§4Ἐὰν διάστημα μὴ πολλαπλάσιον δὶς συντεθῇ, τὸ ὅλον οὔτε πολλαπλάσιον ἔσται, οὔτε ἐπιμόριον.
만약 배수비가 아닌 음정이 두 번 결합된다면, 전체는 배수비도 아니고 초일분비도 아닐 것이다.
Ἔστω γὰρ διάστημα μὴ πολλαπλάσιον, τὸ βγ, καὶ γεγενήσθω ὡς ὁ (p.
왜냐하면 배수비가 아닌 음정을 βγ라 하고,［γ］(p.
27) πρὸς τὸν β ὁ β πρὸς τὸν δ.
27)에 대한 β의 비가 β에 대한 δ의 비가 되도록［δ가］만들어졌다고 하자.
λέγω ὅτι ὁ δ τοῦ γ οὔτε πολλαπλάσιος οὔτε ἐπιμόριός ἐστιν.
나는 δ가 γ의 배수도 아니고 초일분비도 아니라고 말한다.
Ἔστω γὰρ πρῶτον ὁ δ τοῦ γ πολλαπλάσιος.
먼저 δ가 γ의 배수라고 하자.
οὐκοῦν ἐμάθομεν, ὅτι ἐὰν διάστημα δὶς συντεθὲν τὸ ὅλον ποιῇ πολλαπλάσιον, καὶ αὐτὸ πολλαπλάσιόν ἐστιν.
우리는 어떤 음정이 두 번 결합되어 전체로서 배수비를 만든다면, 그것 자체도 배수비라는 것을 배웠다.
ἔσται ἄρα ὁ β τοῦ πολλαπλάσιος.
따라서 β는［γ］의 배수가 될 것이다.
οὐκ ἦν δέ.
하지만 그렇지 않았다.
ἀδύνατον ἄρα τὸν τοῦ εἶναι πολλαπλάσιον.
그러므로［δ］가［γ］의 배수라는 것은 불가능하다.
ἀλλὰ μὴν οὐδʼ ἐπιμόριον.
하지만 참으로 초일분비도 아니다.
ἐπιμορίου γὰρ διαστήματος μέσος οὐδεὶς ἀνάλογον ἐμπίπτει.
왜냐하면 초일분비인 음정 사이에는 비례하는 중항이 전혀 끼어들지 못하기 때문이다.
εἰς δὲ τοὺς δγ ἐμπίπτει ὁ β.
그런데 δ와 γ 사이에는 β가 끼어든다.
ἀδύνατον ἄρα τὸν δ τοῦ γ ἢ πολλαπλάσιον ἢ ἐπιμόριον εἶναι.
그러므로 δ가 γ의 배수이거나 초일분비인 것은 불가능하다.
§5Ἐὰν διάστημα δὶς συντεθὲν τὸ ὅλον μὴ ποιῇ πολλαπλάσιον, οὐδʼ αὐτὸ ἔσται πολλαπλάσιον.
만약 어떤 음정이 두 번 결합되어 전체로서 배수비를 만들지 않는다면, 그것 자체도 배수비가 되지 않을 것이다.
Ἔστω γὰρ διάστημα τὸ βγ, καὶ γεγενήσθω ὡς ὁ πρὸς τὸν β ὁ β πρὸς τὸν δ, καὶ μὴ ἔστω ὁ δ τοῦ πολλαπλάσιος.
왜냐하면 음정을 βγ라 하고,［γ］에 대한 β의 비가 β에 대한 δ의 비가 되도록［δ가］만들어졌다고 하고, δ는［γ］의 배수가 아니라고 하자.
λέγω, ὅτι οὐδὲ ὁ β τοῦ γ ἔσται πολλαπλάσιος.
나는 β 역시 γ의 배수가 되지 않을 것이라고 주장한다.
εἰ γάρ ἔστιν ὁ β τοῦ (p.
왜냐하면 만약 β가［γ］(p.
28) πολλαπλάσιος, ἔσται ἄρα ὁ δ τοῦ γ πολλαπλάσιος.
28)의 배수라면, 따라서 δ는 γ의 배수가 될 것이기 때문이다.
οὐκ ἔστι θ ϛ δ δέ.
하지만 그렇지 않다 (θ, ϛ, δ).
οὐκ ἄρα ὁ β τοῦ ἔσται πολλαπλάσιος.
그러므로 β는［γ］의 배수가 되지 않을 것이다.
Ϛ. Τὸ διπλάσιον διάστημα ἐκ δύο τῶν μεγίστων ἐπιμορίων συνέστηκεν, ἔκ τε τοῦ ἡμιολίου καὶ ἐκ τοῦ ἐπιτρίτου.
