§8.prop.5οἱ ἐπίπεδοι ἀριθμοὶ πρὸς ἀλλήλους λόγον ἔχουσι τὸν συγκείμενον ἐκ τῶν πλευρῶν.
平面数は互いに対して、辺から合成される比を持つ。
ἔστωσαν ἐπίπεδοι ἀριθμοὶ οἱ Α, Β, καὶ τοῦ μὲν Α πλευραὶ ἔστωσαν οἱ Γ, Δ ἀριθμοί, τοῦ δὲ Β οἱ Ε, Ζ·
平面数 Α, Β があるとし、Α の辺は数 Γ, Δ、Β の辺は Ε, Ζ であるとせよ。
λέγω, ὅτι ὁ Α πρὸς τὸν Β λόγον ἔχει τὸν συγκείμενον ἐκ τῶν πλευρῶν.
私は、 Α の Β に対する比は辺から合成される比を持つと主張する。
λόγων γὰρ δοθέντων τοῦ τε ὃν ἔχει ὁ Γ πρὸς τὸν Ε καὶ ὁ Δ πρὸς τὸν Ζ εἰλήφθωσαν ἀριθμοὶ ἑξῆς ἐλάχιστοι ἐν τοῖς ΓΕ, ΔΖ λόγοις, οἱ Η, Θ, Κ, ὥστε εἶναι ὡς μὲν τὸν Γ πρὸς τὸν Ε, οὕτως τὸν Η πρὸς τὸν θ, ὡς δὲ τὸν Δ πρὸς τὸν Ζ, οὕτως τὸν Θ πρὸς τὸν Κ. καὶ ὁ Δ τὸν Ε πολλαπλασιάσας τὸν Λ ποιείτω.
なぜなら、Γ の Ε に対する比、および Δ の Ζ に対する比という、与えられた二つの比に対して、ΓΕ, ΔΖ 比において連続する最小の数 Η, Θ, Κ が取られたとせよ、Γ の Ε に対する比が Η の Θ に対する比と同じであり、Δ の Ζ に対する比が Θ の Κ に対する比と同じであるように。 そして、Δ が Ε を掛け合わせて Λ を作るようにせよ。
καὶ ἐπεὶ ὁ Δ τὸν μὲν Γ πολλαπλασιάσας τὸν Α πεποίηκεν, τὸν δὲ Ε πολλαπλασιάσας τὸν Λ πεποίηκεν, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Γ πρὸς τὸν Ε, οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Λ. ὡς δὲ ὁ Γ πρὸς τὸν Ε, οὕτως ὁ Η πρὸς τὸν Θ·
そして、Δ は Γ を掛け合わせて Α を作り、Ε を掛け合わせて Λ を作ったので、したがって、Γ の Ε に対する比は Α の Λ に対する比と同じである。 ところで、 Γ の Ε に対する比は Η の Θ に対する比と同じである。
καὶ ὡς ἄρα ὁ Η πρὸς τὸν Θ, οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Λ. πάλιν, ἐπεὶ ὁ Ε τὸν Δ πολλαπλασιάσας τὸν Λ πεποίηκεν, ἀλλὰ μὴν καὶ τὸν Ζ πολλαπλασιάσας τὸν Β πεποίηκεν, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Δ πρὸς τὸν Ζ, οὕτως ὁ Λ πρὸς τὸν Β. ἀλλʼ ὡς ὁ Δ πρὸς τὸν Ζ, οὕτως ὁ Θ πρὸς τὸν Κ·
したがって、Η の Θ に対する比は Α の Λ に対する比と同じである。 さらに、Ε は Δ を掛け合わせて Λ を作り、しかしまた Ζ を掛け合わせて Β を作ったので、したがって、Δ の Ζ に対する比は Λ の Β に対する比と同じである。 ところで、Δ の Ζ に対する比は Θ の Κ に対する比と同じである。
καὶ ὡς ἄρα ὁ Θ πρὸς τὸν Κ, οὕτως ὁ Λ πρὸς τὸν Β. ἐδείχθη δὲ καὶ ὡς ὁ Η πρὸς τὸν Θ, οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Λ·
したがって、Θ の Κ に対する比は Λ の Β に対する比と同じである。 また、Η の Θ に対する比は Α の Λ に対する比と同じであることが示された。
διʼ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ Η πρὸς τὸν Κ, ὁ Α πρὸς τὸν Β, ὁ δὲ Η πρὸς τὸν Κ λόγον ἔχει τὸν συγκείμενον ἐκ τῶν πλευρῶν·
したがって、等比により、Η の Κ に対する比は Α の Β に対する比と同じである。 ところで、Η の Κ に対する比は辺から合成される比を持つ。
καὶ ὁ Α ἄρα πρὸς τὸν Β λόγον ἔχει τὸν συγκείμενον ἐκ τῶν πλευρῶν·
したがって、Α も Β に対して辺から合成される比を持つ。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。
§8.prop.6ἐὰν ὦσιν ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον, ὁ δὲ πρῶτος τὸν δεύτερον μὴ μετρῇ, οὐδὲ ἄλλος οὐδεὶς οὐδένα μετρήσει.
