§9.prop.13ἐὰν ἀπὸ μονάδος ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον ὦσιν, ὁ δὲ μετὰ τὴν μονάδα πρῶτος ᾖ, ὁ μέγιστος ὑπʼ οὐδενὸς μετρηθήσεται παρὲξ τῶν ὑπαρχόντων ἐν τοῖς ἀνάλογον ἀριθμοῖς.
1から任意の個数の数が連続して比例しており、1の次の数が素数であるならば、最大の数は、その比例する数たちの中に存在している数たちを除いて、いかなる数によっても割り切られないであろう。
ἔστωσαν ἀπὸ μονάδος ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον οἱ Α, Β, Γ, Δ, ὁ δὲ μετὰ τὴν μονάδα ὁ Α πρῶτος ἔστω·
1から任意の個数の連続して比例する数たちを Α, Β, Γ, Δ とし、1の次の数 Α を素数とせよ。
λέγω, ὅτι ὁ μέγιστος αὐτῶν ὁ Δ ὑπʼ οὐδενὸς ἄλλου μετρηθήσεται παρὲξ τῶν Α, Β, Γ.
εἰ γὰρ δυνατόν, μετρείσθω ὑπὸ τοῦ Ε, καὶ ὁ Ε μηδενὶ τῶν Α, Β, Γ ἔστω ὁ αὐτός.
私は、それらのうち最大の数である Δ が、Α, Β, Γ 以外のいかなる他の数によっても割り切られないと主張する。 なぜなら、可能であるならば、［Δ が］ Ε によって割り切られるとし、Ε は Α, Β, Γ のいずれとも同じではないとせよ。
φανερὸν δή, ὅτι ὁ Ε πρῶτος οὔκ ἐστιν.
すると明らかに、Ε は素数ではない。
εἰ γὰρ ὁ Ε πρῶτός ἐστι καὶ μετρεῖ τὸν Δ, καὶ τὸν Α μετρήσει πρῶτον ὄντα μὴ ὢν αὐτῷ ὁ αὐτός·
なぜなら、もし Ε が素数であり、かつ Δ を割り切るならば、［Ε は］ Α と同じではないのに、素数である Α を割り切ることになるが、これは不可能だからである。
ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. οὐκ ἄρα ὁ Ε πρῶτός ἐστιν.
したがって、Ε は素数ではない。
σύνθετος ἄρα.
したがって合成数である。
πᾶς δὲ σύνθετος ἀριθμὸς ὑπὸ πρώτου τινὸς ἀριθμοῦ μετρεῖται·
すべての合成数はある素数によって割り切られる。
ὁ Ε ἄρα ὑπὸ πρώτου τινὸς ἀριθμοῦ μετρεῖται.
したがって、Ε はある素数によって割り切られる。
λέγω δή, ὅτι ὑπʼ οὐδενὸς ἄλλου πρώτου μετρηθήσεται πλὴν τοῦ Α. εἰ γὰρ ὑφʼ ἑτέρου μετρεῖται ὁ Ε, ὁ δὲ Ε τὸν Δ μετρεῖ, κἀκεῖνος ἄρα τὸν Δ μετρήσει·
そこで私は、［Ε は］ Α 以外のいかなる他の素数によっても割り切られないと主張する。 なぜなら、もし Ε が他の［素数］によって割り切られ、かつ Ε が Δ を割り切るならば、その［素数］も Δ を割り切るであろう。
ὥστε καὶ τὸν Α μετρήσει πρῶτον ὄντα μὴ ὢν αὐτῷ ὁ αὐτός· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
その結果、［その素数は］ Α と同じではないのに、素数である Α も割り切ることになるが、これは不可能だからである。
ὁ Α ἄρα τὸν Ε μετρεῖ.
したがって、Α は Ε を割り切る。
καὶ ἐπεὶ ὁ Ε τὸν Δ μετρεῖ, μετρείτω αὐτὸν κατὰ τὸν Ζ. λέγω, ὅτι ὁ Ζ οὐδενὶ τῶν Α, Β, Γ ἐστιν ὁ αὐτός.
