§13## ιγ΄.
## 13.
Δυνατόν ἐστι διὰ πλειόνων ἐνόπτρων ἐπιπέδων ἰδεῖν τὸ αὐτό.
여러 개의 평면거울을 통하여 같은 물체를 보는 것이 가능하다.
ἔστω, ὃ δεῖ ὀφθῆναι, τὸ Α, ὄμμα δὲ τὸ Β, ἔνοπτρα δὲ τρία τὰ Γ∠, ∠Ε, ΕΖ. ἤχθω δὴ κάθετος ἀπὸ τοῦ Β ἐπὶ τὸ Γ∠ ἔνοπτρον ἡ ΒΓ, ἴση δὲ ἡ ΒΓ τῇ ΓΣ. καὶ πάλιν ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὸ ΕΖ κάθετος ἡ ΑΖ, καὶ τῇ ΑΖ ἴση ἡ ΖΘ, καὶ ἀπὸ τοῦ Θ ἐπὶ τὸ ∠Ε ἔνοπτρον κάθετος ἤχθω ἡ ΘΚ, καὶ ἔστω τῇ ΘΚ ἴση ἡ ΚΛ, καὶ ἀπὸ τοῦ Λ ἐπὶ τὸ Σ ἐπεζεύχθω ἡ ΛΜΞΣ, ἀπὸ δὲ τοῦ Μ ἐπὶ τὸ Θ ἡ ΜΡΘ, ἐπεζεύχθωσαν δὲ καὶ αἱ ΑΡ, ΒΞ. ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΒΓ τῇ ΓΣ, καὶ ὀρθαὶ αἱ πρὸς τῷ Γ γωνίαι, δύο δὴ αἰ ΒΓ, ΓΦ δυσὶ ταῖς ΣΓ, ΓΦ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ, καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΒΓΦ ὀρθὴ οὖσα γωνίᾳ τῇ ὑπὸ Σῶ ὀρθῇ οὔσῃ ἴση ἐστίν, καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι ταῖς λοιπαῖς γωνίαις ἴσαι ἔσονται, ὑφʼ ἃς αἱ ἴσαι πλευραὶ ὑποτείνουσιν, ἡ μὲν πρὸς τῷ Β γωνία τῇ πρὸς τῷ Σ, ἡ δὲ γωνία τῇ Τ. ἀλλʼ ἡ Τ τῇ Ν ἐστιν ἴση· κατὰ κορυφὴν γάρ·
보여야 할 것을 A, 눈을 B, 세 개의 거울을 GD, DE, EZ라 하자. 그러면 B에서 거울 GD로 수선 BG를 긋고, BG는 GS와 같게 하라. 그리고 다시 A에서 거울 EZ로 수선 AZ를 긋고, AZ는 ZTh와 같게 하라. 그리고 Th에서 거울 DE로 수선 ThK를 긋고, ThK는 KL과 같게 하라. 그리고 L에서 S로 직선 LMXS를 이어라. 그리고 M에서 Th로 직선 MRTh를 이어라. 그리고 AR, BX도 이어라. 그러므로 BG는 GS와 같고 G에서의 각들은 직각이므로, 두 선 BG, GF는 두 선 SG, GF와 각각 같다. 그리고 직각인 각 BGF는 직각인 각 S...와 같다. 또한 같은 변들이 대립하는 나머지 각들도 나머지 각들과 각각 같을 것이다. 즉 B에서의 각은 S에서의 각과 같고, [GFB] 각은 T와 같다. 그러나 T는 N과 같다(맞꼭지각이기 때문이다).
ὥστε ἴση ἐστὶ καὶ ἡ Ν γωνία τῇ Ξ. ἡ ἄρα ΒΞ ὄψις ἀνακλασθήσεται ἐπὶ τὸ Μ. πάλιν ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΘΚ τῇ Κ Λ, καὶ ὀρθαὶ δὲ αἱ πρὸς τῷ Κ, ἴση ἐστὶν ἡ Ο γωνία τῇ Π. ἀνακλᾶται ἄρα ἡ.
따라서 각 N도 X와 같다. 그러므로 시선 BX는 M으로 반사될 것이다. 다시 ThK는 KL과 같고 K에서의 각들도 직각이므로, 각 O는 각 P와 같다.
αὐτὴ ὄψις ἡ ΒΞΜ ἐπὶ τὸ Ρ διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἐπὶ τὸ Α διὰ τὸ ἴσην εἶναι τὴν ὑπὸ ΖΡΑ γωνίαν τῇ ὑπὸ ΕΡΜ ὁμοίως ταῖς λοιπαῖς ἀποδείξεσιν.
