§28## κη΄. Ἐν τοῖς κοίλοις ἐνόπτροις ἐὰν τὴν ἐκ τοῦ κέντρου δίχα τεμὼν καὶ πρὸς ὀρθὰς ἀγαγὼν θῇς τὰ ὄμματα ἴσον ἀπέχοντα τῆς ἐκ τοῦ κέντρου, θῇς δὲ ἢ ἀνὰ μέσον τῆς διαμέτρου καὶ τῆς πρὸς ὀρθὰς ἢ ἐπʼ αὐτῆς τῆς πρὸς ὀρθάς, οὐδέτερον τῶν ὀμμάτων φαίνεται.
## 28. 凹面鏡においては、もし中心からの線（半径）を二等分し、かつ垂線を引き上げて、目を中心からの線から等距離に置き、かつそれらを、直径と垂線との間、あるいは垂線そのものの上のいずれかに置くならば、どちらの目も見えない。
ἔστω κοῖλον ἔνοπτρον τὸ ΑΓ∠, διάμετρος δὲ ἡ Α∠, κέντρον δὲ τὸ Κ, καὶ ἡ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΚΓ δίχα τετμήσθω κατὰ τὸ Π, πρὸς ὀρθὰς δὲ αὐτῇ ἔστω ἡ ΕΠΖ, καὶ ὄμματα τὰ Β, Θ μεταξὺ κείμενα τῆς τε διαμέτρου τῆς Α∠ καὶ τῆς ΕΖ ἐν παραλλήλοις ταῖς ΕΖ, ΒΘ ἴσον ἀπέχοντα τῆς ΚΓ, ὄψις δὲ ἔστω ἡ ΒΓ ἀνακλωμένη ἐπὶ τὸ Θ ἴσας γὰρ ποιεῖ γωνίας πρὸς τῇ περιφερείᾳ διὰ τὸ παράλληλον εἶναι τὴν ΖΕ τῇ ΒΘ καὶ ἴσην τὴν ΒΝ τῇ ΝΘ. καὶ ἐπιζευχθεῖσαι αἱ ΚΒ, ΚΘ ἐκβεβλήσθωσαν, ἐκβεβλήσθω δὲ καὶ ἡ ΓΒ ἐπὶ τὸ Φ. καὶ ἐπεὶ μείζων ἐστὶν ἡ ΒΓ τῆς Β Κ, μείζων ἐστὶν ἡ Ρ γωνία τῆς Ι. ὥστε καὶ ἡ ὑπὸ ΓΒΘ μείζων τῆς ὑπὸ ΘΒΚ, τουτέστι τῆς ὑπὸ ΒΘΚ. οὐκ ἄρα συμπεσεῖται ἡ ΒΓ τῇ ΚΘ. οὐκ ἄρα ὀφθήσεται τὸ Θ κατὰ γὰρ τὴν συμβολὴν φαίνεται τῶν ΒΓ, ΚΘ.
ἔστω πάλιν τὰ αὐτὰ τῇ ἐπάνω, τὰ δὲ Β, Θ ὄμματα ἔστωσαν ἐπὶ τῆς δίχα καὶ πρὸς ὀρθὰς τεμνούσης τὴν ἐκ τοῦ κέντρου ἐπὶ τῆς Α∠.
凹面鏡を AGD、直径を AD、中心を K とせよ。 そして垂線 KG は P において二等分されるとし、これに対する垂線を EPZ とせよ。 そして、目 B, Th は直径 AD と EZ の中間に位置し、EZ と BTh が平行であるようにして、KG から等距離に置かれるとし、視線を BG、これが Th へと反射されるものとせよ。 なぜなら、ZE が BTh と平行であり、かつ BN が NTh と等しいことによって、円周において等しい角を作るからである。 そして、結ばれた KB, KTh は延長されるとし、また GB も Ph へと延長されるとせよ。 そして、BG は BK より大きいので、角 R は I より大きい。 したがって、角 GBTh も角 ThBK、すなわち角 BThK より大きい。 したがって、 BG は KTh と交わらないであろう。 それゆえ Th は見えないであろう。 なぜなら、BG と KTh の交わりにおいて見えるからである。 再び、上記と同様の設定とし、目 B, Th は、 AD 上の中心からの線を二等分して直交する線上にあるとせよ。
ἐπεὶ οὖν ἴση ἡ μὲν ΒΓ τῇ ΒΖ, ἡ δὲ ΓΘ τῇ Ζ Θ, παράλληλος ἂν εἴη ἡ ΒΓ τῇ ΖΘ. οὐκ ἄρα συμπεσεῖται ἡ ΒΓ ὄψις τῇ ἐκ τοῦ κέντρου ἐπὶ τὸ ὁρώμενον, τουτέστι τῇ ΖΘ, ἐπὶ τὰ Θ, μέρη.
