§4Ἐὰν διάστημα μὴ πολλαπλάσιον δὶς συντεθῇ, τὸ ὅλον οὔτε πολλαπλάσιον ἔσται, οὔτε ἐπιμόριον.
如果一个非倍比的音程叠加两次，其整体既非倍比，亦非超一分比。
Ἔστω γὰρ διάστημα μὴ πολλαπλάσιον, τὸ βγ, καὶ γεγενήσθω ὡς ὁ (p. 27) πρὸς τὸν β ὁ β πρὸς τὸν δ.
设一非倍比音程为βγ，并设如［γ］（p. 27）对 β，β对δ。
λέγω ὅτι ὁ δ τοῦ γ οὔτε πολλαπλάσιος οὔτε ἐπιμόριός ἐστιν.
我声明，δ既不是γ的倍数，也不是γ的超一分。
Ἔστω γὰρ πρῶτον ὁ δ τοῦ γ πολλαπλάσιος.
因为首先，设δ是γ的倍数。
οὐκοῦν ἐμάθομεν, ὅτι ἐὰν διάστημα δὶς συντεθὲν τὸ ὅλον ποιῇ πολλαπλάσιον, καὶ αὐτὸ πολλαπλάσιόν ἐστιν.
那么我们已经学过，如果一个音程叠加两次，其整体产生倍比，它本身也将是倍比的。
ἔσται ἄρα ὁ β τοῦ πολλαπλάσιος.
因此，β将是［γ］的倍数。
οὐκ ἦν δέ.
然而它并不是。
ἀδύνατον ἄρα τὸν τοῦ εἶναι πολλαπλάσιον.
因此，［δ］是［γ］的倍数是不可能的。
ἀλλὰ μὴν οὐδʼ ἐπιμόριον.
然而，它也不是超一分。
ἐπιμορίου γὰρ διαστήματος μέσος οὐδεὶς ἀνάλογον ἐμπίπτει.
因为在超一分音程之间，没有任何比例中项能插入其间。
εἰς δὲ τοὺς δγ ἐμπίπτει ὁ β.
而在δ与γ之间，β插入了其间。
ἀδύνατον ἄρα τὸν δ τοῦ γ ἢ πολλαπλάσιον ἢ ἐπιμόριον εἶναι.
因此，δ是γ的倍数或超一分是不可能的。
§5Ἐὰν διάστημα δὶς συντεθὲν τὸ ὅλον μὴ ποιῇ πολλαπλάσιον, οὐδʼ αὐτὸ ἔσται πολλαπλάσιον.
如果一个音程叠加两次，其整体不产生倍比，它本身也将不是倍比的。
Ἔστω γὰρ διάστημα τὸ βγ, καὶ γεγενήσθω ὡς ὁ πρὸς τὸν β ὁ β πρὸς τὸν δ, καὶ μὴ ἔστω ὁ δ τοῦ πολλαπλάσιος.
设音程为βγ，并设如［γ］对β，β对δ，且设δ不是［γ］的倍数。
λέγω, ὅτι οὐδὲ ὁ β τοῦ γ ἔσται πολλαπλάσιος.
我声明， β也将不是γ的倍数。
εἰ γάρ ἔστιν ὁ β τοῦ (p. 28) πολλαπλάσιος, ἔσται ἄρα ὁ δ τοῦ γ πολλαπλάσιος.
因为如果β是［γ］（p. 28）的倍数，那么δ便是γ的倍数。
οὐκ ἔστι θ ϛ δ δέ.
然而事实并非如此（θ, ϛ, δ）。
οὐκ ἄρα ὁ β τοῦ ἔσται πολλαπλάσιος.
因此，β不会是［γ］的倍数。
Ϛ. Τὸ διπλάσιον διάστημα ἐκ δύο τῶν μεγίστων ἐπιμορίων συνέστηκεν, ἔκ τε τοῦ ἡμιολίου καὶ ἐκ τοῦ ἐπιτρίτου.