6. 두 배 음정은 두 개의 가장 큰 초일분비, 즉 헤미올리오스와 에피트리토스로 구성된다.
Ἔστω γὰρ ὁ μὲν β τοῦ δζ ἡμιόλιος, ὁ δὲ δζ τοῦ θ ἐπίτριτος.
왜냐하면 β는 δζ의 헤미올리오스이고, δζ는 θ의 에피트리토스라 하자.
φημὶ τὸν β τοῦ θ διπλάσιον εἶναι.
나는 β가 θ의 두 배라고 주장한다.
ἀφεῖλον γὰρ ἶσον τῷ θ τὸν ζκ καὶ τῷ δζ τὸν γλ.
왜냐하면 내가 θ와 같은 ζκ를, 그리고 δζ와 같은 γλ을 빼었기 때문이다.
οὐκοῦν ἐπεὶ ὁ βγ τοῦ δζ ἡμιόλιος, ὁ βλ ἄρα β τοῦ βγ τρίτον μέρος ἐστὶν, τοῦ δὲ δζ ἥμισυ.
따라서 βγ가 δζ의 헤미올리오스이므로, βλ은 βγ의 3분의 1이며, δζ의 절반이다.
πάλιν ἐπεὶ ὁ δζ τοῦ θ ἐπίτριτός ἐστιν, ὁ δκ δ τοῦ μὲν δζ τεταρτημόριον, τοῦ δὲ θ τριτημόριον.
다시, δζ가 θ의 에피트리토스이므로, δκ는 δζ의 4분의 1이며, θ의 3분의 1이다.
οὐκοῦν ἐπεὶ ὁ δκ τοῦ δζ ἐστι τεταρτημόριον, ὁ δὲ βλ τοῦ δζ ἥμισυ, τοῦ ἄρα βλ ἥμισυ ἔσται ὁ δκ.
따라서 δκ가 δζ의 4분의 1이고, βλ이 δζ의 절반이므로, 따라서 δκ는 βλ의 절반이 될 것이다.
ἦν δὲ ὁ βλ τοῦ βγ τρίτον μέρος· ὁ ἄρα δκ τοῦ βγ ἕκτον γ ζ μέρος ἐστίν.
그런데 βλ은 βγ의 3분의 1이었으므로, 따라서 δκ는 βγ의 6분의 1(γ, ζ)이다.
ἦν δὲ ὁ δκ τοῦ θ τρίτον μέρος·
그리고 δκ는 θ의 3분의 1이었다.
ιβ η Ϛ ὁ ἄρα β τοῦ θ διπλάσιός ἐστιν.
그러므로 (ιβ, η, Ϛ) β는 θ의 두 배이다.
Ἄλλως.
다른 증명.
Ἔστω γὰρ ὁ μὲν α τοῦ β ἡμιόλιος, ὁ δὲ β τοῦ ἐπίτριτος.
α는 β의 헤미올리오스이고, β는 γ의 에피트리토스라 하자.
λέγω ὅτι (p.
나는 (p.
29) ὁ α τοῦ γ ἐστι διπλάσιος.
29) α가 γ의 두 배라고 주장한다.
Ἐπεὶ γὰρ ἡμιόλιός ἐστιν ὁ α τοῦ β, ὁ α ἄρα ἔχει τὸν β καὶ τὸ ἥμισυ αὐτοῦ.
왜냐하면 α는 β의 헤미올리오스이므로, 따라서 α는 β와 그것의 절반을 갖는다.
δύο β ἄρα οἱ α ἶσοί εἰσι τρισὶ τοῖς β.
그러므로 두 개의 α는 세 개의 β와 같다.
πάλιν ἐπεὶ ὁ β τοῦ γ ἐστιν ἐπίτριτος, ὁ β ἄρα ἔχει τὸν γ καὶ τὸ τρίτον αὐτοῦ.
다시, β는 γ의 에피트리토스이므로, 따라서 β는 γ와 그것의 3분의 1을 갖는다.
τρεῖς ἄρα οἱ β ἶσοί εἰσι τέτταρσι τοῖς γ.
그러므로 세 개의 β는 네 개의 γ와 같다.
τρεῖς δὲ οἱ ν ἶσοί εἰσι δυσὶ τοῖς α.
그리고 세 개의 β는 두 개의 α와 같다.
δύο ἄρα οἱ α ἶσοί εἰσι τέτταρσι ιβ η Ϛ τοῖς γ.
그러므로 두 개의 α는 (ιβ, η, Ϛ) 네 개의 γ와 같다.
ἄρα ὁ α ἶσός ἐστι δυσὶ τοῖς γ·
그러므로 α는 두 개의 γ와 같다.
διπλάσιος ἄρα ἐστὶν ὁ α τοῦ γ.
따라서 α는 γ의 두 배이다.