§6.prop.8ἐὰν ἐν ὀρθογωνίῳ τριγώνῳ ἀπὸ τῆς ὀρθῆς γωνίας ἐπὶ τὴν βάσιν κάθετος ἀχθῇ, τὰ πρὸς τῇ καθέτῳ τρίγωνα ὅμοιά ἐστι τῷ τε ὅλῳ καὶ ἀλλήλοις.
直角三角形において、直角から底辺へ垂線が引かれるならば、垂線の両側にできる三角形は、全体とも、また互いとも相似である。
ἔστω τρίγωνον ὀρθογώνιον τὸ ΑΒΓ ὀρθὴν ἔχον τὴν ὑπὸ ΒΑΓ γωνίαν, καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὴν ΒΓ κάθετος ἡ ΑΔ·
直角三角形ABCがあり、直角 BACを持つとせよ。 そしてAからBCへ垂線ADが引かれるとせよ。
λέγω, ὅτι ὅμοιόν ἐστιν ἑκάτερον τῶν ΑΒΔ, ΑΔΓ τριγώνων ὅλῳ τῷ ΑΒΓ καὶ ἔτι ἀλλήλοις.
私は言う、三角形ABD, ADCのそれぞれは全体ABCと相似であり、さらに互いとも相似である。
ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΑΓ τῇ ὑπὸ ΑΔΒ· ὀρθὴ γὰρ ἑκατέρα· καὶ κοινὴ τῶν δύο τριγώνων τοῦ τε ΑΒΓ καὶ τοῦ ΑΒΔ ἡ πρὸς τῷ Β, λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΓΒ λοιπῇ τῇ ὑπὸ ΒΑΔ ἐστιν ἴση·
なぜなら、角BACは角ADBに等しく（なぜならそれぞれ直角であるから）、また2つの三角形ABCとABDに共通なのはBにおける角であるから、残りの角ACBは残りの角BADに等しい。
ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΑΒΔ τριγώνῳ.
したがって、三角形ABCは三角形ABDと等角である。
ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΒΓ ὑποτείνουσα τὴν ὀρθὴν τοῦ ΑΒΓ τριγώνου πρὸς τὴν ΒΑ ὑποτείνουσαν τὴν ὀρθὴν τοῦ ΑΒΔ τριγώνου, οὕτως αὐτὴ ἡ ΑΒ ὑποτείνουσα τὴν πρὸς τῷ Γ γωνίαν τοῦ ΑΒΓ τριγώνου πρὸς τὴν ΒΔ ὑποτείνουσαν τὴν ἴσην τὴν ὑπὸ ΒΑΔ τοῦ ΑΒΔ τριγώνου, καὶ ἔτι ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΑΔ ὑποτείνουσαν τὴν πρὸς τῷ Β γωνίαν κοινὴν τῶν δύο τριγώνων.
したがって、三角形ABCの直角を対辺とするBCの、三角形ABDの直角を対辺とするBAに対する比は、三角形ABCのCにおける角を対辺とするAB自体の、三角形ABDの（これに等しい）角BADを対辺とするBDに対する比と同じであり、さらにACの、2つの三角形に共通なBにおける角を対辺とするADに対する比と同じである。
τὸ ΑΒΓ ἄρα τρίγωνον τῷ ΑΒΔ τριγώνῳ ἰσογώνιόν τέ ἐστι καὶ τὰς περὶ τὰς ἴσας γωνίας πλευρὰς ἀνάλογον ἔχει.
したがって、三角形ABCは三角形ABDと等角であり、等しい角を挟む辺を比例して持つ。
ὅμοιον ἄρα τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΑΒΔ τριγώνῳ.
したがって、三角形ABCは三角形ABDと相似である。
ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ τῷ ΑΔΓ τριγώνῳ ὅμοιόν ἐστι τὸ ΑΒΓ τρίγωνον·
同様に、三角形ABCが三角形ADCとも相似であることを示すことができる。
ἑκάτερον ἄρα τῶν ΑΒΔ, ΑΔΓ ὅμοιόν ἐστιν ὅλῳ τῷ ΑΒΓ.
λέγω δή, ὅτι καὶ ἀλλήλοις ἐστὶν ὅμοια τὰ ΑΒΔ, ΑΔΓ τρίγωνα.
したがって、ABD, ADCのそれぞれは全体ABCに相似である。 私はさらに言う、三角形ABD, ADCは互いとも相似である。
ἐπεὶ γὰρ ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΒΔΑ ὀρθῇ τῇ ὑπὸ ΑΔΓ ἐστιν ἴση, ἀλλὰ μὴν καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΔ τῇ πρὸς τῷ Γ ἐδείχθη ἴση, καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ πρὸς τῷ Β λοιπῇ τῇ ὑπὸ ΔΑΓ ἐστιν ἴση·
なぜなら、直角BDAは直角ADCに等しく、しかしそれだけでなく、角BADもCにおける角に等しいと示されたから、残りのBにおける角も残りの角DACに等しい。
ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΔ τρίγωνον τῷ ΑΔΓ τριγώνῳ.
したがって、三角形ABDは三角形ADCと等角である。
ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΒΔ τοῦ ΑΒΔ τριγώνου ὑποτείνουσα τὴν ὑπὸ ΒΑΔ πρὸς τὴν ΔΑ τοῦ ΑΔΓ τριγώνου ὑποτείνουσαν τὴν πρὸς τῷ Γ ἴσην τῇ ὑπὸ ΒΑΔ, οὕτως αὐτὴ ἡ ΑΔ τοῦ ΑΒΔ τριγώνου ὑποτείνουσα τὴν πρὸς τῷ Β γωνίαν πρὸς τὴν ΔΓ ὑποτείνουσαν τὴν ὑπὸ ΔΑΓ τοῦ ΑΔΓ τριγώνου ἴσην τῇ πρὸς τῷ Β, καὶ ἔτι ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΓ ὑποτείνουσαι τὰς ὀρθάς·
したがって、三角形ABDの角BADを対辺とするBDの、三角形ADCの（角BADに等しい）Cにおける角を対辺とするDAに対する比は、三角形ABDのBにおける角を対辺とするAD自体の、三角形ADCの（Bにおける角に等しい）角DACを対辺とするDCに対する比と同じであり、さらに直角を対辺とするBAのACに対する比と同じである。
ὅμοιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΔ τρίγωνον τῷ ΑΔΓ τριγώνῳ.
したがって、三角形ABDは三角形ADCと相似である。
ἐὰν ἄρα ἐν ὀρθογωνίῳ τριγώνῳ ἀπὸ τῆς ὀρθῆς γωνίας ἐπὶ τὴν βάσιν κάθετος ἀχθῇ, τὰ πρὸς τῇ καθέτῳ τρίγωνα ὅμοιά ἐστι τῷ τε ὅλῳ καὶ ἀλλήλοις. Πόρισμα
ἐκ δὴ τούτου φανερόν, ὅτι ἐὰν ἐν ὀρθογωνίῳ τριγώνῳ ἀπὸ τῆς ὀρθῆς ἐπὶ τὴν βάσιν κάθετος ἀχθῇ, ἡ ἀχθεῖσα τῶν τῆς βάσεως τμημάτων μέση ἀνάλογόν ἐστιν·
したがって、直角三角形において、直角から底辺へ垂線が引かれるならば、垂線の両側にできる三角形は、全体とも、また互いとも相似である。 系このことから、直角三角形において、直角から底辺へ垂線が引かれるならば、引かれた垂線は底辺の分節の比例中項であることは明らかである。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。