§8.prop.9ἐὰν δύο ἀριθμοὶ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους ὦσιν, καὶ εἰς αὐτοὺς μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲς ἀνάλογον ἐμπίπτωσιν ἀριθμοί, ὅσοι εἰς αὐτοὺς μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲς ἀνάλογον ἐμπίπτουσιν ἀριθμοί, τοσοῦτοι καὶ ἑκατέρου αὐτῶν καὶ μονάδος μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲς ἀνάλογον ἐμπεσοῦνται.
二つの数が互いに素であり、それらの間に連続して比例する数たちが割り込むならば、それらの間に連続して比例して割り込む数と同じ個数の数たちが、それらのそれぞれと単位との間にも連続して比例して割り込むであろう。
ἔστωσαν δύο ἀριθμοὶ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους οἱ Α, Β καὶ εἰς αὐτοὺς μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲς ἀνάλογον ἐμπιπτέτωσαν οἱ Γ, Δ, καὶ ἐκκείσθω ἡ Ε μονάς·
互いに素である二つの数 Α, Β があるとし、それらの間に連続して比例する数 Γ, Δ が割り込むとし、単位 Ε が設定されているとせよ。
λέγω, ὅτι ὅσοι εἰς τοὺς Α, Β μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲς ἀνάλογον ἐμπεπτώκασιν ἀριθμοί, τοσοῦτοι καὶ ἑκατέρου τῶν Α, Β καὶ τῆς μονάδος μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲς ἀνάλογον ἐμπεσοῦνται.
私は、Α, Β の間に連続して比例して割り込んでいる数と同じ個数の数たちが、Α, Β のそれぞれと単位との間にも連続して比例して割り込むであろうと主張する。
εἰλήφθωσαν γὰρ δύο μὲν ἀριθμοὶ ἐλάχιστοι ἐν τῷ τῶν Α, Γ, Δ, Β λόγῳ ὄντες οἱ Ζ, Η, τρεῖς δὲ οἱ Θ, Κ, Λ, καὶ ἀεὶ ἑξῆς ἑνὶ πλείους, ἕως ἂν ἴσον γένηται τὸ πλῆθος αὐτῶν τῷ πλήθει τῶν Α, Γ, Δ, Β. εἰλήφθωσαν, καὶ ἔστωσαν οἱ Μ, Ν, Ξ, Ο. φανερὸν δή, ὅτι ὁ μὲν Ζ ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Θ πεποίηκεν, τὸν δὲ Θ πολλαπλασιάσας τὸν Μ πεποίηκεν, καὶ ὁ Η ἑαυτὸν μὲν πολλαπλασιάσας τὸν Λ πεποίηκεν, τὸν δὲ Λ πολλαπλασιάσας τὸν Ο πεποίηκεν.
なぜなら、Α, Γ, Δ, Β の比にある最小の二つの数 Ζ, Η が取られ、三つの数としては Θ, Κ, Λ が、そしてそれらが Α, Γ, Δ, Β の個数と等しくなるまで常に次に一つずつ多く取られたとせよ。 取られたとし、それらを Μ, Ν, Ξ, Ο とせよ。 すると、明らかに、Ζ はそれ自身を掛けて Θ を作り、Θ を掛けて Μ を作った。 また Η はそれ自身を掛けて Λ を作り、Λ を掛けて Ο を作った。
καὶ ἐπεὶ οἱ Μ, Ν, Ξ, Ο ἐλάχιστοί εἰσι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων τοῖς Ζ, Η, εἰσὶ δὲ καὶ οἱ Α, Γ, Δ, Β ἐλάχιστοι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων τοῖς Ζ, Η, καί ἐστιν ἴσον τὸ πλῆθος τῶν Μ, Ν, Ξ, Ο τῷ πλήθει τῶν Α, Γ, Δ, Β, ἕκαστος ἄρα τῶν Μ, Ν, Ξ, Ο ἑκάστῳ τῶν Α, Γ, Δ, Β ἴσος ἐστίν·
そして、Μ, Ν, Ξ, Ο は Ζ, Η と同じ比を持つ数たちのうちで最小であり、Α, Γ, Δ, Β もまた Ζ, Η と同じ比を持つ数たちのうちで最小であり、さらに Μ, Ν, Ξ, Ο の個数は Α, Γ, Δ, Β の個数と等しいので、したがって Μ, Ν, Ξ, Ο のそれぞれは Α, Γ, Δ, Β のそれぞれに等しい。
ἴσος ἄρα ἐστὶν ὁ μὲν Μ τῷ Α, ὁ δὲ Ο τῷ Β. καὶ ἐπεὶ ὁ Ζ ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Θ πεποίηκεν, ὁ Ζ ἄρα τὸν Θ μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Ζ μονάδας.
