§6.prop.12τριῶν δοθεισῶν εὐθειῶν τετάρτην ἀνάλογον προσευρεῖν.
与えられた3つの直線に対して、第4比例項を見つけること。
ἔστωσαν αἱ δοθεῖσαι τρεῖς εὐθεῖαι αἱ Α, Β, Γ·
与えられた3つの直線をA, B, Cとせよ。
δεῖ δὴ τῶν Α, Β, Γ τετάρτην ἀνάλογον προσευρεῖν.
A, B, Cの第4比例項を見つけなければならない。
Ἐκκείσθωσαν δύο εὐθεῖαι αἱ ΔΕ, ΔΖ γωνίαν περιέχουσαι τὴν ὑπὸ ΕΔΖ·
2つの直線DE, DZが、角EDZを挟むように置かれるとせよ。
καὶ κείσθω τῇ μὲν Α ἴση ἡ ΔΗ, τῇ δὲ Β ἴση ἡ ΗΕ, καὶ ἔτι τῇ Γ ἴση ἡ ΔΘ·
そしてAに等しくDHが、Bに等しくHEが、さらにCに等しくDΘが置かれるとせよ。
καὶ ἐπιζευχθείσης τῆς ΗΘ παράλληλος αὐτῇ ἤχθω διὰ τοῦ Ε ἡ ΕΖ.
ἐπεὶ οὖν τριγώνου τοῦ ΔΕΖ παρὰ μίαν τὴν ΕΖ ἦκται ἡ ΗΘ, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΔΗ πρὸς τὴν ΗΕ, οὕτως ἡ ΔΘ πρὸς τὴν ΘΖ. ἴση δὲ ἡ μὲν ΔΗ τῇ Α, ἡ δὲ ΗΕ τῇ Β, ἡ δὲ ΔΘ τῇ Γ·
そしてHΘが結ばれたとき、Eを通ってこれに平行にEZが引かれるとせよ。
ἔστιν ἄρα ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Β, οὕτως ἡ Γ πρὸς τὴν ΘΖ.
τριῶν ἄρα δοθεισῶν εὐθειῶν τῶν Α, Β, Γ τετάρτη ἀνάλογον προσεύρηται ἡ ΘΖ·
そのとき、三角形DEZの辺の1つEZに平行に HΘが引かれたのであるから、DHのHEに対する比は、DΘのΘZに対する比と同じである。 しかしDHはAに等しく、HEはBに等しく、DΘはCに等しい。 したがって、AのBに対する比は、CのΘZに対する比と同じである。 したがって、与えられた3つの直線A, B, Cに対して、それらの第4比例項である ΘZが見つけられた。
ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
これがなすべきことであった。
§6.prop.13δύο δοθεισῶν εὐθειῶν μέσην ἀνάλογον προσευρεῖν.
与えられた2つの直線に対して、比例中項を見つけること。
ἔστωσαν αἱ δοθεῖσαι δύο εὐθεῖαι αἱ ΑΒ, ΒΓ·
与えられた2つの直線をAB, BCとせよ。
δεῖ δὴ τῶν ΑΒ, ΒΓ μέσην ἀνάλογον προσευρεῖν.
AB, BCの比例中項を見つけなければならない。
κείσθωσαν ἐπʼ εὐθείας, καὶ γεγράφθω ἐπὶ τῆς ΑΓ ἡμικύκλιον τὸ ΑΔΓ, καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Β σημείου τῇ ΑΓ εὐθείᾳ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΒΔ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΔ, ΔΓ.
ἐπεὶ ἐν ἡμικυκλίῳ γωνία ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΔΓ, ὀρθή ἐστιν.
これらが一直線上に置かれるとせよ。 そしてACの上に半円ADCが描かれ、点Bから直線ACに対して直角にBDが引かれ、AD, DCが結ばれるとせよ。 半円の中の角である角ADCは、直角である。
καὶ ἐπεὶ ἐν ὀρθογωνίῳ τριγώνῳ τῷ ΑΔΓ ἀπὸ τῆς ὀρθῆς γωνίας ἐπὶ τὴν βάσιν κάθετος ἦκται ἡ ΔΒ, ἡ ΔΒ ἄρα τῶν τῆς βάσεως τμημάτων τῶν ΑΒ, ΒΓ μέση ἀνάλογόν ἐστιν. δύο ἄρα δοθεισῶν εὐθειῶν τῶν ΑΒ, ΒΓ μέση ἀνάλογον προσεύρηται ἡ ΔΒ·
そして、直角三角形ADCにおいて、直角から底辺の上に垂線DBが引かれたのであるから、DBは底辺の線分であるAB, BCの比例中項である。 したがって、与えられた2つの直線AB, BCに対して、それらの比例中項であるDBが見つけられた。
ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
これがなすべきことであった。
§6.prop.14τῶν ἴσων τε καὶ ἰσογωνίων παραλληλογράμμων ἀντιπεπόνθασιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰς ἴσας γωνίας·
互いに等しくかつ等角な平行四辺形において、等しい角を挟む辺は逆比例する。
καὶ ὧν ἰσογωνίων παραλληλογράμμων ἀντιπεπόνθασιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰς ἴσας γωνίας, ἴσα ἐστὶν ἐκεῖνα.
