§9.prop.16ἐὰν δύο ἀριθμοὶ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους ὦσιν, οὐκ ἔσται ὡς ὁ πρῶτος πρὸς τὸν δεύτερον, οὕτως ὁ δεύτερος πρὸς ἄλλον τινά.
もし二つの数が互いに素であるならば、第一の数と第二の数の比は、第二の数と何か他の数との比と同じにはならないであろう。
δύο γὰρ ἀριθμοὶ οἱ Α, Β πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους ἔστωσαν·
なぜなら、二つの数 Α, Β が互いに素であるとせよ。
λέγω, ὅτι οὐκ ἔστιν ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Β πρὸς ἄλλον τινά.
私は、Α と Β の比は、Β と何か他の数との比と同じにはならないと主張する。
εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, ὁ Β πρὸς τὸν Γ. οἱ δὲ Α, Β πρῶτοι, οἱ δὲ πρῶτοι καὶ ἐλάχιστοι, οἱ δὲ ἐλάχιστοι ἀριθμοὶ μετροῦσι τοὺς τὸν αὐτὸν λόγον ἔχοντας ἰσάκις ὅ τε ἡγούμενος τὸν ἡγούμενον καὶ ὁ ἑπόμενος τὸν ἑπόμενον·
なぜなら、可能であるならば、Α と Β の比は Β と Γ の比と同じであるとせよ。 ところで Α, Β は素であり、そして素である数は最小であり、そして最小の数は、それらと同じ比を持つ数を、前項が前項を、後項が後項を同じ回数だけ割り切る。
μετρεῖ ἄρα ὁ Α τὸν Β ὡς ἡγούμενος ἡγούμενον.
したがって、Α は Β を、前項が前項を割り切るように割り切る。
μετρεῖ δὲ καὶ ἑαυτόν·
そして自身をも割り切る。
ὁ Α ἄρα τοὺς Α, Β μετρεῖ πρώτους ὄντας πρὸς ἀλλήλους· ὅπερ ἄτοπον.
したがって Α は、互いに素である Α, Β を割り切るが、これは不条理である。
οὐκ ἄρα ἔσται ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Β πρὸς τὸν Γ·
したがって、Α と Β の比は、Β と Γ の比と同じにはならないであろう。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが証明されるべきであった。
§9.prop.17ἐὰν ὦσιν ὁσοιδηποτοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον, οἱ δὲ ἄκροι αὐτῶν πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους ὦσιν, οὐκ ἔσται ὡς ὁ πρῶτος πρὸς τὸν δεύτερον, οὕτως ὁ ἔσχατος πρὸς ἄλλον τινά.
もし任意の個数の数が連続して比例し、それらの両端の数が互いに素であるならば、第一の数と第二の数の比は、最後の数と何か他の数との比と同じにはならないであろう。
ἔστωσαν ὁσοιδηποτοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον οἱ Α, Β, Γ, Δ, οἱ δὲ ἄκροι αὐτῶν οἱ Α, Δ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους ἔστωσαν·
任意の個数の連続して比例する数を Α, Β, Γ, Δ とし、それらの両端の数 Α, Δ が互いに素であるとせよ。
λέγω, ὅτι οὐκ ἔστιν ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Δ πρὸς ἄλλον τινά.
私は、Α と Β の比は、Δ と何か他の数との比と同じにはならないと主張する。
εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Δ πρὸς τὸν Ε·
なぜなら、可能であるならば、Α と Β の比は、Δ と Ε の比と同じであるとせよ。
ἐναλλὰξ ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Δ, ὁ Β πρὸς τὸν Ε. οἱ δὲ Α, Δ πρῶτοι, οἱ δὲ πρῶτοι καὶ ἐλάχιστοι, οἱ δὲ ἐλάχιστοι ἀριθμοὶ μετροῦσι τοὺς τὸν αὐτὸν λόγον ἔχοντας ἰσάκις ὅ τε ἡγούμενος τὸν ἡγούμενον καὶ ὁ ἑπόμενος τὸν ἑπόμενον.
したがって交互に、Α と Δ の比は、Β と Ε の比と同じである。 ところで Α, Δ は素であり、そして素である数は最小であり、そして最小の数は、それらと同じ比を持つ数を、前項が前項を、後項が後項を同じ回数だけ割り切る。
μετρεῖ ἄρα ὁ Α τὸν Β. καί ἐστιν ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, ὁ Β πρὸς τὸν Γ. καὶ ὁ Β ἄρα τὸν Γ μετρεῖ·
したがって、Α は Β を割り切る。 そして Α と Β の比は、Β と Γ の比と同じである。 したがって Β も Γ を割り切る。
ὥστε καὶ ὁ Α τὸν Γ μετρεῖ.
ゆえに Α も Γ を割り切る。
καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ὁ Β πρὸς τὸν Γ, ὁ Γ πρὸς τὸν Δ, μετρεῖ δὲ ὁ Β τὸν Γ, μετρεῖ ἄρα καὶ ὁ Γ τὸν Δ. ἀλλʼ ὁ Α τὸν Γ ἐμέτρει·
そして、Β と Γ の比は Γ と Δ の比と同じであり、Β は Γ を割り切るから、したがって Γ も Δ を割り切る。 ところで Α は Γ を割り切っていた。
ὥστε ὁ Α καὶ τὸν Δ μετρεῖ.
