§7.prop.16ἐὰν δύο ἀριθμοὶ πολλαπλασιάσαντες ἀλλήλους ποιῶσί τινας, οἱ γενόμενοι ἐξ αὐτῶν ἴσοι ἀλλήλοις ἔσονται.
もし2つの数が互いに掛け合わせてある数らを作るなら、それらから生じたものは互いに等しいであろう。
ἔστωσαν δύο ἀριθμοὶ οἱ Α, Β, καὶ ὁ μὲν Α τὸν Β πολλαπλασιάσας τὸν Γ ποιείτω, ὁ δὲ Β τὸν Α πολλαπλασιάσας τὸν Δ ποιείτω· λέγω, ὅτι ἴσος ἐστὶν ὁ Γ τῷ Δ.
ἐπεὶ γὰρ ὁ Α τὸν Β πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν, ὁ Β ἄρα τὸν Γ μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Α μονάδας.
2つの数 Α, Β があり、Α は Β を掛けて Γ を作り、Β は Α を掛けて Δ を作るとせよ。私は、Γ は Δ に等しいと主張する。なぜなら、Α は Β を掛けて Γ を作ったので、したがって Β は、Α の中にある単位に応じて Γ を測る。
μετρεῖ δὲ καὶ ἡ Ε μονὰς τὸν Α ἀριθμὸν κατὰ τὰς ἐν αὐτῷ μονάδας·
また単位 Ε も、Α の中にある単位に応じて数 Α を測る。
ἰσάκις ἄρα ἡ Ε μονὰς τὸν Α ἀριθμὸν μετρεῖ καὶ ὁ Β τὸν Γ. ἐναλλὰξ ἄρα ἰσάκις ἡ Ε μονὰς τὸν Β ἀριθμὸν μετρεῖ καὶ ὁ Α τὸν Γ. πάλιν, ἐπεὶ ὁ Β τὸν Α πολλαπλασιάσας τὸν Δ πεποίηκεν, ὁ Α ἄρα τὸν Δ μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Β μονάδας.
したがって、単位 Ε が数 Α を測るのと同じ回数だけ、Β も Γ を測る。 したがって交互にしても、単位 Ε が数 Β を測るのと同じ回数だけ、Α も Γ を測る。 再び、Β は Α を掛けて Δ を作ったので、したがって Α は、Β の中にある単位に応じて Δ を測る。
μετρεῖ δὲ καὶ ἡ Ε μονὰς τὸν Β κατὰ τὰς ἐν αὐτῷ μονάδας·
また単位 Ε も、Β の中にある単位に応じて数 Β を測る。
ἰσάκις ἄρα ἡ Ε μονὰς τὸν Β ἀριθμὸν μετρεῖ καὶ ὁ Α τὸν Δ. ἰσάκις δὲ ἡ Ε μονὰς τὸν Β ἀριθμὸν ἐμέτρει καὶ ὁ Α τὸν Γ·
したがって、単位 Ε が数 Β を測るのと同じ回数だけ、Α も Δ を測る。 ところで、単位 Ε が数 Β を測るのと同じ回数だけ、Α は Γ を測っていた。
ἰσάκις ἄρα ὁ Α ἑκάτερον τῶν Γ, Δ μετρεῖ.
したがって Α は、Γ, Δ のそれぞれを同じ回数だけ測る。
ἴσος ἄρα ἐστὶν ὁ Γ τῷ Δ·
したがって Γ は Δ に等しい。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが証明されるべきことであった。
§7.prop.17ἐὰν ἀριθμὸς δύο ἀριθμοὺς πολλαπλασιάσας ποιῇ τινας, οἱ γενόμενοι ἐξ αὐτῶν τὸν αὐτὸν ἕξουσι λόγον τοῖς πολλαπλασιασθεῖσιν.
もし数がある2つの数を掛けてある数らを作るなら、それらから生じたものは、掛けられたものらと同じ比を持つであろう。
ἀριθμὸς γὰρ ὁ Α δύο ἀριθμοὺς τοὺς Β, Γ πολλαπλασιάσας τοὺς Δ, Ε ποιείτω· λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς ὁ Β πρὸς τὸν Γ, οὕτως ὁ Δ πρὸς τὸν Ε.
