§19## ιθ΄.
## 19.
Ἐν τοῖς ἐπιπέδοις ἐνόπτροις τὰ δεξιὰ ἀριστερὰ φαίνεται καὶ τὰ ἀριστερὰ δεξιὰ καὶ τὸ εἴδωλον ἴσον τῷ ὁρωμένῳ, καὶ τὸ ἀπόστημα τὸ ἀπὸ τοῦ ἐνόπτρου ἴσον ἐστίν.
평면거울에서는 오른편이 왼편으로 보이고 왼편이 오른편으로 보이며, 상은 보이는 물체와 같고, 거울로부터의 거리도 같다.
ἔστω ἐπίπεδον ἔνοπτρον τὸ ΑΓ, ὄμμα δὲ τὸ Β, ὄψεις δὲ αἱ ΒΑ, ΒΓ ἀνακλώμεναι ἐπὶ τὰ Ε, ∠, ὁρώμενον δὲ ἔστω τὸ Ε ∠, καὶ ἀπὸ τῶν Ε, ∠ ἐπὶ τὸ ἔνοπτρον κάθετοι ἤχθωσαν αἱ Ε Ζ, ∠Θ καὶ ἐκβεβλήσθωσαν, ἐκβεβλήσθωσαν δὲ καὶ αἱ ΒΓ, ΒΑ ὄψεις καὶ συμπιπτέτωσαν ταῖς καθέτοις κατὰ τὰ Κ, Λ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΛΚ. οὐκοῦν φαίνεται τὸ μὲν Ε ἐπὶ τοῦ Κ, τὸ δὲ ∠ ἐπὶ τοῦ Λ·
평면거울을 AG, 눈을 B, E와 D로 반사되는 시선을 BA와 BG라 하고, 보이는 물체를 ED라 하자. 그리고 E와 D로부터 거울로 수선 EZ와 DTh를 긋고 연장하라. 또한 시선 BG와 BA도 연장하여 수선들과 K, L에서 만나게 하고, LK를 이어라. 그러면 E는 K에서 보이고, D는 L에서 보인다.
τοῦτο γὰρ προεδείχθη.
왜냐하면 이것은 앞에서 이미 증명되었기 때문이다.
τὰ ἄρα ἀριστερ δεξιὰ φαίνεται καὶ τὰ δεξιὰ ἀριστερά.
따라서 왼편은 오른편으로 보이고 오른편은 왼편으로 보인다.
καὶ ἐπεὶ ἴσ ἐστὶν ἡ ὑπὸ τῶν ΚΓΖ γωνία τῇ ὑπὸ τῶν ΖΙΕ, κ εἰσιν ὀρθαὶ αἱ πρὸς τῷ Ζ, ἴση ἂν εἴη καὶ ἡ ΖΚ τ ΖΕ. διὰ τὰ αὐτὰ καὶ ἡ ∠Θ τῇ ΘΑ. ἴσον ἄρα τὸ ἀπόστημα, ὃ ἀπέχει ἀπὸ τοῦ ἐνόπτρου τὸ Ε∠, τῷ, ὃ ἀπέχει τὸ εἴδωλον τὸ Κ Λ. καὶ ἴσον τὸ ὁρώμενον τὸ Ε∠ τῷ εἰδώλῳ τῷ Κ Λ διὰ τὸ ἴσην εἶναι τὴν μὲν ΕΖ τῇ ΖΚ, τὴν δὲ ∠Θ τῇ ΘΛ, κοινὴν δὲ καὶ πρὸς ὀρθὰς τὴν ΘΖ.
그리고 각 KGZ는 각 ZGE와 같고, Z에서의 각들은 직각이므로, ZK도 ZE와 같을 것이다. 같은 이유로 DTh도 ThL과 같다. 그러므로 물체 ED가 거울로부터 떨어져 있는 거리는 상 KL이 떨어져 있는 거리와 같다. 그리고 보이는 물체 ED는 상 KL과 같다. 왜냐하면 EZ는 ZK와 같고, DTh는 ThL과 같으며, ThZ는 공통이자 직각을 이루기 때문이다.
§20## κ΄.