そして、Ε は Δ を割り切るから、これを Ζ を商として割り切るとせよ。 私は、Ζ が Α, Β, Γ のいずれとも同じではないと主張する。
εἰ γὰρ ὁ Ζ ἑνὶ τῶν Α, Β, Γ ἐστιν ὁ αὐτὸς καὶ μετρεῖ τὸν Δ κατὰ τὸν Ε, καὶ εἷς ἄρα τῶν Α, Β, Γ τὸν Δ μετρεῖ κατὰ τὸν Ε. ἀλλὰ εἷς τῶν Α, Β, Γ τὸν Δ μετρεῖ κατά τινα τῶν Α, Β, Γ·
なぜなら、もし Ζ が Α, Β, Γ のうちの一つと同じであり、かつ Δ を Ε を商として割り切るならば、 Α, Β, Γ のうちの一つも Δ を Ε を商として割り切ることになる。 しかし、 Α, Β, Γ のうちの一つは Δ を、Α, Β, Γ のうちのいずれかを商として割り切る。
καὶ ὁ Ε ἄρα ἑνὶ τῶν Α, Β, Γ ἐστιν ὁ αὐτός· ὅπερ οὐχ ὑπόκειται.
したがって、Ε も Α, Β, Γ のうちの一つと同じになるが、これは仮定されていない。
οὐκ ἄρα ὁ Ζ ἑνὶ τῶν Α, Β, Γ ἐστιν ὁ αὐτός.
したがって、Ζ は Α, Β, Γ のうちの一つと同じではない。
ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι μετρεῖται ὁ Ζ ὑπὸ τοῦ Α, δεικνύντες πάλιν, ὅτι ὁ Ζ οὔκ ἐστι πρῶτος.
同様にして、我々は Ζ が Α によって割り切られることを、再び Ζ が素数ではないことを示すことによって証明するであろう。
εἰ γάρ, καὶ μετρεῖ τὸν Δ, καὶ τὸν α μετρήσει πρῶτον ὄντα μὴ ὢν αὐτῷ ὁ αὐτός· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον·
なぜなら、もし［Ζ が素数であり］かつ Δ を割り切るならば、 Α と同じではないのに、素数である Α を割り切ることになるが、これは不可能だからである。
οὐκ ἄρα πρῶτός ἐστιν ὁ Ζ·
したがって、Ζ は素数ではない。
σύνθετος ἄρα.
したがって合成数である。
ἅπας δὲ σύνθετος ἀριθμὸς ὑπὸ πρώτου τινὸς ἀριθμοῦ μετρεῖται·
すべての合成数はある素数によって割り切られる。
ὁ Ζ ἄρα ὑπὸ πρώτου τινὸς ἀριθμοῦ μετρεῖται.
したがって、Ζ はある素数によって割り切られる。
λέγω δή, ὅτι ὑφʼ ἑτέρου πρώτου οὐ μετρηθήσεται πλὴν τοῦ α.
そこで私は、［Ζ は］ Α 以外の他の素数によっては割り切られないと主張する。
εἰ γὰρ ἕτερός τις πρῶτος τὸν Ζ μετρεῖ, ὁ δὲ Ζ τὸν Δ μετρεῖ, κἀκεῖνος ἄρα τὸν Δ μετρήσει·
なぜなら、もし他のある素数が Ζ を割り切り、かつ Ζ が Δ を割り切るならば、その［素数］も Δ を割り切るであろう。
ὥστε καὶ τὸν Α μετρήσει πρῶτον ὄντα μὴ ὢν αὐτῷ ὁ αὐτός· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
その結果、［その素数は］ Α と同じではないのに、素数である Α も割り切ることになるが、これは不可能だからである。
ὁ Α ἄρα τὸν Ζ μετρεῖ.
したがって、Α は Ζ を割り切る。
καὶ ἐπεὶ ὁ Ε τὸν Δ μετρεῖ κατὰ τὸν Ζ, ὁ Ε ἄρα τὸν Ζ πολλαπλασιάσας τὸν Δ πεποίηκεν.
