§8.prop.20ἐὰν δύο ἀριθμῶν εἷς μέσος ἀνάλογον ἐμπίπτῃ ἀριθμός, ὅμοιοι ἐπίπεδοι ἔσονται οἱ ἀριθμοί.
二つの数の間に一つの数が比例して中間に落ち込むならば、それらの数は相似な平面数である。
δύο γὰρ ἀριθμῶν τῶν Α, Β εἷς μέσος ἀνάλογον ἐμπιπτέτω ἀριθμὸς ὁ Γ·
なぜなら、二つの数 Α, Β の間に一つの数 Γ が比例して中間に落ち込むとせよ。
λέγω, ὅτι οἱ Α, Β ὅμοιοι ἐπίπεδοί εἰσιν ἀριθμοί.
私は、Α, Β は相似な平面数である、と主張する。
εἰλήφθωσαν ἐλάχιστοι ἀριθμοὶ τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων τοῖς Α, Γ οἱ Δ, Ε·
Α, Γ と同じ比を持つものの中で最小の数たち Δ, Ε が取られたとせよ。
ἰσάκις ἄρα ὁ Δ τὸν Α μετρεῖ καὶ ὁ Ε τὸν Γ. ὁσάκις δὴ ὁ Δ τὸν Α μετρεῖ, τοσαῦται μονάδες ἔστωσαν ἐν τῷ Ζ·
したがって、Δ が Α を測る回数と、Ε が Γ を測る回数は等しい。 そこで、Δ が Α を測る回数と同じだけの単位が Ζ の中にあるとせよ。
ὁ Ζ ἄρα τὸν Δ πολλαπλασιάσας τὸν Α πεποίηκεν.
したがって、Ζ は Δ を掛けて Α を作った。
ὥστε ὁ Α ἐπίπεδός ἐστιν, πλευραὶ δὲ αὐτοῦ οἱ Δ, Ζ. πάλιν, ἐπεὶ οἱ Δ, Ε ἐλάχιστοί εἰσι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων τοῖς Γ, Β, ἰσάκις ἄρα ὁ Δ τὸν Γ μετρεῖ καὶ ὁ Ε τὸν Β. ὁσάκις δὴ ὁ Ε τὸν Β μετρεῖ, τοσαῦται μονάδες ἔστωσαν ἐν τῷ Η. ὁ Ε ἄρα τὸν Β μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Η μονάδας·
ゆえに、Α は平面数であり、その辺は Δ, Ζ である。 再び、Δ, Ε は Γ, Β と同じ比を持つものの中で最小であるから、したがって、Δ が Γ を測る回数と、Ε が Β を測る回数は等しい。 そこで、Ε が Β を測る回数と同じだけの単位が Η の中にあるとせよ。 したがって、Ε は Η にある単位の数だけ Β を測る。
ὁ Η ἄρα τὸν Ε πολλαπλασιάσας τὸν Β πεποίηκεν.
したがって、Η は Ε を掛けて Β を作った。
ὁ Β ἄρα ἐπίπεδός ἐστι, πλευραὶ δὲ αὐτοῦ εἰσιν οἱ Ε, Η. οἱ Α, Β ἄρα ἐπίπεδοί εἰσιν ἀριθμοί.
したがって、Β は平面数であり、その辺は Ε, Η である。 したがって、Α, Β は平面数である。
λέγω δή, ὅτι καὶ ὅμοιοι.
そこで私は、さらにそれらが相似でもある、と主張する。
ἐπεὶ γὰρ ὁ Ζ τὸν μὲν Δ πολλαπλασιάσας τὸν Α πεποίηκεν, τὸν δὲ Ε πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Δ πρὸς τὸν Ε, οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Γ, τουτέστιν ὁ Γ πρὸς τὸν Β. πάλιν, ἐπεὶ ὁ Ε ἑκάτερον τῶν Ζ, Η πολλαπλασιάσας τοὺς Γ, Β πεποίηκεν, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Ζ πρὸς τὸν Η, οὕτως ὁ Γ πρὸς τὸν Β. ὡς δὲ ὁ Γ πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Δ πρὸς τὸν Ε·
なぜなら、Ζ は Δ を掛けて Α を作ったが、Ε を掛けて Γ を作ったので、したがって、Δ の Ε に対する比は、Α の Γ に対する比と同じであり、すなわち Γ の Β に対する比と同じである。 再び、Ε は Ζ, Η のそれぞれを掛けて Γ, Β を作ったので、したがって、Ζ の Η に対する比は、Γ の Β に対する比と同じである。 そして、Γ の Β に対する比は、Δ の Ε に対する比と同じである。
καὶ ὡς ἄρα ὁ Δ πρὸς τὸν Ε, οὕτως ὁ Ζ πρὸς τὸν Η. καὶ ἐναλλὰξ ὡς ὁ Δ πρὸς τὸν Ζ, οὕτως ὁ Ε πρὸς τὸν Η. οἱ Α, Β ἄρα ὅμοιοι ἐπίπεδοί εἰσιν ἀριθμοί·
したがって、Δ の Ε に対する比は、Ζ の Η に対する比と同じである。 そして交互に、Δ の Ζ に対する比は、Ε の Η に対する比と同じである。 したがって、Α, Β は相似な平面数である。
αἱ γὰρ πλευραὶ αὐτῶν ἀνάλογόν εἰσιν·
なぜなら、それらの辺は比例するからである。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが証明されるべきことであった。