したがって Μ は Α に等しく、Ο は Β に等しい。 そして、Ζ はそれ自身を掛けて Θ を作ったので、したがって Ζ は Θ を Ζ の中にある単位の数だけ測る。
μετρεῖ δὲ καὶ ἡ Ε μονὰς τὸν Ζ κατὰ τὰς ἐν αὐτῷ μονάδας·
しかし単位 Ε も Ζ をその中にある単位の数だけ測る。
ἰσάκις ἄρα ἡ Ε μονὰς τὸν Ζ ἀριθμὸν μετρεῖ καὶ ὁ Ζ τὸν Θ. ἔστιν ἄρα ὡς ἡ Ε μονὰς πρὸς τὸν Ζ ἀριθμόν, οὕτως ὁ Ζ πρὸς τὸν Θ. πάλιν, ἐπεὶ ὁ Ζ τὸν Θ πολλαπλασιάσας τὸν Μ πεποίηκεν, ὁ Θ ἄρα τὸν Μ μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Ζ μονάδας.
したがって、単位 Ε が数 Ζ を測る回数と、Ζ が Θ を測る回数は等しい。 したがって、単位 Ε の数 Ζ に対する比は、Ζ の Θ に対する比と同じである。 再び、Ζ は Θ を掛けて Μ を作ったので、したがって Θ は Μ を Ζ の中にある単位の数だけ測る。
μετρεῖ δὲ καὶ ἡ Ε μονὰς τὸν Ζ ἀριθμὸν κατὰ τὰς ἐν αὐτῷ μονάδας·
しかし単位 Ε も数 Ζ を測る回数と、Θ が Μ を測る回数は等しい。
ἰσάκις ἄρα ἡ Ε μονὰς τὸν Ζ ἀριθμὸν μετρεῖ καὶ ὁ Θ τὸν Μ. ἔστιν ἄρα ὡς ἡ Ε μονὰς πρὸς τὸν Ζ ἀριθμόν, οὕτως ὁ Θ πρὸς τὸν Μ. ἐδείχθη δὲ καὶ ὡς ἡ Ε μονὰς πρὸς τὸν Ζ ἀριθμόν, οὕτως ὁ Ζ πρὸς τὸν Θ·
したがって、単位 Ε の数 Ζ に対する比は、Θ の Μ に対する比と同じである。 ところで、単位 Ε の数 Ζ に対する比は、Ζ の Θ に対する比と同じであることも示された。
καὶ ὡς ἄρα ἡ Ε μονὰς πρὸς τὸν Ζ ἀριθμόν, οὕτως ὁ Ζ πρὸς τὸν Θ καὶ ὁ Θ πρὸς τὸν Μ. ἴσος δὲ ὁ Μ τῷ Α·
したがって、単位 Ε の数 Ζ に対する比は、Ζ の Θ に対する比、かつ Θ の Μ に対する比と同じである。 ところで Μ は Α に等しい。
ἔστιν ἄρα ὡς ἡ Ε μονὰς πρὸς τὸν Ζ ἀριθμόν, οὕτως ὁ Ζ πρὸς τὸν Θ καὶ ὁ Θ πρὸς τὸν Α. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὡς ἡ Ε μονὰς πρὸς τὸν Η ἀριθμόν, οὕτως ὁ Η πρὸς τὸν Λ καὶ ὁ Λ πρὸς τὸν Β. ὅσοι ἄρα εἰς τοὺς Α, Β μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲς ἀνάλογον ἐμπεπτώκασιν ἀριθμοί, τοσοῦτοι καὶ ἑκατέρου τῶν Α, Β καὶ μονάδος τῆς Ε μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲς ἀνάλογον ἐμπεπτώκασιν ἀριθμοί·
したがって、単位 Ε の数 Ζ に対する比は、Ζ の Θ に対する比、かつ Θ の Α に対する比と同じである。 まったく同じ理由により、単位 Ε の数 Η に対する比は、Η の Λ に対する比、かつ Λ の Β に対する比と同じである。 したがって、Α, Β の間に連続して比例して割り込んでいる数と同じ個数の数たちが、 Α, Β のそれぞれと単位 Ε との間にも連続して比例して割り込んでいる。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。