§6.prop.26ἐὰν ἀπὸ παραλληλογράμμου παραλληλόγραμμον ἀφαιρεθῇ ὅμοιόν τε τῷ ὅλῳ καὶ ὁμοίως κείμενον κοινὴν γωνίαν ἔχον αὐτῷ, περὶ τὴν αὐτὴν διάμετρόν ἐστι τῷ ὅλῳ.
만약 평행사변형에서 전체와 닮음이고 닮은 위치에 놓여 있으며 그것과 공통인 각을 가지는 평행사변형을 잘라낸다면, 그것은 전체와 동일한 대각선 상에 있다.
ἀπὸ γὰρ παραλληλογράμμου τοῦ ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμον ἀφῃρήσθω τὸ ΑΖ ὅμοιον τῷ ΑΒΓΔ καὶ ὁμοίως κείμενον κοινὴν γωνίαν ἔχον αὐτῷ τὴν ὑπὸ ΔΑΒ·
왜냐하면 평행사변형 ΑΒΓΔ 에서 ΑΒΓΔ 와 닮음이고 닮은 위치에 놓여 있으며 공통인 각 ΔΑΒ 를 가지는 평행사변형 ΑΖ 가 잘려나갔다고 하자.
λέγω, ὅτι περὶ τὴν αὐτὴν διάμετρόν ἐστι τὸ ΑΒΓΔ τῷ ΑΖ.
μὴ γάρ, ἀλλʼ εἰ δυνατόν, ἔστω διάμετρος ἡ ΑΘΓ, καὶ ἐκβληθεῖσα ἡ ΗΖ διήχθω ἐπὶ τὸ Θ, καὶ ἤχθω διὰ τοῦ Θ ὁποτέρᾳ τῶν ΑΔ, ΒΓ παράλληλος ἡ ΘΚ.
ἐπεὶ οὖν περὶ τὴν αὐτὴν διάμετρόν ἐστι τὸ ΑΒΓΔ τῷ ΚΗ, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΔΑ πρὸς τὴν ΑΒ, οὕτως ἡ ΗΑ πρὸς τὴν ΑΚ. ἔστι δὲ καὶ διὰ τὴν ὁμοιότητα τῶν ΑΒΓΔ, ΕΗ καὶ ὡς ἡ ΔΑ πρὸς τὴν ΑΒ, οὕτως ἡ ΗΑ πρὸς τὴν ΑΕ·
나는 말한다, ΑΒΓΔ 는 ΑΖ 와 동일한 대각선 상에 있다고. 왜냐하면, 그렇지 않다고 가정하고 가능하다면 대각선이 ΑΘΓ 라 하고, 연장된 ΗΖ 가 Θ 까지 그어지고, Θ 를 지나며 ΑΔ, ΒΓ 중 어느 한쪽에 평행한 ΘΚ 가 그어졌다고 하자. 그러므로 ΑΒΓΔ 는 ΚΗ 와 동일한 대각선 상에 있으므로, ΔΑ 가 ΑΒ 에 대함과 같이 그렇게 ΗΑ 가 ΑΚ 에 대한다. 그런데 또한 ΑΒΓΔ, ΕΗ 의 닮음에 의해 ΔΑ 가 ΑΒ 에 대함과 같이 그렇게 ΗΑ 가 ΑΕ 에 대한다.
καὶ ὡς ἄρα ἡ ΗΑ πρὸς τὴν ΑΚ, οὕτως ἡ ΗΑ πρὸς τὴν ΑΕ. ἡ ΗΑ ἄρα πρὸς ἑκατέραν τῶν ΑΚ, ΑΕ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον.
그러므로 또한 ΗΑ 가 ΑΚ 에 대함과 같이 그렇게 ΗΑ 가 ΑΕ 에 대한다. 따라서 ΗΑ 는 ΑΚ, ΑΕ 각각에 대하여 같은 비를 가진다.
ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΕ τῇ ΑΚ ἡ ἐλάττων τῇ μείζονι·
그러므로 더 작은 ΑΕ 가 더 큰 ΑΚ 와 같다.
ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
이는 불가능하다.
οὐκ ἄρα οὔκ ἐστι περὶ τὴν αὐτὴν διάμετρον τὸ ΑΒΓΔ τῷ ΑΖ·
그러므로 ΑΒΓΔ 가 ΑΖ 와 동일한 대각선 상에 있지 않은 것은 아니다.
