§6.prop.9τῆς δοθείσης εὐθείας τὸ προσταχθὲν μέρος ἀφελεῖν.
与えられた直線から、指定された一部を切り取ること。
ἔστω ἡ δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ ΑΒ·
与えられた直線をABとせよ。
δεῖ δὴ τῆς ΑΒ τὸ προσταχθὲν μέρος ἀφελεῖν.
ABから指定された一部を切り取らねばならない。
Ἐπιτετάχθω δὴ τὸ τρίτον.
指定された部分を3分の1とせよ。
διήχθω τις ἀπὸ τοῦ α εὐθεῖα ἡ ΑΓ γωνίαν περιέχουσα μετὰ τῆς ΑΒ τυχοῦσαν·
Aから任意の直線をAGとし、ABとともに任意の角を挟むように引け。
καὶ εἰλήφθω τυχὸν σημεῖον ἐπὶ τῆς ΑΓ τὸ Δ, καὶ κείσθωσαν τῇ ΑΔ ἴσαι αἱ ΔΕ, ΕΓ. καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΒΓ, καὶ διὰ τοῦ Δ παράλληλος αὐτῇ ἤχθω ἡ ΔΖ.
ἐπεὶ οὖν τριγώνου τοῦ ΑΒΓ παρὰ μίαν τῶν πλευρῶν τὴν ΒΓ ἦκται ἡ ΖΔ, ἀνάλογον ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΓΔ πρὸς τὴν ΔΑ, οὕτως ἡ ΒΖ πρὸς τὴν ΖΑ. διπλῆ δὲ ἡ ΓΔ τῆς ΔΑ·
そしてAC上に任意の点Dが取られ、ADに等しくDE, EGが置かれるとせよ。 そしてBCが結ばれ、Dを通って BCに平行にDZが引かれるとせよ。 そのとき、三角形ABCの辺の1つBCに平行にZDが引かれたのであるから、CDのDAに対する比は、BZのZAに対する比と同じである。 しかしCDは DAの2倍である。
διπλῆ ἄρα καὶ ἡ ΒΖ τῆς ΖΑ·
したがってBZもZAの2倍である。
τριπλῆ ἄρα ἡ ΒΑ τῆς ΑΖ.
τῆς ἄρα δοθείσης εὐθείας τῆς ΑΒ τὸ ἐπιταχθὲν τρίτον μέρος ἀφῄρηται τὸ ΑΖ·
したがってBAはAZの3倍である。 したがって、与えられた直線ABから、指定された3分の1の部分AZが切り取られた。
ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
これがなすべきことであった。
§6.prop.10τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν ἄτμητον τῇ δοθείσῃ τετμημένῃ ὁμοίως τεμεῖν.
与えられた分割されていない直線を、与えられた分割された直線と同様に分割すること。
ἔστω ἡ μὲν δοθεῖσα εὐθεῖα ἄτμητος ἡ ΑΒ, ἡ δὲ τετμημένη ἡ ΑΓ κατὰ τὰ Δ, Ε σημεῖα, καὶ κείσθωσαν ὥστε γωνίαν τυχοῦσαν περιέχειν, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΓΒ, καὶ διὰ τῶν Δ, Ε τῇ ΒΓ παράλληλοι ἤχθωσαν αἱ ΔΖ, ΕΗ, διὰ δὲ τοῦ Δ τῇ ΑΒ παράλληλος ἤχθω ἡ ΔΘΚ.
