§6.prop.9τῆς δοθείσης εὐθείας τὸ προσταχθὲν μέρος ἀφελεῖν.
주어진 직선으로부터 지정된 부분을 잘라내는 것.
ἔστω ἡ δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ ΑΒ·
주어진 직선을 AB라 하자.
δεῖ δὴ τῆς ΑΒ τὸ προσταχθὲν μέρος ἀφελεῖν.
AB로부터 지정된 부분을 잘라내어야 한다.
Ἐπιτετάχθω δὴ τὸ τρίτον.
지정된 부분을 3분의 1이라 하자.
διήχθω τις ἀπὸ τοῦ α εὐθεῖα ἡ ΑΓ γωνίαν περιέχουσα μετὰ τῆς ΑΒ τυχοῦσαν·
A로부터 임의의 직선 AC를 그어, AB와 함께 임의의 각을 품도록 하라.
καὶ εἰλήφθω τυχὸν σημεῖον ἐπὶ τῆς ΑΓ τὸ Δ, καὶ κείσθωσαν τῇ ΑΔ ἴσαι αἱ ΔΕ, ΕΓ. καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΒΓ, καὶ διὰ τοῦ Δ παράλληλος αὐτῇ ἤχθω ἡ ΔΖ.
ἐπεὶ οὖν τριγώνου τοῦ ΑΒΓ παρὰ μίαν τῶν πλευρῶν τὴν ΒΓ ἦκται ἡ ΖΔ, ἀνάλογον ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΓΔ πρὸς τὴν ΔΑ, οὕτως ἡ ΒΖ πρὸς τὴν ΖΑ. διπλῆ δὲ ἡ ΓΔ τῆς ΔΑ·
그리고 AC 위에 임의의 점 D를 잡고, AD와 같게 DE, EC를 놓아라. 그리고 BC를 이고, D를 지나 BC와 평행하게 DZ를 그어라. 그러므로 삼각형 ABC의 변들 중 하나인 BC에 평행하게 ZD가 그어졌으므로, 비례하여 CD가 DA에 대하여 가지는 비는 BZ가 ZA에 대하여 가지는 비와 같다. 그런데 CD는 DA의 두 배이다.
διπλῆ ἄρα καὶ ἡ ΒΖ τῆς ΖΑ·
그러므로 BZ도 ZA의 두 배이다.
τριπλῆ ἄρα ἡ ΒΑ τῆς ΑΖ.
τῆς ἄρα δοθείσης εὐθείας τῆς ΑΒ τὸ ἐπιταχθὲν τρίτον μέρος ἀφῄρηται τὸ ΑΖ·
그러므로 BA는 AZ의 세 배이다. 그러므로 주어진 직선 AB로부터 지정된 3분의 1 부분인 AZ가 잘라내어졌다.
ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
이것이 하고자 했던 것이다.
§6.prop.10τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν ἄτμητον τῇ δοθείσῃ τετμημένῃ ὁμοίως τεμεῖν.
주어진 분할되지 않은 직선을, 주어진 분할된 직선과 마찬가지로 분할하는 것.
ἔστω ἡ μὲν δοθεῖσα εὐθεῖα ἄτμητος ἡ ΑΒ, ἡ δὲ τετμημένη ἡ ΑΓ κατὰ τὰ Δ, Ε σημεῖα, καὶ κείσθωσαν ὥστε γωνίαν τυχοῦσαν περιέχειν, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΓΒ, καὶ διὰ τῶν Δ, Ε τῇ ΒΓ παράλληλοι ἤχθωσαν αἱ ΔΖ, ΕΗ, διὰ δὲ τοῦ Δ τῇ ΑΒ παράλληλος ἤχθω ἡ ΔΘΚ.
παραλληλόγραμμον ἄρα ἐστὶν ἑκάτερον τῶν ΖΘ, ΘΒ·
분할되지 않은 주어진 직선을 AB라 하고, 분할된 직선을 D, E 점들에서 분할된 AC라 하자. 그리고 이들이 임의의 각을 품도록 놓이게 하고, CB를 이으며, D, E를 지나 BC에 평행하게 DZ, EH가 그어지게 하라. 또한 D를 지나 AB에 평행하게 DHK가 그어지게 하라. 그러므로 ZH, HB 각각은 평행사변형이다.
