。
ἔσται γὰρ ὁ ἐμπίπτων τοῦ δζ ἐλάττων, τοῦ δὲ θ μείζων, ὥστε τὴν μονάδα διαιρεῖσθαι, ὅπερ ἀδύνατον.
なぜなら、間に入る数はδζより小さく、θより大きくなり、その結果「一」が分割されることになるが、これは不可能だからである。
οὐκ ἄρα ἐμπεσεῖται εἰς τοὺς δζ θ τις.
したがって、δζとθの間には、いかなる数も入ることはない。
ὅσοι δὲ εἰς τοὺς ἐλαχίστους μέσοι ἀνάλογον ἐμπίπτουσι, τοσοῦτοι καὶ εἰς τοὺς τὸν αὐτὸν λόγον ἔχοντας ἀνάλογον μπεσοῦνται.
ところで、最小の数たちの間に比例する中項が入る数だけ、それと同じ比を持つ数たちの間にも比例する中項が入る。
οὐδεὶς δὲ εἰς τοὺς δζ θ ἐμπεσεῖται, οὐδὲ εἰς τοὺς β ἐμπεσεῖται.
しかし、δζとθの間には一つも入らないのであるから、βと［γ］の間にも入ることはない。