§6.prop.26ἐὰν ἀπὸ παραλληλογράμμου παραλληλόγραμμον ἀφαιρεθῇ ὅμοιόν τε τῷ ὅλῳ καὶ ὁμοίως κείμενον κοινὴν γωνίαν ἔχον αὐτῷ, περὶ τὴν αὐτὴν διάμετρόν ἐστι τῷ ὅλῳ.
もし平行四辺形から、全体に相似でかつ同様に位置し、それと共通の角をもつ平行四辺形が取り去られるならば、それは全体と同じ対角線の周りにある。
ἀπὸ γὰρ παραλληλογράμμου τοῦ ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμον ἀφῃρήσθω τὸ ΑΖ ὅμοιον τῷ ΑΒΓΔ καὶ ὁμοίως κείμενον κοινὴν γωνίαν ἔχον αὐτῷ τὴν ὑπὸ ΔΑΒ·
なぜなら、平行四辺形 ΑΒΓΔ から、ΑΒΓΔ に相似でかつ同様に位置し、それと共通の角ΔΑΒをもつ平行四辺形ΑΖが取り去られたとせよ。
λέγω, ὅτι περὶ τὴν αὐτὴν διάμετρόν ἐστι τὸ ΑΒΓΔ τῷ ΑΖ.
μὴ γάρ, ἀλλʼ εἰ δυνατόν, ἔστω διάμετρος ἡ ΑΘΓ, καὶ ἐκβληθεῖσα ἡ ΗΖ διήχθω ἐπὶ τὸ Θ, καὶ ἤχθω διὰ τοῦ Θ ὁποτέρᾳ τῶν ΑΔ, ΒΓ παράλληλος ἡ ΘΚ.
ἐπεὶ οὖν περὶ τὴν αὐτὴν διάμετρόν ἐστι τὸ ΑΒΓΔ τῷ ΚΗ, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΔΑ πρὸς τὴν ΑΒ, οὕτως ἡ ΗΑ πρὸς τὴν ΑΚ. ἔστι δὲ καὶ διὰ τὴν ὁμοιότητα τῶν ΑΒΓΔ, ΕΗ καὶ ὡς ἡ ΔΑ πρὸς τὴν ΑΒ, οὕτως ἡ ΗΑ πρὸς τὴν ΑΕ·
私は言う、 ΑΒΓΔはΑΖと同じ対角線の周りにある、と。 なぜなら、そうでたいとせよ。 しかし可能ならば、対角線は ΑΘΓ であるとし、延長された ΗΖ が Θ まで引き伸ばされ、Θ を通って ΑΔ, ΒΓ のいずれか一方に平行な ΘΚ が引かれたとせよ。 したがって、ΑΒΓΔはΚΗと同じ対角線の周りにあるので、それゆえΔΑのΑΒに対する比のように、そのようにΗΑのΑΚに対する比である。 しかしまた、ΑΒΓΔ, ΕΗ の相似性のゆえに、ΔΑのΑΒに対する比のように、そのようにΗΑの ΑΕに対する比である。
καὶ ὡς ἄρα ἡ ΗΑ πρὸς τὴν ΑΚ, οὕτως ἡ ΗΑ πρὸς τὴν ΑΕ. ἡ ΗΑ ἄρα πρὸς ἑκατέραν τῶν ΑΚ, ΑΕ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον.
それゆえまた、ΗΑのΑΚに対する比のように、そのようにΗΑのΑΕに対する比である。 したがって、ΗΑはΑΚ, ΑΕのそれぞれに対して同じ比をもつ。
ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΕ τῇ ΑΚ ἡ ἐλάττων τῇ μείζονι·
それゆえ、より小さいΑΕがより大きいΑΚに等しい。
ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
これは不可能である。
οὐκ ἄρα οὔκ ἐστι περὶ τὴν αὐτὴν διάμετρον τὸ ΑΒΓΔ τῷ ΑΖ·
したがって、ΑΒΓΔがΑΖと同じ対角線の周りにないということはない。
περὶ τὴν αὐτὴν ἄρα ἐστὶ διάμετρον τὸ ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμον τῷ ΑΖ παραλληλογράμμῳ.
したがって、平行四辺形ΑΒΓΔは平行四辺形ΑΖと同じ対角線の周りにある。
ἐὰν ἄρα ἀπὸ παραλληλογράμμου παραλληλόγραμμον ἀφαιρεθῇ ὅμοιόν τε τῷ ὅλῳ καὶ ὁμοίως κείμενον κοινὴν γωνίαν ἔχον αὐτῷ, περὶ τὴν αὐτὴν διάμετρόν ἐστι τῷ ὅλῳ·
したがって、もし平行四辺形から、全体に相似でかつ同様に位置し、それと共通の角をもつ平行四辺形が取り去られるならば、それは全体と同じ対角線の周りにある。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。
§6.prop.27πάντων τῶν παρὰ τὴν αὐτὴν εὐθεῖαν παραβαλλομένων παραλληλογράμμων καὶ ἐλλειπόντων εἴδεσι παραλληλογράμμοις ὁμοίοις τε καὶ ὁμοίως κειμένοις τῷ ἀπὸ τῆς ἡμισείας ἀναγραφομένῳ μέγιστόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ἡμισείας παραβαλλόμενον ὅμοιον ὂν τῷ ἐλλείμματι.