6. 双倍音程是由两个最大的超一分比构成的，即由一又二分之一比与一又三分之一比构成。
Ἔστω γὰρ ὁ μὲν β τοῦ δζ ἡμιόλιος, ὁ δὲ δζ τοῦ θ ἐπίτριτος.
设β是δζ的一又二分之一，且δζ是θ的一又三分之一。
φημὶ τὸν β τοῦ θ διπλάσιον εἶναι.
我声明，β是θ的双倍。
ἀφεῖλον γὰρ ἶσον τῷ θ τὸν ζκ καὶ τῷ δζ τὸν γλ.
因为我已减去与θ相等的ζκ，以及与δζ相等的γλ。
οὐκοῦν ἐπεὶ ὁ βγ τοῦ δζ ἡμιόλιος, ὁ βλ ἄρα β τοῦ βγ τρίτον μέρος ἐστὶν, τοῦ δὲ δζ ἥμισυ.
因此，既然βγ是δζ的一又二分之一，βλ便是βγ的三分之一，也是δζ的一半。
πάλιν ἐπεὶ ὁ δζ τοῦ θ ἐπίτριτός ἐστιν, ὁ δκ δ τοῦ μὲν δζ τεταρτημόριον, τοῦ δὲ θ τριτημόριον.
再次，既然δζ是θ的一又三分之一，δκ便是δζ的四分之一，也是θ的三分之一。
οὐκοῦν ἐπεὶ ὁ δκ τοῦ δζ ἐστι τεταρτημόριον, ὁ δὲ βλ τοῦ δζ ἥμισυ, τοῦ ἄρα βλ ἥμισυ ἔσται ὁ δκ.
因此，既然δκ是δζ的四分之一，而βλ是δζ的一半，那么δκ便是βλ的一半。
ἦν δὲ ὁ βλ τοῦ βγ τρίτον μέρος· ὁ ἄρα δκ τοῦ βγ ἕκτον γ ζ μέρος ἐστίν.
而βλ是βγ的三分之一；因此δκ是βγ的六分之一（γ, ζ）。
ἦν δὲ ὁ δκ τοῦ θ τρίτον μέρος· ιβ η Ϛ ὁ ἄρα β τοῦ θ διπλάσιός ἐστιν.
而δκ是θ的三分之一；（ιβ, η, Ϛ）因此β是θ的双倍。
Ἄλλως. Ἔστω γὰρ ὁ μὲν α τοῦ β ἡμιόλιος, ὁ δὲ β τοῦ ἐπίτριτος.
另证：设α是β的一又二分之一，且β是γ的一又三分之一。
λέγω ὅτι (p. 29) ὁ α τοῦ γ ἐστι διπλάσιος.
我声明，（p. 29）α是γ的双倍。
Ἐπεὶ γὰρ ἡμιόλιός ἐστιν ὁ α τοῦ β, ὁ α ἄρα ἔχει τὸν β καὶ τὸ ἥμισυ αὐτοῦ.
因为既然α是β的一又二分之一， α便包含β及其一半。
δύο β ἄρα οἱ α ἶσοί εἰσι τρισὶ τοῖς β.
因此，两个α等于三个β。
πάλιν ἐπεὶ ὁ β τοῦ γ ἐστιν ἐπίτριτος, ὁ β ἄρα ἔχει τὸν γ καὶ τὸ τρίτον αὐτοῦ.
再次，因为β是γ的一又三分之一，β便包含γ及其三分之一。
τρεῖς ἄρα οἱ β ἶσοί εἰσι τέτταρσι τοῖς γ.
因此，三个β等于四个γ。
τρεῖς δὲ οἱ ν ἶσοί εἰσι δυσὶ τοῖς α.
而三个β等于两个α。
δύο ἄρα οἱ α ἶσοί εἰσι τέτταρσι ιβ η Ϛ τοῖς γ.
因此，两个α等于（ιβ, η, Ϛ）四个γ。
ἄρα ὁ α ἶσός ἐστι δυσὶ τοῖς γ· διπλάσιος ἄρα ἐστὶν ὁ α τοῦ γ.
因此，α等于两个γ；所以α是γ的双倍。