παραλληλόγραμμον ἄρα ἐστὶν ἑκάτερον τῶν ΖΘ, ΘΒ·
与えられた分割されていない直線をABとし、分割された直線をD, Eの点においてACとせよ。 そしてこれらが任意の角を挟むように置かれるとせよ。 そしてCBが結ばれ、D, Eを通ってBCに平行にDZ, EHが引かれるとせよ。 またDを通ってABに平行にDHKが引かれるとせよ。 したがってZH, HBのそれぞれは平行四辺形である。
ἴση ἄρα ἡ μὲν ΔΘ τῇ ΖΗ, ἡ δὲ ΘΚ τῇ ΗΒ. καὶ ἐπεὶ τριγώνου τοῦ ΔΚΓ παρὰ μίαν τῶν πλευρῶν τὴν ΚΓ εὐθεῖα ἦκται ἡ ΘΕ, ἀνάλογον ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΓΕ πρὸς τὴν ΕΔ, οὕτως ἡ ΚΘ πρὸς τὴν ΘΔ. ἴση δὲ ἡ μὲν ΚΘ τῇ ΒΗ, ἡ δὲ ΘΔ τῇ ΗΖ. ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΓΕ πρὸς τὴν ΕΔ, οὕτως ἡ ΒΗ πρὸς τὴν ΗΖ. πάλιν, ἐπεὶ τριγώνου τοῦ ΑΗΕ παρὰ μίαν τῶν πλευρῶν τὴν ΗΕ ἦκται ἡ ΖΔ, ἀνάλογον ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΕΔ πρὸς τὴν ΔΑ, οὕτως ἡ ΗΖ πρὸς τὴν ΖΑ. ἐδείχθη δὲ καὶ ὡς ἡ ΓΕ πρὸς τὴν ΕΔ, οὕτως ἡ ΒΗ πρὸς τὴν ΗΖ·
したがってDKはZHに等しく、HKはHBに等しい。 そして、三角形DKCの辺の1つKCに平行に直線HEが引かれたのであるから、比例して、CEのEDに対する比は、KHのHDに対する比と同じである。 しかしKHはBHに等しく、HDはHZに等しい。 したがって、CEのEDに対する比は、BHのHZに対する比と同じである。 再び、三角形AHEの辺の1つHEに平行にZDが引かれたのであるから、比例して、 EDのDAに対する比は、HZのZAに対する比と同じである。 また、CEのEDに対する比が、BHのHZに対する比と同じであるとも示された。
ἔστιν ἄρα ὡς μὲν ἡ ΓΕ πρὸς τὴν ΕΔ, οὕτως ἡ ΒΗ πρὸς τὴν ΗΖ, ὡς δὲ ἡ ΕΔ πρὸς τὴν ΔΑ, οὕτως ἡ ΗΖ πρὸς τὴν ΖΑ.
ἡ ἄρα δοθεῖσα εὐθεῖα ἄτμητος ἡ ΑΒ τῇ δοθείσῃ εὐθείᾳ τετμημένῃ τῇ ΑΓ ὁμοίως τέτμηται·
したがって、CEのEDに対する比はBHのHZに対する比と同じであり、EDのDAに対する比はHZのZAに対する比と同じである。 したがって、与えられた分割されていない直線ABは、与えられた分割された直線ACと同様に分割された。
ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
これがなすべきことであった。
§6.prop.11δύο δοθεισῶν εὐθειῶν τρίτην ἀνάλογον προσευρεῖν.
与えられた2つの直線に対して、第3比例項を見つけること。
ἔστωσαν αἱ δοθεῖσαι αἱ ΒΑ, ΑΓ καὶ κείσθωσαν γωνίαν περιέχουσαι τυχοῦσαν.
与えられた2つの直線をBA, ACとし、任意の角を挟むように置かれるとせよ。
δεῖ δὴ τῶν ΒΑ, ΑΓ τρίτην ἀνάλογον προσευρεῖν.
BA, ACの第3比例項を見つけなければならない。
ἐκβεβλήσθωσαν γὰρ ἐπὶ τὰ Δ, Ε σημεῖα, καὶ κείσθω τῇ ΑΓ ἴση ἡ ΒΔ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΒΓ, καὶ διὰ τοῦ Δ παράλληλος αὐτῇ ἤχθω ἡ ΔΕ.
ἐπεὶ οὖν τριγώνου τοῦ ΑΔΕ παρὰ μίαν τῶν πλευρῶν τὴν ΔΕ ἦκται ἡ ΒΓ, ἀνάλογόν ἐστιν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΔ, οὕτως ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΓΕ. ἴση δὲ ἡ ΒΔ τῇ ΑΓ. ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΑΓ, οὕτως ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΓΕ.
δύο ἄρα δοθεισῶν εὐθειῶν τῶν ΑΒ, ΑΓ τρίτη ἀνάλογον αὐταῖς προσεύρηται ἡ ΓΕ·
なぜなら、これらが点D, Eの方向に延長され、ACに等しくBDが置かれ、BCが結ばれ、Dを通ってBCに平行にDEが引かれるとせよ。 そのとき、三角形ADEの辺の1つDEに平行にBCが引かれたのであるから、比例して、ABのBDに対する比は、ACのCEに対する比と同じである。 しかしBDはACに等しい。 したがって、ABのACに対する比は、ACのCEに対する比と同じである。 したがって、与えられた2つの直線AB, ACに対して、それらの第3比例項であるCEが見つけられた。
ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
これがなすべきことであった。