ἐπεὶ γὰρ ὁ Α τὸν Β πολλαπλασιάσας τὸν Δ πεποίηκεν, ὁ Β ἄρα τὸν Δ μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Α μονάδας.
なぜなら、数 Α が2つの数 Β, Γ を掛けて Δ, Ε を作るとせよ。私は、Β が Γ に対するよう、Δ は Ε に対すると主張する。なぜなら、Α は Β を掛けて Δ を作ったので、したがって Β は、Α の中にある単位に応じて Δ を測る。
μετρεῖ δὲ καὶ ἡ Ζ μονὰς τὸν Α ἀριθμὸν κατὰ τὰς ἐν αὐτῷ μονάδας·
また単位 Ζ も、Α の中にある単位に応じて数 Α を測る。
ἰσάκις ἄρα ἡ Ζ μονὰς τὸν Α ἀριθμὸν μετρεῖ καὶ ὁ Β τὸν Δ. ἔστιν ἄρα ὡς ἡ Ζ μονὰς πρὸς τὸν Α ἀριθμόν, οὕτως ὁ Β πρὸς τὸν Δ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὡς ἡ Ζ μονὰς πρὸς τὸν Α ἀριθμόν, οὕτως ὁ Γ πρὸς τὸν Ε·
したがって、単位 Ζ が数 Α を測るのと同じ回数だけ、Β も Δ を測る。 したがって、単位 Ζ が数 Α に対するよう、Β は Δ に対する。 まさに同じ理由によって、単位 Ζ が数 Α に対するよう、Γ も Ε に対する。
καὶ ὡς ἄρα ὁ Β πρὸς τὸν Δ, οὕτως ὁ Γ πρὸς τὸν Ε. ἐναλλὰξ ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ Β πρὸς τὸν Γ, οὕτως ὁ Δ πρὸς τὸν Ε·
したがってまた、Β が Δ に対するよう、Γ も Ε に対する。 したがって交互にしても、 Β が Γ に対するよう、Δ は Ε に対する。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが証明されるべきことであった。
§7.prop.18ἐὰν δύο ἀριθμοὶ ἀριθμόν τινα πολλαπλασιάσαντες ποιῶσί τινας, οἱ γενόμενοι ἐξ αὐτῶν τὸν αὐτὸν ἕξουσι λόγον τοῖς πολλαπλασιάσασιν.
もし2つの数がある数を掛けてある数らを作るなら、それらから生じたものは、掛けたものらと同じ比を持つであろう。
δύο γὰρ ἀριθμοὶ οἱ Α, Β ἀριθμόν τινα τὸν Γ πολλαπλασιάσαντες τοὺς Δ, Ε ποιείτωσαν· λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Δ πρὸς τὸν Ε.
ἐπεὶ γὰρ ὁ Α τὸν Γ πολλαπλασιάσας τὸν Δ πεποίηκεν, καὶ ὁ Γ ἄρα τὸν Α πολλαπλασιάσας τὸν Δ πεποίηκεν.
なぜなら、2つの数 Α, Β がある数 Γ を掛けて Δ, Ε を作るとせよ。私は、Α が Β に対するよう、Δ は Ε に対すると主張する。なぜなら、Α は Γ を掛けて Δ を作ったので、したがってまた、Γ も Α を掛けて Δ を作った。
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὁ Γ τὸν Β πολλαπλασιάσας τὸν Ε πεποίηκεν.
まさに同じ理由によって、Γ も Β を掛けて Ε を作った。
ἀριθμὸς δὴ ὁ Γ δύο ἀριθμοὺς τοὺς Α, Β πολλαπλασιάσας τοὺς Δ, Ε πεποίηκεν.
したがって、数 Γ は2つの数 Α, Β を掛けて Δ, Ε を作った。
ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Δ πρὸς τὸν ε·
したがって、Α が Β に対するよう、Δ も ε に対する。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが証明されるべきことであった。