ἴση ἄρα ἡ μὲν ΔΘ τῇ ΖΗ, ἡ δὲ ΘΚ τῇ ΗΒ. καὶ ἐπεὶ τριγώνου τοῦ ΔΚΓ παρὰ μίαν τῶν πλευρῶν τὴν ΚΓ εὐθεῖα ἦκται ἡ ΘΕ, ἀνάλογον ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΓΕ πρὸς τὴν ΕΔ, οὕτως ἡ ΚΘ πρὸς τὴν ΘΔ. ἴση δὲ ἡ μὲν ΚΘ τῇ ΒΗ, ἡ δὲ ΘΔ τῇ ΗΖ. ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΓΕ πρὸς τὴν ΕΔ, οὕτως ἡ ΒΗ πρὸς τὴν ΗΖ. πάλιν, ἐπεὶ τριγώνου τοῦ ΑΗΕ παρὰ μίαν τῶν πλευρῶν τὴν ΗΕ ἦκται ἡ ΖΔ, ἀνάλογον ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΕΔ πρὸς τὴν ΔΑ, οὕτως ἡ ΗΖ πρὸς τὴν ΖΑ. ἐδείχθη δὲ καὶ ὡς ἡ ΓΕ πρὸς τὴν ΕΔ, οὕτως ἡ ΒΗ πρὸς τὴν ΗΖ·
그러므로 DK는 ZH와 같고, HK는 HB와 같다. 그리고 삼각형 DKC의 변들 중 하나인 KC에 평행하게 직선 HE가 그어졌으므로, 비례하여 CE가 ED에 대하여 가지는 비는 KH가 HD에 대하여 가지는 비와 같다. 그런데 KH는 BH와 같고, HD는 HZ와 같다. 그러므로 CE가 ED에 대하여 가지는 비는 BH가 HZ에 대하여 가지는 비와 같다. 다시, 삼각형 AHE의 변들 중 하나인 HE에 평행하게 ZD가 그어졌으므로, 비례하여 ED가 DA에 대하여 가지는 비는 HZ가 ZA에 대하여 가지는 비와 같다. 또한 CE가 ED에 대하여 가지는 비는 BH가 HZ에 대하여 가지는 비와 같음도 증명되었다.
ἔστιν ἄρα ὡς μὲν ἡ ΓΕ πρὸς τὴν ΕΔ, οὕτως ἡ ΒΗ πρὸς τὴν ΗΖ, ὡς δὲ ἡ ΕΔ πρὸς τὴν ΔΑ, οὕτως ἡ ΗΖ πρὸς τὴν ΖΑ.
ἡ ἄρα δοθεῖσα εὐθεῖα ἄτμητος ἡ ΑΒ τῇ δοθείσῃ εὐθείᾳ τετμημένῃ τῇ ΑΓ ὁμοίως τέτμηται·
그러므로 CE가 ED에 대하여 가지는 비는 BH가 HZ에 대하여 가지는 비와 같고, ED가 DA에 대하여 가지는 비는 HZ가 ZA에 대하여 가지는 비와 같다. 그러므로 주어진 분할되지 않은 직선 AB는 주어진 분할된 직선 AC와 마찬가지로 분할되었다.
ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
이것이 하고자 했던 것이다.
§6.prop.11δύο δοθεισῶν εὐθειῶν τρίτην ἀνάλογον προσευρεῖν.
주어진 두 직선에 대하여 제3비례항을 찾는 것.
ἔστωσαν αἱ δοθεῖσαι αἱ ΒΑ, ΑΓ καὶ κείσθωσαν γωνίαν περιέχουσαι τυχοῦσαν.
주어진 두 직선을 BA, AC라 하고, 임의의 각을 품도록 놓이게 하라.
δεῖ δὴ τῶν ΒΑ, ΑΓ τρίτην ἀνάλογον προσευρεῖν.
BA, AC에 대한 제3비례항을 찾아야 한다.
ἐκβεβλήσθωσαν γὰρ ἐπὶ τὰ Δ, Ε σημεῖα, καὶ κείσθω τῇ ΑΓ ἴση ἡ ΒΔ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΒΓ, καὶ διὰ τοῦ Δ παράλληλος αὐτῇ ἤχθω ἡ ΔΕ.
ἐπεὶ οὖν τριγώνου τοῦ ΑΔΕ παρὰ μίαν τῶν πλευρῶν τὴν ΔΕ ἦκται ἡ ΒΓ, ἀνάλογόν ἐστιν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΔ, οὕτως ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΓΕ. ἴση δὲ ἡ ΒΔ τῇ ΑΓ. ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΑΓ, οὕτως ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΓΕ.
δύο ἄρα δοθεισῶν εὐθειῶν τῶν ΑΒ, ΑΓ τρίτη ἀνάλογον αὐταῖς προσεύρηται ἡ ΓΕ·
왜냐하면, 이 직선들이 점 D, E로 연장되게 하고, AC와 같게 BD를 놓고, BC를 이으며, D를 지나 BC와 평행하게 DE가 그어지게 하라. 그러므로 삼각형 ADE의 변들 중 하나인 DE에 평행하게 BC가 그어졌으므로, 비례하여 AB가 BD에 대하여 가지는 비는 AC가 CE에 대하여 가지는 비와 같다. 그런데 BD는 AC와 같다. 그러므로 AB가 AC에 대하여 가지는 비는 AC가 CE에 대하여 가지는 비와 같다. 그러므로 주어진 두 직선 AB, AC에 대하여, 그것들의 제3비례항인 CE가 찾아졌다.
ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
이것이 하고자 했던 것이다.