また、それらの辺が逆比例する等角な平行四辺形は、互いに等しい。
ἔστω ἴσα τε καὶ ἰσογώνια παραλληλόγραμμα τὰ ΑΒ, ΒΓ ἴσας ἔχοντα τὰς πρὸς τῷ Β γωνίας, καὶ κείσθωσαν ἐπʼ εὐθείας αἱ ΔΒ, ΒΕ·
互いに等しくかつ等角な平行四辺形をAB, BCとし、Bにおける角を等しいものとせよ。 そしてDB, BEが一直線上に置かれるとせよ。
ἐπʼ εὐθείας ἄρα εἰσὶ καὶ αἱ ΖΒ, ΒΗ. λέγω, ὅτι τῶν ΑΒ, ΒΓ ἀντιπεπόνθασιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰς ἴσας γωνίας, τουτέστιν, ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΔΒ πρὸς τὴν ΒΕ, οὕτως ἡ ΗΒ πρὸς τὴν ΒΖ.
συμπεπληρώσθω γὰρ τὸ ΖΕ παραλληλόγραμμον.
したがってZB, BHも一直線上にある。 私は言う、AB, BCにおいて、等しい角を挟む辺は逆比例する。 すなわち、 DBのBEに対する比は、HBのBZに対する比と同じである。 なぜなら、平行四辺形ZEが補い完成されるとせよ。
ἐπεὶ οὖν ἴσον ἐστὶ τὸ ΑΒ παραλληλόγραμμον τῷ ΒΓ παραλληλογράμμῳ, ἄλλο δέ τι τὸ ΖΕ, ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΖΕ, οὕτως τὸ ΒΓ πρὸς τὸ ΖΕ. ἀλλʼ ὡς μὲν τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΖΕ, οὕτως ἡ ΔΒ πρὸς τὴν ΒΕ, ὡς δὲ τὸ ΒΓ πρὸς τὸ ΖΕ, οὕτως ἡ ΗΒ πρὸς τὴν ΒΖ·
そのとき、平行四辺形ABは平行四辺形BCに等しく、別の何らかの平行四辺形ZEがあるから、ABのZEに対する比は、BCのZEに対する比と同じである。 しかし、ABのZEに対する比は、DBのBEに対する比と同じであり、 BCのZEに対する比は、HBのBZに対する比と同じである。
καὶ ὡς ἄρα ἡ ΔΒ πρὸς τὴν ΒΕ, οὕτως ἡ ΗΒ πρὸς τὴν ΒΖ. τῶν ἄρα ΑΒ, ΒΓ παραλληλογράμμων ἀντιπεπόνθασιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰς ἴσας γωνίας.
したがって、DBのBEに対する比も、HBのBZに対する比と同じである。 したがって、平行四辺形AB, BCにおいて、等しい角を挟む辺は逆比例する。
ἀλλὰ δὴ ἔστω ὡς ἡ ΔΒ πρὸς τὴν ΒΕ, οὕτως ἡ ΗΒ πρὸς τὴν ΒΖ·
しかしまた、DBのBEに対する比が、HBの BZに対する比と同じであるとせよ。
λέγω, ὅτι ἴσον ἐστὶ τὸ ΑΒ παραλληλόγραμμον τῷ ΒΓ παραλληλογράμμῳ.
私は言う、平行四辺形ABは平行四辺形BCに等しい。
ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ἡ ΔΒ πρὸς τὴν ΒΕ, οὕτως ἡ ΗΒ πρὸς τὴν ΒΖ, ἀλλʼ ὡς μὲν ἡ ΔΒ πρὸς τὴν ΒΕ, οὕτως τὸ ΑΒ παραλληλόγραμμον πρὸς τὸ ΖΕ παραλληλόγραμμον, ὡς δὲ ἡ ΗΒ πρὸς τὴν ΒΖ, οὕτως τὸ ΒΓ παραλληλόγραμμον πρὸς τὸ ΖΕ παραλληλόγραμμον, καὶ ὡς ἄρα τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΖΕ, οὕτως τὸ ΒΓ πρὸς τὸ ΖΕ·
なぜなら、DB의 BEに対する比は、HBのBZに対する比と同じであり、しかしDBのBEに対する比は、平行四辺形ABの平行四辺形ZEに対する比と同じであり、 HBのBZに対する比は、平行四辺形BCの平行四辺形ZEに対する比と同じであるから、平行四辺形ABの平行四辺形ZEに対する比も、平行四辺形BCの平行四辺形ZEに対する比と同じである。
ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒ παραλληλόγραμμον τῷ ΒΓ παραλληλογράμμῳ.
したがって、平行四辺形ABは平行四辺形BCに等しい。
τῶν ἄρα ἴσων τε καὶ ἰσογωνίων παραλληλογράμμων ἀντιπεπόνθασιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰς ἴσας γωνίας·
したがって、互いに等しくかつ等角な平行四辺形において、等しい角を挟む辺は逆比例する。
καὶ ὧν ἰσογωνίων παραλληλογράμμων ἀντιπεπόνθασιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰς ἴσας γωνίας, ἴσα ἐστὶν ἐκεῖνα·
また、それらの辺が逆比例する等角な平行四辺形は、互いに等しい。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。