同じ直線に沿ってあてがわれ、半分の長さの上に記述される図形に相似でかつ同様に位置する平行四辺形の形状を欠くすべての平行四辺形のうち、半分の長さの上に沿ってあてがわれ、その欠けている部分に相似であるものが最大である。
ἔστω εὐθεῖα ἡ ΑΒ καὶ τετμήσθω δίχα κατὰ τὸ Γ, καὶ παραβεβλήσθω παρὰ τὴν ΑΒ εὐθεῖαν τὸ ΑΔ παραλληλόγραμμον ἐλλεῖπον εἴδει παραλληλογράμμῳ τῷ ΔΒ ἀναγραφέντι ἀπὸ τῆς ἡμισείας τῆς ΑΒ, τουτέστι τῆς ΓΒ·
直線ΑΒがあるとし、Γにおいて2等分されたとせよ。 そして、ΑΒ直線に沿って平行四辺形ΑΔが、ΑΒの半分、すなわちΓΒの上に記述される平行四辺形ΔΒの形状を欠くようにあてがわれたとせよ。
λέγω, ὅτι πάντων τῶν παρὰ τὴν ΑΒ παραβαλλομένων παραλληλογράμμων καὶ ἐλλειπόντων εἴδεσι ὁμοίοις τε καὶ ὁμοίως κειμένοις τῷ ΔΒ μέγιστόν ἐστι τὸ ΑΔ. παραβεβλήσθω γὰρ παρὰ τὴν ΑΒ εὐθεῖαν τὸ ΑΖ παραλληλόγραμμον ἐλλεῖπον εἴδει παραλληλογράμμῳ τῷ ΖΒ ὁμοίῳ τε καὶ ὁμοίως κειμένῳ τῷ ΔΒ·
私は言う、ΑΒに沿ってあてがわれ、ΔΒに相似でかつ同様に位置する形状を欠くすべての平行四辺形のうち、ΑΔが最大である、と。 なぜなら、 ΑΒ直線に沿って平行四辺形ΑΖが、ΔΒに相似でかつ同様に位置する平行四辺形ΖΒの形状を欠くようにあてがわれたとせよ。
λέγω, ὅτι μεῖζόν ἐστι τὸ ΑΔ τοῦ ΑΖ.
ἐπεὶ γὰρ ὅμοιόν ἐστι τὸ ΔΒ παραλληλόγραμμον τῷ ΖΒ παραλληλογράμμῳ, περὶ τὴν αὐτήν εἰσι διάμετρον.
私は言う、ΑΔはΑΖよりも大きい、と。 なぜなら、平行四辺形ΔΒは平行四辺形ΖΒに相似であるので、それらは同じ対角線の周りにある。
ἤχθω αὐτῶν διάμετρος ἡ ΔΒ, καὶ καταγεγράφθω τὸ σχῆμα.
それらの対角線ΔΒが引かれ、図が描かれたとせよ。
ἐπεὶ οὖν ἴσον ἐστὶ τὸ ΓΖ τῷ ΖΕ, κοινὸν δὲ τὸ ΖΒ, ὅλον ἄρα τὸ ΓΘ ὅλῳ τῷ ΚΕ ἐστιν ἴσον.
したがって、ΓΖはΖΕに等しく、ΖΒは共通であるので、それゆえ全体ΓΘは全体ΚΕに等しい。
ἀλλὰ τὸ ΓΘ τῷ ΓΗ ἐστιν ἴσον, ἐπεὶ καὶ ἡ ΑΓ τῇ ΓΒ. καὶ τὸ ΗΓ ἄρα τῷ ΕΚ ἐστιν ἴσον.
しかし、ΓΘはΓΗに等しい。 なぜならΑΓもΓΒに等しいからである。 それゆえ、ΗΓもΕΚに等しい。
κοινὸν προσκείσθω τὸ ΓΖ·
共通のΓΖが加えられたとせよ。
ὅλον ἄρα τὸ ΑΖ τῷ ΛΜΝ γνώμονί ἐστιν ἴσον·
それゆえ全体ΑΖはグノーモンΛΜΝに等しい。
ὥστε τὸ ΔΒ παραλληλόγραμμον, τουτέστι τὸ ΑΔ, τοῦ ΑΖ παραλληλογράμμου μεῖζόν ἐστιν.
したがって平行四辺形ΔΒ、すなわちΑΔは、平行四辺形ΑΖよりも大きい。
πάντων ἄρα τῶν παρὰ τὴν αὐτὴν εὐθεῖαν παραβαλλομένων παραλληλογράμμων καὶ ἐλλειπόντων εἴδεσι παραλληλογράμμοις ὁμοίοις τε καὶ ὁμοίως κειμένοις τῷ ἀπὸ τῆς ἡμισείας ἀναγραφομένῳ μέγιστόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ἡμισείας παραβληθέν·
したがって、同じ直線に沿ってあてがわれ、半分の長さの上に記述される図形に相似でかつ同様に位置する平行四辺形の形状を欠くすべての平行四辺形のうち、半分の長さの上に沿ってあてがわれたものが最大である。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。