§8.prop.23ἐὰν τέσσαρες ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον ὦσιν, ὁ δὲ πρῶτος κύβος ᾖ, καὶ ὁ τέταρτος κύβος ἔσται.
四つの数が連続して比例し、第一の数が立方数であるならば、第四の数も立方数である。
ἔστωσαν τέσσαρες ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον οἱ Α, Β, Γ, Δ, ὁ δὲ Α κύβος ἔστω·
四つの数 Α, Β, Γ, Δ が連続して比例するとし、Α は立方数であるとせよ。
λέγω, ὅτι καὶ ὁ Δ κύβος ἐστίν.
私は、Δ も立方数である、と主張する。
ἐπεὶ γὰρ τῶν Α, Δ δύο μέσοι ἀνάλογόν εἰσιν ἀριθμοὶ οἱ Β, Γ, οἱ Α, Δ ἄρα ὅμοιοί εἰσι στερεοὶ ἀριθμοί.
なぜなら、Α, Δ の間に二つの数 Β, Γ が比例して中間に存在するので、したがって、Α, Δ は相似な立体数である。
κύβος δὲ ὁ Α·
ところで、Α は立方数である。
κύβος ἄρα καὶ ὁ Δ·
したがって、Δ も立方数である。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが証明されるべきであった。
§8.prop.24ἐὰν δύο ἀριθμοὶ πρὸς ἀλλήλους λόγον ἔχωσιν, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, ὁ δὲ πρῶτος τετράγωνος ᾖ, καὶ ὁ δεύτερος τετράγωνος ἔσται.
二つの数が、平方数の平方数に対する比と同じ比を互いに対して持ち、第一の数が平方数であるならば、第二の数も平方数である。
δύο γὰρ ἀριθμοὶ οἱ Α, Β πρὸς ἀλλήλους λόγον ἐχέτωσαν, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς ὁ Γ πρὸς τετράγωνον ἀριθμὸν τὸν Δ, ὁ δὲ Α τετράγωνος ἔστω·
なぜなら、二つの数 Α, Β が、平方数 Γ の平方数 Δ に対する比と同じ比を互いに対して持つとし、Α は平方数であるとせよ。
λέγω, ὅτι καὶ ὁ Β τετράγωνός ἐστιν.
私は、Β も平方数である、と主張する。
ἐπεὶ γὰρ οἱ Γ, Δ τετράγωνοί εἰσιν, οἱ Γ, Δ ἄρα ὅμοιοι ἐπίπεδοί εἰσιν.
なぜなら、Γ, Δ は平方数であるから、したがって、Γ, Δ は相似な平面数である。
τῶν Γ, Δ ἄρα εἷς μέσος ἀνάλογον ἐμπίπτει ἀριθμός.
したがって、Γ, Δ の間に一つの数が比例して中間に落ち込む。
καί ἐστιν ὡς ὁ Γ πρὸς τὸν Δ, ὁ Α πρὸς τὸν Β·
そして、Γ の Δ に対する比は、Α の Β に対する比と同じである。
καὶ τῶν Α, Β ἄρα εἷς μέσος ἀνάλογον ἐμπίπτει ἀριθμός.
したがって、Α, Β の間にも一つの数が比例して中間に落ち込む。
καί ἐστιν ὁ Α τετράγωνος·
そして、Α は平方数である。
καὶ ὁ Β ἄρα τετράγωνός ἐστιν·
したがって、Β も平方数である。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが証明されるべきであった。
§8.prop.25ἐὰν δύο ἀριθμοὶ πρὸς ἀλλήλους λόγον ἔχωσιν, ὃν κύβος ἀριθμὸς πρὸς κύβον ἀριθμόν, ὁ δὲ πρῶτος κύβος ᾖ, καὶ ὁ δεύτερος κύβος ἔσται.
二つの数が、立方数の立方数に対する比と同じ比を互いに対して持ち、第一の数が立方数であるならば、第二の数も立方数である。
δύο γὰρ ἀριθμοὶ οἱ Α, Β πρὸς ἀλλήλους λόγον ἐχέτωσαν, ὃν κύβος ἀριθμὸς ὁ Γ πρὸς κύβον ἀριθμὸν τὸν Δ, κύβος δὲ ἔστω ὁ Α·
なぜなら、二つの数 Α, Β が、立方数 Γ の立方数 Δ に対する比と同じ比を互いに対して持つとし、Α は立方数であるとせよ。
λέγω, ὅτι καὶ ὁ Β κύβος ἐστίν.
私は、Β も立方数である、と主張する。
ἐπεὶ γὰρ οἱ Γ, Δ κύβοι εἰσίν, οἱ Γ, Δ ὅμοιοι στερεοί εἰσιν·
なぜなら、Γ, Δ は立方数であるから、Γ, Δ は相似な立体数である。
τῶν Γ, Δ ἄρα δύο μέσοι ἀνάλογον ἐμπίπτουσιν ἀριθμοί.
したがって、Γ, Δ の間に二つの数が比例して中間に落ち込む。
ὅσοι δὲ εἰς τοὺς Γ, Δ μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲς ἀνάλογον ἐμπίπτουσιν, τοσοῦτοι καὶ εἰς τοὺς τὸν αὐτὸν λόγον ἔχοντας αὐτοῖς·
ところで、Γ, Δ の間に連続して比例して中間に落ち込む数と同じ数だけ、それらと同じ比を持つ数の間にも落ち込む。
ὥστε καὶ τῶν Α, Β δύο μέσοι ἀνάλογον ἐμπίπτουσιν ἀριθμοί.