## 20.
Ἐν τοῖς κυρτοῖς ἐνόπτροις τὰ ἀριστερὰ δεξιὰ φαίνεται καὶ τὰ δεξιὰ ἀριστερά, καὶ τὸ ἀπόστημα ἀπὸ τοῦ ἐνόπτρου τὸ εἴδωλον ἔλασσον ἔχει.
볼록거울에서는 왼편이 오른편으로 보이고 오른편이 왼편으로 보이며, 상은 거울로부터 더 작은 거리를 가진다.
ἔστω ἔνοπτρον κυρτὸν τὸ ΑΓ, κέντρον δὲ τῆς σφαίρας τὸ Θ, ὄμμα δὲ τὸ Β, ὄψεῖς δὲ αἱ ΒΑ, ΒΓ ἀνακλώμεναι ἐπὶ τὰ ∠, Ε, ὁρώμενον δὲ τὸ ∠Ε, καὶ ἀπὸ τοῦ Θ κέντρου ἤχθωσαν ἐπὶ τὰ ∠, Ε αἱ Θ∠, ΘΕ, καὶ ἐκβεβλήσθωσαν αἱ ὄψεις ἐπὶ τὰ Ζ, Η, καὶ ἐπεζεύχθω τὸ ΖΗ εἴδωλον.
볼록거울을 AG, 구의 중심을 Th, 눈을 B라 하고, D와 E로 반사되는 시선을 BA와 BG라 하자. 또한 보이는 물체를 DE라 하고, 중심 Th로부터 D와 E로 ThD와 ThE를 긋고, 시선들을 Z와 H로 연장하며, 상 ZH를 이어라.
οὐκοῦν τὸ μὲν ∠ φαίνεται ἐπὶ τοῦ Η, τὸ δὲ Ε ἐπὶ τοῦ Ζ. τὰ ἄρα δεξιὰ ἀριστερὰ φαίνεται καὶ τὰ ἀριστερὰ δεξιά.
그러면 D는 H에서 보이고, E는 Z에서 보인다. 따라서 오른편은 왼편으로 보이고 왼편은 오른편으로 보인다.
λέγω, ὅτι μείζων ἐστὶν ἡ ΕΛ τῆς ΛΖ. ἤχθω γὰρ διὰ τοῦ Α ἐφαπτομένη τῆς περιφερείας ἡ ΡΑΚ. ἐπεὶ οὖν αἱ ΒΑ, ΑΕ πρὸς τὴν περιφέρειαν ἴσας ποιοῦσι γωνίας διὰ τὴν ἀνάκλασιν, ἐφάπτεται δὲ ἡ ΚΑΡ δίχα ἂν εἴη τετμημένη ἡ ὑπὸ τῶν ΕΑΖ γωνία.
나는 EL이 LZ보다 크다고 주장한다. 왜냐하면 A를 지나 원주에 접하는 RAK를 그어라. 그러면 BA와 AE는 반사로 인해 원주와 같은 각들을 만들므로, KAP가 접하므로 각 EAZ는 이등분될 것이다.
καὶ ἀμβλεῖά ἐστιν ἡ Κ γωνία·
그리고 각 K는 둔각이다.
μείζων ἄρα ἡ ΕΚ τῆς ΚΖ πολλῷ μᾶλλον ἡ ΕΛ τῆς ΛΖ. ἔλασσον ἄρα ἀπέχει τὸ εἴδωλον τὸ ΖΗ ἀπὸ τοῦ ἐνόπτρου, μεῖζον δὲ τὸ ὁρώμενον τὸ Ε∠.
그러므로 EK는 KZ보다 크고, 따라서 EL은 LZ보다 훨씬 더 크다. 그러므로 상 ZH가 거울로부터 떨어져 있는 거리는 더 작고, 보이는 물체 ED가 떨어져 있는 거리는 더 크다.
§21## κα΄.
## 21.
Ἐν τοῖς κυρτοῖς ἐνόπτροις τὸ εἴδωλον ἔλασσόν ἐστι τῶν ὁρωμένων.
볼록거울에서는 상이 보이는 물체보다 작다.
