§7.prop.10ἐὰν ἀριθμὸς ἀριθμοῦ μέρη ᾖ, καὶ ἕτερος ἑτέρου τὰ αὐτὰ μέρη ᾖ, καὶ ἐναλλάξ, ἃ μέρη ἐστὶν ὁ πρῶτος τοῦ τρίτου ἢ μέρος, τὰ αὐτὰ μέρη ἔσται καὶ ὁ δεύτερος τοῦ τετάρτου ἢ τὸ αὐτὸ μέρος.
もしある数がある数の複数部分であり、別の数も別の数のその同じ複数部分であるならば、交互にしても、第1の数が第3の数の複数部分または部分であるのと同じ複数部分または同じ部分に、第2の数も第4の数に対してあるであろう。
ἀριθμὸς γὰρ ὁ ΑΒ ἀριθμοῦ τοῦ Γ μέρη ἔστω, καὶ ἕτερος ὁ ΔΕ ἑτέρου τοῦ Ζ τὰ αὐτὰ μέρη·
なぜなら、数 AB は数 Γ の複数部分であるとし、別の ΔΕ も別の Ζ の同じ複数部分であるとせよ。
λέγω, ὅτι καὶ ἐναλλάξ, ἃ μέρη ἐστὶν ὁ ΑΒ τοῦ ΔΕ ἢ μέρος, τὰ αὐτὰ μέρη ἐστὶ καὶ ὁ Γ τοῦ Ζ ἢ τὸ αὐτὸ μέρος.
私は、交互にしても、AB が ΔΕ の複数部分または部分であるのと同じ複数部分または同じ部分に、Γ も Ζ に対してあると主張する。
ἐπεὶ γάρ, ἃ μέρη ἐστὶν ὁ ΑΒ τοῦ Γ, τὰ αὐτὰ μέρη ἐστὶ καὶ ὁ ΔΕ τοῦ Ζ, ὅσα ἄρα ἐστὶν ἐν τῷ ΑΒ μέρη τοῦ Γ, τοσαῦτα καὶ ἐν τῷ ΔΕ μέρη τοῦ Ζ. διῃρήσθω ὁ μὲν ΑΒ εἰς τὰ τοῦ Γ μέρη τὰ ΑΗ, ΗΒ, ὁ δὲ ΔΕ εἰς τὰ τοῦ Ζ μέρη τὰ ΔΘ, ΘΕ·
なぜなら、AB が Γ の複数部分であるのと同じ複数部分に ΔΕ も Ζ の複数部分であるので、したがって AB の中にある Γ の部分の個数と、ΔΕ の中にある Ζ の部分の個数は等しい。 ΑΒ を Γ の部分である ΑΗ, ΗΒ に分割し、ΔΕ を Ζ の部分である ΔΘ, ΘΕ に分割せよ。
ἔσται δὴ ἴσον τὸ πλῆθος τῶν ΑΗ, ΗΒ τῷ πλήθει τῶν ΔΘ, ΘΕ. καὶ ἐπεί, ὃ μέρος ἐστὶν ὁ ΑΗ τοῦ Γ, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ ὁ ΔΘ τοῦ Ζ, καὶ ἐναλλάξ, ὃ μέρος ἐστὶν ὁ ΑΗ τοῦ ΔΘ ἢ μέρη, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ ὁ Γ τοῦ Ζ ἢ τὰ αὐτὰ μέρη.
すると、 ΑΗ, ΗΒ の個数は ΔΘ, ΘΕ の個数に等しくなる。 そして、ΑΗ が Γ の部分であるのと同じ部分に ΔΘ も Ζ の部分であるので、交互にしても、ΑΗ が ΔΘ の部分または複数部分であるのと同じ部分または複数部分に、Γ も Ζ に対してある。
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καί, ὃ μέρος ἐστὶν ὁ ΗΒ τοῦ ΘΕ ἢ μέρη, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ ὁ Γ τοῦ Ζ ἢ τὰ αὐτὰ μέρη·
したがって、同じ理由によってまた、ΗΒ が ΘΕ の部分または複数部分であるのと同じ部分または複数部分に、Γ も Ζ に対してある。
ὥστε καί ἃ μέρη ἐστὶν ὁ ΑΒ τοῦ ΔΕ ἢ μέρος, τὰ αὐτὰ μέρη ἐστὶ καὶ ὁ Γ τοῦ Ζ ἢ τὸ αὐτὸ μέρος·
ゆえに、ΑΒ が ΔΕ の複数部分または部分であるのと同じ複数部分または同じ部分に、Γ も Ζ に対してある。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが証明されるべきことであった。
§7.prop.11ἐὰν ᾖ ὡς ὅλος πρὸς ὅλον, οὕτως ἀφαιρεθεὶς πρὸς ἀφαιρεθέντα, καὶ ὁ λοιπὸς πρὸς τὸν λοιπὸν ἔσται, ὡς ὅλος πρὸς ὅλον.