그러므로 같은 시선 BXM은 R로 반사되며, 같은 이유로 각 ZRA가 각 ERM과 같기 때문에 A로도 반사된다. 이는 다른 증명들과 마찬가지이다.
ὁρᾷ ἄρα ἡ ἀπὸ τοῦ Β ὄμματος ὄψις τὸ Α διὰ τῶν τριῶν ἐνόπτρων ὄντων ἐπιπέδων τῶν Γ∠, ∠Ε, ΕΖ.
따라서 눈 B로부터의 시선은 세 개의 평면거울 GD, DE, EZ를 통하여 A를 본다.
§14## ιδ΄.
## 14.
Ἔστι δὲ καί, διʼ ὅσων ἄν τις ἐπιτάξῃ ἐνόπτρων ἐπιπέδων, ἰδεῖν τὸ αὐτό·
또한 지시받은 임의의 개수의 평면거울을 통하여 같은 물체를 보는 것도 가능하다.
δεῖ δὲ κατὰ τὸν ἀριθμὸν τῶν ἐνόπτρων πολύγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον συνίστασθαι δυσὶ πλείους ἔχον πλευρὰς τῶν ἐνόπτρων.
이를 위해서는 거울의 개수에 따라 거울의 개수보다 두 개 더 많은 변을 가진, 등변이자 등각인 다각형이 구성되어야 한다.
ἔστω γάρ, ὃ μὲν ὀφθῆναι δεῖ, τὸ Α, ὄμμα δὲ τὸ Β, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΒ, καὶ ἀπὸ τῆς ΑΒ ἀναγεγράφθω πολύγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον δύο πλευρὰς, πλείους ἔχον τῶν ἐνόπτρων καὶ ἔστω τὸ ΑΒ∠ πολυγώνιον, καὶ εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ κύκλου τοῦ γραφομένου περὶ τὸ πολύγωνον τὸ Θ, καὶ ἀπʼ αὐτοῦ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΘΓ, ΘΕ, Θ∠, ΘΒ, ΘΑ ἐπὶ τὰς γωνίας, καὶ προσκείσθωσαν ἔνοπτρα ἐπίπεδα πρὸς ὀρθὰς ταῖς ἐπεζευγμέναις.
왜냐하면 보여야 할 것을 A, 눈을 B라 하고, AB를 이어라. 그리고 AB 위에 거울의 개수보다 두 개 더 많은 변을 가진 등변이자 등각인 다각형을 그리고, 이를 다각형 ABD...라 하자. 그리고 다각형에 외접하는 원의 중심 Th를 잡아라. 그리고 그곳으로부터 꼭짓점들로 ThG, ThE, ThD, ThB, ThA를 이어라. 그리고 이 이어진 선들에 수직하게 평면거울들을 배치하라.
ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ Ζ Λ γωνία τῇ ΝΚ ὀρθὴ γάρ ἐστιν ἑκατέρα·
그러면 각 Z, L은 각 N, K와 같다. 각각 직각이기 때문이다.
ὧν ἡ Ν τῇ Λ ἴση ἐστίν, λοιπὴ ἄρα ἡ Ζ τῇ Κ ἴση ἐστίν.
이것들 중 N은 L과 같으므로, 남은 Z는 K와 같다.
ὥστε ἡ ἀνάκλασις τῆς ΒΓ ὄψεως ἐπὶ τὸ ∠ ἔσται·
따라서 시선 BG의 D로의 반사가 일어날 것이다.
διὰ γὰρ ἴσων γωνιῶν αἱ ἀνακλάσεις γίνονται.
반사는 같은 각들을 통하여 일어나기 때문이다.
ὁμοίως δὲ δειχθήσονται καὶ αἱ πρὸς τοῖς ∠, Ε σημείοις γωνίαι ἴσαι αἱ πρὸς τοῖς ἐνόπτροις.
마찬가지로 점 D, E에서 거울에 대한 각들도 같다는 것이 증명될 것이다.
ἡ ἄρα ἀπὸ τοῦ Β ὄμματος ὄψις ἀνακλωμένη καὶ προσπεσοῦσα πρὸς πάντα τὰ ἔνοπτρα ἥξει ἐπὶ τὸ Α.
그러므로 눈 B로부터의 시선은 반사되어 모든 거울에 닿은 후 A에 도달할 것이다.