そこで、BG は BZ と等しく、GTh は ZTh と等しいので、BG は ZTh と平行になるであろう。 したがって、視線 BG は、中心から見られるものへと引いた直線、すなわち ZTh と、Th の側において交わらないであろう。
ὥστε οὐ φαίνεται τὸ Θ ὄμμα·
したがって、目 Th は見えない。
κατὰ γὰρ τὴν συμβολὴν ἐφαίνετο τῶν ΒΓ, ΖΘ.
ἔστω πάλιν τὰ αὐτά, τῆς δὲ διχοτομίας ἀνωτέρω κείσθω τὰ ὄμματα τὰ Β, Γ ἴσον ἀπέχοντα τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τῆς Ζ Α. φημὶ δὴ φαίνεσθαι τὰ Β, Γ καὶ τὰ δεξιὰ ἀριστερὰ καὶ τὰ ἀριστερὰ δεξιὰ καὶ τὸ εἴδωλον μεῖζον τοῦ προσώπου καὶ τὸ ἀπόστημα ἀπὸ τοῦ ἐνόπτρου ἔχον μεῖζον τὸ εἴδωλον.
なぜなら、BG と ZTh の交わりにおいて見えたからである。 再び、同様の設定とし、二等分点より上方に、目 B, G が中心からの線 ZA から等距離に置かれるとせよ。 このとき、B, G は見え、かつ右は左に、左は右に見え、像は顔よりも大きく、また像は鏡からより大きな距離を持つ、と私は主張する。
ἔστω γὰρ ἡ ΒΑ ὄψις ἀνακλωμένη, καὶ ἐπεζεύχθωσαν ἀπὸ τοῦ κέντρου ἐπὶ τὸ Β, Γ αἱ ΖΒ, ΖΓ, καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΒΑ. ἐπεὶ οὖν διχοτομία ἐστὶ τὸ Ν, μείζων ἐστὶν ἡ ΒΖ τῆς ΒΑ καὶ ἡ Κ γωνία τῆς Ε. ἴση δὲ ἡ Κ τῇ ∠·
なぜなら、視線 BA は反射されるとし、中心から B, G へと ZB, ZG が結ばれるとし、BA は延長されるとせよ。 そこで、 N が二等分点であるので、BZ は BA より大きく、角 K は E より大きい。 しかし K は D と等しい。
μείζων ἄρα καὶ ἡ ∠ τῆς Ε. συμπεσοῦνται ἄρα αἱ ΖΒ, ΓΑ ἐκβληθεῖσαι.
したがって D も E より大きい。 したがって、延長された ZB, GA は交わるであろう。
συμπιπτέτωσαν κατὰ τὸ Π. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ αἱ ΒΑ, ΖΓ συμπεσοῦνται κατὰ τὸ Θ. ὀφθήσεται ἄρα τὸ μὲν Γ ἐπὶ τοῦ Θ, τὸ δὲ Β ἐπὶ τοῦ Π, καὶ φαίνεται τὰ μὲν δεξιὰ ἀριστερά, τὰ δὲ ἀριστερὰ δεξιά.
これらが P において交わるとせよ。 まさに同じ理由によって、BA, ZG も Th において交わるであろう。 したがって、 G は Th において、B は P において見えるであろう。 そして右は左に、左は右に見える。
ἀλλὰ μὴν καὶ μείζων ἡ ΘΠ τῆς ΒΙ παράλληλοι γάρ εἰσιν.
さらに、ThP は BI より大きい。 なぜなら、これらは平行だからである。
τὸ ἄρα εἴδωλον φαίνεται μεῖζον καὶ μεῖζον ἀπέχον τοῦ ἐνόπτρου·
したがって、像はより大きく、かつ鏡からより遠く離れて見える。
μείζων γὰρ ἡ ΜΑ τῆς ΑΛ.