ἔστω γὰρ κυρτὸν ἔνοπτρον τὸ ΑΟΓ, ὄμμα δὲ τὸ Β, ὄψεις δὲ ἀνακλώμεναι αἱ ΒΑ, ΒΓ ἐπὶ τὰ ∠, Ε. οὐκοῦν ἀπὸ τοῦ κυρτοῦ ἐνόπτρου θεωρεῖται τὸ Ε∠ ἐν γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΑΒΓ. παρακείσθω δὴ ἔνοπτρον ἐπίπεδον τὸ ΑΓ ἁπτόμενον τῶν ὄψεων κατὰ τὰ Α, Γ. οὐκοῦν ἡ ὄψις ἡ μέλλουσα ἰδεῖν τὸ Ε ἀπὸ τοῦ ἐπιπέδου ἐνόπτρου οὐκ ἔστιν ἡ ΒΑΕ·
왜냐하면 볼록거울을 AOG, 눈을 B라 하고, D와 E로 반사되는 시선을 BA와 BG라 하자. 그러면 볼록거울로부터 ED는 각 ABG 아래에서 보인다. 이제 시선들에 A와 G에서 접하는 평면거울 AG를 나란히 배치하라. 그러면 평면 거울로부터 E를 보게 될 시선은 BAE가 아니다.
οὐ γὰρ ποιεῖ γωνίας ἴσας πρὸς τῷ ἐπιπέδῳ ἐνόπτρῳ.
왜냐하면 그것은 평면거울과 같은 각들을 만들지 않기 때문이다.
οὐδὲ μὴν κλασθήσεται μεταξὺ τῶν Α, Γ. κεκλάσθω γάρ, εἰ δυνατόν, καὶ ἔστω ἡ ΒΖΕ ὄψις.
또한 A와 G 사이에서 반사되지도 않을 것이다. 왜냐하면 가능하다면 반사된다고 하고, 그것을 시선 BZE라 하자.
ἴση ἄρα ἡ Η γωνία τῇ Θ διὰ τὴν ἀνάκλασιν.
그러면 반사로 인해 각 H는 각 Th와 같다.
ἡ δὲ Θ μείζων τῆς ΝΙ, ἡ δὲ Μ τῆς Η·
그런데 Th는 NI보다 크고, M은 H보다 크다.
ὥστε καὶ ἡ Μ τῆς ΝΙ μείζων ἐστίν· ὅπερ ἀδύνατον.
따라서 M도 NI보다 큰데, 이는 불가능하다.
αὐτὴ γὰρ ἡ Ι μείζων τῆς Μ ἐστιν·
왜냐하면 I 자체가 M보다 크기 때문이다.
ἴση γάρ ἐστιν ὅλῃ τῇ πρὸς τῇ περιφερείᾳ.
실제로 그것은 원주에서의 전체 각과 같다.
ἐκτὸς ἄρα ἀνακλασθήσεται τοῦ Α. κεκλάσθω καὶ ἔστω ἡ ΒΚΕ. ὁμοίως δὲ καὶ ἡ ΒΛ∠ πεσεῖται ἐκτός.
그러므로 A의 바깥쪽에서 반사될 것이다. 반사된다고 하고 그것을 BKE라 하자. 마찬가지로 BLD도 바깥쪽으로 떨어질 것이다.
τὸ ἄρα Ε∠ ὑπὸ μείζονος γωνίας θεωρεῖται ἀπὸ τοῦ ἐπιπέδου ἐνόπτρου τῆς περιεχομένης ὑπὸ ΚΒΛ ἤπερ ἀπὸ τοῦ κυρτοῦ.
그러므로 ED는 볼록거울로부터보다 평면거울로부터 더 큰 각, 즉 KBL에 의해 둘러싸인 각 아래에서 보인다.
ἴσον δὲ ἐδείχθη φαινόμενον ἐν τῷ ἐπιπέδῳ ἐνόπτρῳ.
그런데 평면거울에서는 보이는 상이 실물과 같다고 증명되었다.
φανερὸν οὖν, ὅτι ἀπὸ τοῦ κυρτοῦ ἐνόπτρου τὸ εἴδωλον ἔλασσον φαίνεται τοῦ ὁρωμένου.
그러므로 볼록거울로부터는 상이 보이는 물체보다 작게 보인다는 것이 명백하다.