§6.prop.9τῆς δοθείσης εὐθείας τὸ προσταχθὲν μέρος ἀφελεῖν.
从已知直线上截取所要求的一部分。
ἔστω ἡ δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ ΑΒ·
设已知直线为 AB。
δεῖ δὴ τῆς ΑΒ τὸ προσταχθὲν μέρος ἀφελεῖν.
要在 AB 上截取所要求的一部分。
Ἐπιτετάχθω δὴ τὸ τρίτον.
设所要求的是三分之一。
διήχθω τις ἀπὸ τοῦ α εὐθεῖα ἡ ΑΓ γωνίαν περιέχουσα μετὰ τῆς ΑΒ τυχοῦσαν·
从 A 引出任意直线 AC，使其与 AB 夹任意角。
καὶ εἰλήφθω τυχὸν σημεῖον ἐπὶ τῆς ΑΓ τὸ Δ, καὶ κείσθωσαν τῇ ΑΔ ἴσαι αἱ ΔΕ, ΕΓ. καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΒΓ, καὶ διὰ τοῦ Δ παράλληλος αὐτῇ ἤχθω ἡ ΔΖ.
ἐπεὶ οὖν τριγώνου τοῦ ΑΒΓ παρὰ μίαν τῶν πλευρῶν τὴν ΒΓ ἦκται ἡ ΖΔ, ἀνάλογον ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΓΔ πρὸς τὴν ΔΑ, οὕτως ἡ ΒΖ πρὸς τὴν ΖΑ. διπλῆ δὲ ἡ ΓΔ τῆς ΔΑ· διπλῆ ἄρα καὶ ἡ ΒΖ τῆς ΖΑ·
在 AC 上任取一点 D，并令 DE、EC 等于 AD。 连接 BC，并经过 D 作一条平行于 BC 的直线 DZ。 于是，因为在三角形 ABC 中，平行于它的一边 BC 引了直线 ZD，所以成比例：正如 CD 对 DA，BZ 对 ZA。 而 CD 是 DA 的两倍；因此 BZ 也是 ZA 的两倍；所以 BA 是 AZ 的三倍。
τριπλῆ ἄρα ἡ ΒΑ τῆς ΑΖ.
τῆς ἄρα δοθείσης εὐθείας τῆς ΑΒ τὸ ἐπιταχθὲν τρίτον μέρος ἀφῄρηται τὸ ΑΖ·
因此，从已知直线 AB 上截取了所要求的三分之一部分 AZ。
ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
这就是所要作的。
§6.prop.10τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν ἄτμητον τῇ δοθείσῃ τετμημένῃ ὁμοίως τεμεῖν.
将一条给定的未分割直线按照一条给定的已分割直线同样地分割。
ἔστω ἡ μὲν δοθεῖσα εὐθεῖα ἄτμητος ἡ ΑΒ, ἡ δὲ τετμημένη ἡ ΑΓ κατὰ τὰ Δ, Ε σημεῖα, καὶ κείσθωσαν ὥστε γωνίαν τυχοῦσαν περιέχειν, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΓΒ, καὶ διὰ τῶν Δ, Ε τῇ ΒΓ παράλληλοι ἤχθωσαν αἱ ΔΖ, ΕΗ, διὰ δὲ τοῦ Δ τῇ ΑΒ παράλληλος ἤχθω ἡ ΔΘΚ.
παραλληλόγραμμον ἄρα ἐστὶν ἑκάτερον τῶν ΖΘ, ΘΒ· ἴση ἄρα ἡ μὲν ΔΘ τῇ ΖΗ, ἡ δὲ ΘΚ τῇ ΗΒ. καὶ ἐπεὶ τριγώνου τοῦ ΔΚΓ παρὰ μίαν τῶν πλευρῶν τὴν ΚΓ εὐθεῖα ἦκται ἡ ΘΕ, ἀνάλογον ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΓΕ πρὸς τὴν ΕΔ, οὕτως ἡ ΚΘ πρὸς τὴν ΘΔ. ἴση δὲ ἡ μὲν ΚΘ τῇ ΒΗ, ἡ δὲ ΘΔ τῇ ΗΖ. ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΓΕ πρὸς τὴν ΕΔ, οὕτως ἡ ΒΗ πρὸς τὴν ΗΖ. πάλιν, ἐπεὶ τριγώνου τοῦ ΑΗΕ παρὰ μίαν τῶν πλευρῶν τὴν ΗΕ ἦκται ἡ ΖΔ, ἀνάλογον ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΕΔ πρὸς τὴν ΔΑ, οὕτως ἡ ΗΖ πρὸς τὴν ΖΑ. ἐδείχθη δὲ καὶ ὡς ἡ ΓΕ πρὸς τὴν ΕΔ, οὕτως ἡ ΒΗ πρὸς τὴν ΗΖ· ἔστιν ἄρα ὡς μὲν ἡ ΓΕ πρὸς τὴν ΕΔ, οὕτως ἡ ΒΗ πρὸς τὴν ΗΖ, ὡς δὲ ἡ ΕΔ πρὸς τὴν ΔΑ, οὕτως ἡ ΗΖ πρὸς τὴν ΖΑ.