ゆえに Α も Δ を割り切る。
μετρεῖ δὲ καὶ ἑαυτόν.
そして自身をも割り切る。
ὁ Α ἄρα τοὺς α, Δ μετρεῖ πρώτους ὄντας πρὸς ἀλλήλους· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
したがって Α は、互いに素である Α, Δ を割り切るが、これは不可能である。
οὐκ ἄρα ἔσται ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Δ πρὸς ἄλλον τινά·
したがって、Α と Β の比は、Δ と何か他の数との比と同じにはならないであろう。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが証明されるべきであった。
§9.prop.18δύο ἀριθμῶν δοθέντων ἐπισκέψασθαι, εἰ δυνατόν ἐστιν αὐτοῖς τρίτον ἀνάλογον προσευρεῖν.
与えられた二つの数に対して、それらに比例する第三の数を見つけ出すことが可能であるかどうかを、調べること。
ἔστωσαν οἱ δοθέντες δύο ἀριθμοὶ οἱ Α, Β, καὶ δέον ἔστω ἐπισκέψασθαι, εἰ δυνατόν ἐστιν αὐτοῖς τρίτον ἀνάλογον προσευρεῖν.
与えられた二つの数を Α, Β とし、それらに対して比例する第三の数を見つけ出すことが可能であるかどうかを調べることが求められているとせよ。
οἱ δὴ Α, Β ἤτοι πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσὶν ἢ οὔ.
さて、Α, Β は互いに素であるか、そうではないかのいずれかである。
καὶ εἰ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν, δέδεικται, ὅτι ἀδύνατόν ἐστιν αὐτοῖς τρίτον ἀνάλογον προσευρεῖν.
もしそれらが互いに素であるならば、それらに対して比例する第三の数を見つけ出すことは不可能であることが証明されている。
ἀλλὰ δὴ μὴ ἔστωσαν οἱ Α, Β πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους, καὶ ὁ Β ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Γ ποιείτω·
では、Α, Β は互いに素ではないとし、 Β は自身を掛け合わせて Γ を作るとせよ。
ὁ Α δὴ τὸν Γ ἤτοι μετρεῖ ἢ οὐ μετρεῖ.
すると Α は Γ を割り切るか、あるいは割り切らないかのいずれかである。
μετρείτω πρότερον κατὰ τὸν Δ·
まず、これを Δ を商として割り切るとせよ。
ὁ Α ἄρα τὸν Δ πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν.
したがって Α は Δ を掛け合わせて Γ を作った。
ἀλλὰ μὴν καὶ ὁ Β ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν·
ところでまた、Β も自身を掛け合わせて Γ を作った。
ὁ ἄρα ἐκ τῶν Α, Δ ἴσος ἐστὶ τῷ ἀπὸ τοῦ Β. ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, ὁ Β πρὸς τὸν Δ·
したがって、Α, Δ の積は Β の平方に等しい。 したがって、Α と Β の比は、Β と Δ の比と同じである。
τοῖς Α, Β ἄρα τρίτος ἀριθμὸς ἀνάλογον προσηύρηται ὁ Δ.
ἀλλὰ δὴ μὴ μετρείτω ὁ Α τὸν Γ·
したがって、Α, Β に対して比例する第三の数 Δ が見つけ出された。 では、Α は Γ を割り切らないとせよ。
λέγω, ὅτι τοῖς Α, Β ἀδύνατόν ἐστι τρίτον ἀνάλογον προσευρεῖν ἀριθμόν.
私は、Α, Β に対して比例する第三の数を見つけ出すことは不可能であると主張する。
εἰ γὰρ δυνατόν, προσηυρήσθω ὁ Δ. ὁ ἄρα ἐκ τῶν Α, Δ ἴσος ἐστὶ τῷ ἀπὸ τοῦ Β. ὁ δὲ ἀπὸ τοῦ Β ἐστιν ὁ Γ·
なぜなら、可能であるならば、Δ が見つけ出されたとせよ。 したがって、Α, Δ の積は Β の平方に等しい。 ところで Β の平方は Γ である。
ὁ ἄρα ἐκ τῶν Α, Δ ἴσος ἐστὶ τῷ Γ. ὥστε ὁ Α τὸν Δ πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν·
したがって、Α, Δ の積は Γ に等しい。 ゆえに Α は Δ を掛け合わせて Γ を作った。
ὁ Α ἄρα τὸν Γ μετρεῖ κατὰ τὸν Δ. ἀλλὰ μὴν ὑπόκειται καὶ μὴ μετρῶν· ὅπερ ἄτοπον.
したがって Α は Γ を、Δ を商として割り切る。 ところでまた、割り切らないとも仮定されているが、これは不条理である。
οὐκ ἄρα δυνατόν ἐστι τοῖς Α, Β τρίτον ἀνάλογον προσευρεῖν ἀριθμόν, ὅταν ὁ Α τὸν Γ μὴ μετρῇ·
したがって、Α が Γ を割り切らないとき、 Α, Β に対して比例する第三の数を見つけ出すことは不可能である。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが証明されるべきであった。