もし全体が全体に対するように、引かれるものが引かれるものに対するならば、残りのものも残りのものに対して、全体が全体に対するようになるであろう。
ἔστω ὡς ὅλος ὁ ΑΒ πρὸς ὅλον τὸν ΓΔ, οὕτως ἀφαιρεθεὶς ὁ ΑΕ πρὸς ἀφαιρεθέντα τὸν ΓΖ·
全体 AB が全体 ΓΔ に対するよう、引かれるもの AE も引かれるもの ΓΖ に対するとせよ。
λέγω, ὅτι καὶ λοιπὸς ὁ ΕΒ πρὸς λοιπὸν τὸν ΖΔ ἐστιν, ὡς ὅλος ὁ ΑΒ πρὸς ὅλον τὸν ΓΔ.
ἐπεί ἐστιν ὡς ὁ ΑΒ πρὸς τὸν ΓΔ, οὕτως ὁ ΑΕ πρὸς τὸν ΓΖ, ὃ ἄρα μέρος ἐστὶν ὁ ΑΒ τοῦ ΓΔ ἢ μέρη, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ ὁ ΑΕ τοῦ ΓΖ ἢ τὰ αὐτὰ μέρη.
私は、残りの EB も残りの ΖΔ に対して、全体 AB が全体 ΓΔ に対するようになると主張する。 AB が ΓΔ に対するよう AE が ΓΖ に対するので、したがって AB が ΓΔ の部分または複数部分であるのと同じ部分または複数部分に、AE も ΓΖ に対してもある。
καὶ λοιπὸς ἄρα ὁ ΕΒ λοιποῦ τοῦ ΖΔ τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶν ἢ μέρη, ἅπερ ὁ ΑΒ τοῦ ΓΔ. ἔστιν ἄρα ὡς ὁ ΕΒ πρὸς τὸν ΖΔ, οὕτως ὁ ΑΒ πρὸς τὸν ΓΔ·
したがって、残りの EB も残りの ΖΔ の同じ部分または複数部分である。 それは、AB が ΓΔ のそれである。 したがって、EB が ΖΔ に対するよう AB は ΓΔ に対する。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが証明されるべきことであった。
§7.prop.12ἐὰν ὦσιν ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ ἀνάλογον, ἔσται ὡς εἷς τῶν ἡγουμένων πρὸς ἕνα τῶν ἑπομένων, οὕτως ἅπαντες οἱ ἡγούμενοι πρὸς ἅπαντας τοὺς ἑπομένους.
もしいくつでも任意の数が比例するならば、先行するもののうちの一つが後行するもののうちの一つに対するように、すべての先行するものがすべての後行するものに対するようになるであろう。
ἔστωσαν ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ ἀνάλογον οἱ Α, Β, Γ, Δ, ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Γ πρὸς τὸν Δ·
いくつでも任意の数の比例するものを Α, Β, Γ, Δ とし、 Α が Β に対するよう、Γ も Δ に対するとせよ。
λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως οἱ Α, Γ πρὸς τοὺς Β, Δ.
ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Γ πρὸς τὸν Δ, ὃ ἄρα μέρος ἐστὶν ὁ Α τοῦ Β ἢ μέρη, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ ὁ Γ τοῦ Δ ἢ μέρη.
私は、Α が Β に対するよう、合わせた Α, Γ も合わせた Β, Δ に対すると主張する。 なぜなら、Α が Β に対するよう Γ も Δ に対するので、したがって Α が Β の部分または複数部分であるのと同じ部分または複数部分に、Γ も Δ に対してもある。
καὶ συναμφότερος ἄρα ὁ Α, Γ συναμφοτέρου τοῦ Β, Δ τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶν ἢ τὰ αὐτὰ μέρη, ἅπερ ὁ Α τοῦ Β. ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως οἱ Α, Γ πρὸς τοὺς Β, Δ·
したがって、合わせた Α, Γ も合わせた Β, Δ の同じ部分または複数部分である。 それは、Α が Β のそれである。 したがって、Α が Β に対するよう、合わせた Α, Γ も合わせた Β, Δ に対する。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが証明されるべきことであった。