そして、Ε は Δ を Ζ を商として割り切るから、したがって Ε は Ζ を掛け合わせて Δ を作った。
ἀλλὰ μὴν καὶ ὁ Α τὸν Γ πολλαπλασιάσας τὸν Δ πεποίηκεν·
ところでまた、Α も Γ を掛け合わせて Δ を作った。
ὁ ἄρα ἐκ τῶν Α, Γ ἴσος ἐστὶ τῷ ἐκ τῶν Ε, Ζ. ἀνάλογον ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Ε, οὕτως ὁ Ζ πρὸς τὸν Γ. ὁ δὲ Α τὸν Ε μετρεῖ·
したがって、Α, Γ の積は Ε, Ζ の積に等しい。 したがって、Α の Ε に対する比は、Ζ の Γ に対する比と同じである。 ところで、Α は Ε を割り切る。
καὶ ὁ Ζ ἄρα τὸν Γ μετρεῖ.
したがって、Ζ も Γ を割り切る。
μετρείτω αὐτὸν κατὰ τὸν Η. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι ὁ Η οὐδενὶ τῶν Α, Β ἐστιν ὁ αὐτός, καὶ ὅτι μετρεῖται ὑπὸ τοῦ Α. καὶ ἐπεὶ ὁ Ζ τὸν Γ μετρεῖ κατὰ τὸν Η, ὁ Ζ ἄρα τὸν Η πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν.
これを Η を商として割り切るとせよ。 同様にして、我々は Η が Α, Β のいずれとも同じではなく、かつ Α によって割り切られることを示すであろう。 そして、Ζ は Γ を Η を商として割り切るから、したがって Ζ は Η を掛け合わせて Γ を作った。
ἀλλὰ μὴν καὶ ὁ Α τὸν Β πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν·
ところでまた、Α も Β を掛け合わせて Γ を作った。
ὁ ἄρα ἐκ τῶν Α, Β ἴσος ἐστὶ τῷ ἐκ τῶν Ζ, Η. ἀνάλογον ἄρα ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Ζ, ὁ Η πρὸς τὸν Β. μετρεῖ δὲ ὁ Α τὸν Ζ·
したがって、Α, Β の積は Ζ, Η の積に等しい。 したがって、 Α の Ζ に対する比は、Η の Β に対する比と同じである。 ところで、Α は Ζ を割り切る。
μετρεῖ ἄρα καὶ ὁ Η τὸν Β. μετρείτω αὐτὸν κατὰ τὸν Θ. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι ὁ Θ τῷ Α οὐκ ἔστιν ὁ αὐτός.
したがって、Η も Β を割り切る。 これを Θ を商として割り切るとせよ。 同様にして、我々は Θ が Α と同じではないことを示すであろう。
καὶ ἐπεὶ ὁ Η τὸν Β μετρεῖ κατὰ τὸν Θ, ὁ Η ἄρα τὸν Θ πολλαπλασιάσας τὸν Β πεποίηκεν.
そして、Η は Β を Θ を商として割り切るから、したがって Η は Θ を掛け合わせて Β を作った。
ἀλλὰ μὴν καὶ ὁ Α ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Β πεποίηκεν·
ところでまた、Α も自身を掛け合わせて Β を作った。
ὁ ἄρα ὑπὸ Θ, Η ἴσος ἐστὶ τῷ ἀπὸ τοῦ Α τετραγώνῳ.
したがって、Θ, Η の積は Α の平方に等しい。
ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Θ πρὸς τὸν Α, ὁ Α πρὸς τὸν Η. μετρεῖ δὲ ὁ Α τὸν Η·
したがって、Θ の Α に対する比は、Α の Η に対する比と同じである。 ところで、Α は Η を割り切る。
μετρεῖ ἄρα καὶ ὁ Θ τὸν Α πρῶτον ὄντα μὴ ὢν αὐτῷ ὁ αὐτός·
したがって、Θ も、Α と同じではないのに、素数である Α を割り切る。
ὅπερ ἄτοπον.
これは不条理である。
οὐκ ἄρα ὁ μέγιστος ὁ Δ ὑπὸ ἑτέρου ἀριθμοῦ μετρηθήσεται παρὲξ τῶν Α, Β, Γ·
したがって、最大の数である Δ は、 Α, Β, Γ 以外の他の数によっては割り切られないであろう。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが証明されるべきであった。