ἡ ἄρα δοθεῖσα εὐθεῖα ἄτμητος ἡ ΑΒ τῇ δοθείσῃ εὐθείᾳ τετμημένῃ τῇ ΑΓ ὁμοίως τέτμηται·
设 AB 为给定的未分割直线，AC 为在点 D、E 处分割的已分割直线。 令它们放置以夹任意角。 连接 CB，并经过 D、E 作平行于 BC 的直线 DZ、EH；此外，经过 D 作平行于 AB 的直线 DHK。 因此 ZH、HB 的每一个都是平行四边形；所以 DK 等于 ZH，HK 等于 HB。 又因为在三角形 DKC 中，平行于它的一边 KC 引了直线 HE，所以成比例：正如 CE 对 ED，KH 对 HD。 而 KH 等于 BH，HD 等于 HZ；因此，正如 CE 对 ED，BH 对 HZ。 再次，因为在三角形 AHE 中，平行于它的一边 HE 引了直线 ZD，所以成比例：正如 ED 对 DA，HZ 对 ZA。 而且已被证明，正如 CE 对 ED，BH 对 HZ；因此，正如 CE 对 ED，BH 对 HZ，且正如 ED 对 DA，HZ 对 ZA。 因此，给定的未分割直线 AB 已按照给定的已分割直线 AC 同样地分割。
ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
这就是所要作的。
§6.prop.11δύο δοθεισῶν εὐθειῶν τρίτην ἀνάλογον προσευρεῖν.
求两条已知直线的第三比例线段。
ἔστωσαν αἱ δοθεῖσαι αἱ ΒΑ, ΑΓ καὶ κείσθωσαν γωνίαν περιέχουσαι τυχοῦσαν.
设给定的两条直线为 BA、AC，且令它们放置以夹任意角。
δεῖ δὴ τῶν ΒΑ, ΑΓ τρίτην ἀνάλογον προσευρεῖν.
要在 BA、AC 之外求出一条第三比例线段。
ἐκβεβλήσθωσαν γὰρ ἐπὶ τὰ Δ, Ε σημεῖα, καὶ κείσθω τῇ ΑΓ ἴση ἡ ΒΔ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΒΓ, καὶ διὰ τοῦ Δ παράλληλος αὐτῇ ἤχθω ἡ ΔΕ.
ἐπεὶ οὖν τριγώνου τοῦ ΑΔΕ παρὰ μίαν τῶν πλευρῶν τὴν ΔΕ ἦκται ἡ ΒΓ, ἀνάλογόν ἐστιν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΔ, οὕτως ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΓΕ. ἴση δὲ ἡ ΒΔ τῇ ΑΓ. ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΑΓ, οὕτως ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΓΕ.
δύο ἄρα δοθεισῶν εὐθειῶν τῶν ΑΒ, ΑΓ τρίτη ἀνάλογον αὐταῖς προσεύρηται ἡ ΓΕ·
因为，让它们延长到点 D、E，并令 BD 等于 AC，连接 BC，并通过 D 作平行于它的直线 DE。 于是，因为在三角形 ADE 中，平行于它的一边 DE 引了直线 BC，所以成比例：正如 AB 对 BD，AC 对 CE。 而 BD 等于 AC；因此，正如 AB 对 AC，AC 对 CE。 因此，对应于给定的两条直线 AB、AC，求出了它们的第三比例线段 CE。
ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
这就是所要作的。