したがって、Α, Β の間にも二つの数が比例して中間に落ち込む。
ἐμπιπτέτωσαν οἱ Ε, Ζ. ἐπεὶ οὖν τέσσαρες ἀριθμοὶ οἱ Α, Ε, Ζ, Β ἑξῆς ἀνάλογόν εἰσιν, καί ἐστι κύβος ὁ Α, κύβος ἄρα καὶ ὁ Β·
それらを Ε, Ζ が落ち込むとせよ。 そこで、四つの数 Α, Ε, Ζ, Β が連続して比例し、かつ Α は立方数であるから、したがって、Β も立方数である。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが証明されるべきであった。
§8.prop.26οἱ ὅμοιοι ἐπίπεδοι ἀριθμοὶ πρὸς ἀλλήλους λόγον ἔχουσιν, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν.
相似な平面数は、平方数の平方数に対する比と同じ比を互いに対して持つ。
ἔστωσαν ὅμοιοι ἐπίπεδοι ἀριθμοὶ οἱ Α, Β·
相似な平面数を Α, Β とせよ。
λέγω, ὅτι ὁ Α πρὸς τὸν Β λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν.
私は、Α の Β に対する比は、平方数の平方数に対する比と同じである、と主張する。
ἐπεὶ γὰρ οἱ Α, Β ὅμοιοι ἐπίπεδοί εἰσιν, τῶν Α, Β ἄρα εἷς μέσος ἀνάλογον ἐμπίπτει ἀριθμός.
なぜなら、Α, Β は相似な平面数であるから、したがって、Α, Β の間に一つの数が比例して中間に落ち込む。
ἐμπιπτέτω καὶ ἔστω ὁ Γ, καὶ εἰλήφθωσαν ἐλάχιστοι ἀριθμοὶ τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων τοῖς Α, Γ, Β οἱ Δ, Ε, Ζ·
それが落ち込むとし、Γ であるとせよ。 そして、Α, Γ, Β と同じ比を持つものの中で最小の三つの数 Δ, Ε, Ζ が取られたとせよ。
οἱ ἄρα ἄκροι αὐτῶν οἱ Δ, Ζ τετράγωνοί εἰσιν.
したがって、それらの両端の数 Δ, Ζ は平方数である。
καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ὁ Δ πρὸς τὸν Ζ, οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Β, καί εἰσιν οἱ Δ, Ζ τετράγωνοι, ὁ Α ἄρα πρὸς τὸν Β λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν·
そして、Δ の Ζ に対する比は、Α の Β に対する比と同じであり、かつ Δ, Ζ は平方数であるから、したがって、Α の Β に対する比は、平方数の平方数に対する比と同じである。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが証明されるべきであった。
§8.prop.27οἱ ὅμοιοι στερεοὶ ἀριθμοὶ πρὸς ἀλλήλους λόγον ἔχουσιν, ὃν κύβος ἀριθμὸς πρὸς κύβον ἀριθμόν.
相似な立体数は、立方数の立方数に対する比と同じ比を互いに対して持つ。
ἔστωσαν ὅμοιοι στερεοὶ ἀριθμοὶ οἱ Α, Β·
相似な立体数を Α, Β とせよ。
λέγω, ὅτι ὁ Α πρὸς τὸν Β λόγον ἔχει, ὃν κύβος ἀριθμὸς πρὸς κύβον ἀριθμόν.
私は、Α の Β に対する比は、立方数の立方数に対する比と同じである、と主張する。
ἐπεὶ γὰρ οἱ Α, Β ὅμοιοι στερεοί εἰσιν, τῶν Α, Β ἄρα δύο μέσοι ἀνάλογον ἐμπίπτουσιν ἀριθμοί.
なぜなら、Α, Β は相似な立体数であるから、したがって、Α, Β の間に二つの数が比例して中間に落ち込む。
ἐμπιπτέτωσαν οἱ Γ, Δ, καὶ εἰλήφθωσαν ἐλάχιστοι ἀριθμοὶ τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων τοῖς Α, Γ, Δ, Β ἴσοι αὐτοῖς τὸ πλῆθος οἱ ε, Ζ, Η, Θ·
それらを Γ, Δ が落ち込むとし、かつ Α, Γ, Δ, Β と同じ比を持ち、個数がそれらと等しい最小の数 Ε, Ζ, Η, Θ が取られたとせよ。
οἱ ἄρα ἄκροι αὐτῶν οἱ Ε, Θ κύβοι εἰσίν.
したがって、それらの両端の数 Ε, Θ は立方数である。
καί ἐστιν ὡς ὁ Ε πρὸς τὸν Θ, οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Β· καὶ ὁ Α ἄρα πρὸς τὸν Β λόγον ἔχει, ὃν κύβος ἀριθμὸς πρὸς κύβον ἀριθμόν·
そして、Ε の Θ に対する比は、Α の Β に対する比と同じであるから、したがって、Α の Β に対する比は、立方数の立方数に対する比と同じである。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが証明されるべきであった。