ἐὰν δὲ ἔξω τῆς διαμέτρου τεθῇ τὰ ὄμματα, τὰ δεξιὰ φαίνεται δεξιὰ καὶ τὰ ἀριστερὰ ἀριστερὰ καὶ τὸ εἴδωλον ἔλασσον τοῦ προσώπου καὶ ἐν τῷ ἀνὰ μέσον τοῦ προσώπου καὶ τοῦ ἐνόπτρου.
なぜなら、MA は AL より大きいからである。 しかし、もし目が直径の外側に置かれるならば、右は右に、左は左に見え、像は顔よりも小さく、かつ顔と鏡の中間に見える。
ἔστω γὰρ ὄμματα τὰ Β, Γ, κέντρον δὲ τὸ Ζ τοῦ ἐνόπτρου, καὶ τῇ διαμέτρῳ πρὸς ὀρθὰς ἔστω ἡ Α Ζ ∠, καὶ ταύτῃ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΒΓ, καὶ ἴση τῇ ΒΑ ἔστω ἡ ΑΓ. καὶ ὄψις ἡ Β∠ ἀνακλωμένη ἐπὶ τὸ Γ καὶ διὰ τοῦ κέντρου αἱ ΒΖΚ, ΓΖΕ, καὶ ἀπὸ τῶν Ε, Κ ἡ ΚΕ ἐπεζεύχθω.
なぜなら、目を B, G とし、鏡の中心を Z とせよ。 そして直径に垂直な線を AZD とし、これに垂直な線を BG とし、BA は AG と等しいとせよ。 そして視線 BD が G へと反射されるとし、中心を通る線を BZK, GZE とし、E, K から KE が結ばれるとせよ。
οὐκοῦν τὸ μὲν Β ἐπὶ τοῦ Κ φαίνεται, τὸ δὲ Γ ἐπὶ τοῦ Ε. τὰ ἄρα δεξιὰ δεξιὰ καὶ τὰ ἀριστερὰ ἀριστερὰ φαίνεται καὶ τὸ ΕΚ εἴδωλον ἔλασσον τοῦ ΒΓ προσώπου·
そこで、B は K において見え、G は E において見える。 したがって、右は右に、左は左に見え、像 EK は顔 BG より小さい。
παράλληλος γάρ ἐστιν ἡ ΕΚ τῇ ΒΓ·
なぜなら、EK は BG と平行だからである。
καὶ ἀνὰ μέσον τοῦ ἐνόπτρου καὶ τοῦ προσώπου φαίνεται τὸ εἴδωλον.
また、像は鏡と顔の中間に見える。
ἀναγομένου δὲ τοῦ προσώπου ἔτι ἔλασσον φαίνεται τὸ εἴδωλον.
そして、顔が遠ざけられるとき、像はさらに小さく見える。
ἔστω γὰρ τὸ ΜΝ πρόσωπον τὸ αὐτὸ τῷ ΒΓ ἀφεστηκὸς ἀπὸ τοῦ ΒΓ κείμενον ὁμοίως.
なぜなら、顔 MN を BG と同じものとし、BG から遠ざかり、同様に置かれているとせよ。
οὐκοῦν ἡ ἀπὸ τοῦ Μ ἐπὶ τὸ Ζ κέντρον ἐπιζευχθεῖσα καὶ ἐκβληθεῖσα ἀνώτερον πεσεῖται τοῦ Κ ὡς τὸ Λ, ἡ δὲ ἀπὸ τοῦ Ν ἐπὶ τὸ Ζ ἀνώτερον τοῦ Ε ὡς τὸ Θ. φαίνεται ἄρα τὸ ΜΝ ὡς τὸ ΘΛ. καί ἐστιν ἔλασσον τὸ ΘΛ τοῦ ΕΚ καὶ ἔγγιον τοῦ ἐνόπτρου.
そこで、 M から中心 Z へと結ばれて延長された線は、K より上方の L のような点に落ち、N から Z への線は E より上方の Th のような点に落ちるであろう。 したがって、MN は ThL のように見える。 そして ThL は EK より小さく、鏡により近い。