何個かの数が連続して比例し、最初の数が第2の数を測らないならば、他のいかなる数も他のいかなる数を測ることはない。
ἔστωσαν ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον οἱ Α, Β, Γ, δ, Ε, ὁ δὲ Α τὸν Β μὴ μετρείτω·
何個かの連続して比例する数 Α, Β, Γ, Δ, Ε があるとし、Α は Β を測らないとせよ。
λέγω, ὅτι οὐδὲ ἄλλος οὐδεὶς οὐδένα μετρήσει.
私は、他のいかなる数も他のいかなる数を測ることはないと主張する。
ὅτι μὲν οὖν οἱ Α, Β, Γ, Δ, Ε ἑξῆς ἀλλήλους οὐ μετροῦσιν, φανερόν·
それゆえに、Α, Β, Γ, Δ, Ε が隣り合うもの同士互いを測らないことは、明らかである。
οὐδὲ γὰρ ὁ Α τὸν Β μετρεῖ.
なぜなら、Α が Β を測らないからである。
λέγω δή, ὅτι οὐδὲ ἄλλος οὐδεὶς οὐδένα μετρήσει.
私は、他のいかなる数も他のいかなる数を測ることはないと主張する。
εἰ γὰρ δυνατόν, μετρείτω ὁ Α τὸν Γ. καὶ ὅσοι εἰσὶν οἱ Α, Β, Γ, τοσοῦτοι εἰλήφθωσαν ἐλάχιστοι ἀριθμοὶ τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων τοῖς Α, Β, Γ οἱ Ζ, Η, Θ. καὶ ἐπεὶ οἱ Ζ, Η, Θ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ εἰσὶ τοῖς Α, Β, Γ, καί ἐστιν ἴσον τὸ πλῆθος τῶν Α, Β, Γ τῷ πλήθει τῶν Ζ, Η, Θ, διʼ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Γ, οὕτως ὁ Ζ πρὸς τὸν Θ. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Ζ πρὸς τὸν Η, οὐ μετρεῖ δὲ ὁ Α τὸν Β, οὐ μετρεῖ ἄρα οὐδὲ ὁ Ζ τὸν Η·
なぜなら、もし可能であるならば、Α が Γ を測るとせよ。 そして、Α, Β, Γ の個数と同じだけの最小の数であって、 Α, Β, Γ と同じ比を持つもの、Ζ, Η, Θ が取られたとせよ。 そして、Ζ, Η, Θ は Α, Β, Γ と同じ比の中にあり、Α, Β, Γ の個数は Ζ, Η, Θ の個数と等しいので、等比により、Α の Γ に対する比は Ζ の Θ に対する比と同じである。 そして、Α の Β に対する比は Ζ の Η に対する比と同じであり、Α は Β を測らないので、したがって Ζ も Η を測らない。
οὐκ ἄρα μονάς ἐστιν ὁ Ζ·
したがって Ζ は単位ではない。
ἡ γὰρ μονὰς πάντα ἀριθμὸν μετρεῖ.
なぜなら、単位はすべての数を測るからである。
καί εἰσιν οἱ Ζ, Θ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους.
そして、Ζ, Θ は互いに素である。
καί ἐστιν ὡς ὁ Ζ πρὸς τὸν Θ, οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Γ·
そして、Ζ の Θ に対する比は Α の Γ に対する比と同じである。
οὐδὲ ὁ Α ἄρα τὸν Γ μετρεῖ.
したがって、Α も Γ を測らない。
ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι οὐδὲ ἄλλος οὐδεὶς οὐδένα μετρήσει·
同様にして私たちは、他のいかなる数も他のいかなる数を測ることはないことを示すであろう。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。