περὶ τὴν αὐτὴν ἄρα ἐστὶ διάμετρον τὸ ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμον τῷ ΑΖ παραλληλογράμμῳ.
그러므로 평행사변형 ΑΒΓΔ 는 평행사변형 ΑΖ 와 동일한 대각선 상에 있다.
ἐὰν ἄρα ἀπὸ παραλληλογράμμου παραλληλόγραμμον ἀφαιρεθῇ ὅμοιόν τε τῷ ὅλῳ καὶ ὁμοίως κείμενον κοινὴν γωνίαν ἔχον αὐτῷ, περὶ τὴν αὐτὴν διάμετρόν ἐστι τῷ ὅλῳ·
그러므로 만약 평행사변형에서 전체와 닮음이고 닮은 위치에 놓여 있으며 그것과 공통인 각을 가지는 평행사변형을 잘라낸다면, 그것은 전체와 동일한 대각선 상에 있다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 보여야 했던 바이다.
§6.prop.27πάντων τῶν παρὰ τὴν αὐτὴν εὐθεῖαν παραβαλλομένων παραλληλογράμμων καὶ ἐλλειπόντων εἴδεσι παραλληλογράμμοις ὁμοίοις τε καὶ ὁμοίως κειμένοις τῷ ἀπὸ τῆς ἡμισείας ἀναγραφομένῳ μέγιστόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ἡμισείας παραβαλλόμενον ὅμοιον ὂν τῷ ἐλλείμματι.
동일한 직선 옆에 대어 붙여지며 절반의 직선 위에 그려진 도형과 닮음이고 닮은 위치에 놓인 평행사변형의 모양만큼 부족한 모든 평행사변형들 중에서, 절반의 직선 옆에 대어 붙여지며 그 부족한 부분과 닮음인 것이 가장 크다.
ἔστω εὐθεῖα ἡ ΑΒ καὶ τετμήσθω δίχα κατὰ τὸ Γ, καὶ παραβεβλήσθω παρὰ τὴν ΑΒ εὐθεῖαν τὸ ΑΔ παραλληλόγραμμον ἐλλεῖπον εἴδει παραλληλογράμμῳ τῷ ΔΒ ἀναγραφέντι ἀπὸ τῆς ἡμισείας τῆς ΑΒ, τουτέστι τῆς ΓΒ·
직선 ΑΒ 가 있고 Γ 에서 이등분되었다고 하자. 그리고 직선 ΑΒ 옆에 평행사변형 ΑΔ 를, ΑΒ 의 절반 즉 ΓΒ 위에 그려지는 평행사변형 ΔΒ 모양만큼 부족하도록 대어 붙였다고 하자.
λέγω, ὅτι πάντων τῶν παρὰ τὴν ΑΒ παραβαλλομένων παραλληλογράμμων καὶ ἐλλειπόντων εἴδεσι ὁμοίοις τε καὶ ὁμοίως κειμένοις τῷ ΔΒ μέγιστόν ἐστι τὸ ΑΔ. παραβεβλήσθω γὰρ παρὰ τὴν ΑΒ εὐθεῖαν τὸ ΑΖ παραλληλόγραμμον ἐλλεῖπον εἴδει παραλληλογράμμῳ τῷ ΖΒ ὁμοίῳ τε καὶ ὁμοίως κειμένῳ τῷ ΔΒ·
나는 말한다, ΑΒ 옆에 대어 붙여지며 ΔΒ 와 닮음이고 닮은 위치에 놓인 모양만큼 부족한 모든 평행사변형들 중에서 ΑΔ 가 가장 크다고. 왜냐하면, 직선 ΑΒ 옆에 평행사변형 ΑΖ 를, ΔΒ 와 닮음이고 닮은 위치에 놓인 평행사변형 ΖΒ 모양만큼 부족하도록 대어 붙였다고 하자.
λέγω, ὅτι μεῖζόν ἐστι τὸ ΑΔ τοῦ ΑΖ.
ἐπεὶ γὰρ ὅμοιόν ἐστι τὸ ΔΒ παραλληλόγραμμον τῷ ΖΒ παραλληλογράμμῳ, περὶ τὴν αὐτήν εἰσι διάμετρον.
나는 말한다, ΑΔ 가 ΑΖ 보다 크다고. 왜냐하면 평행사변형 ΔΒ 는 평행사변형 ΖΒ 와 닮음이므로, 그것들은 동일한 대각선 상에 있다.
ἤχθω αὐτῶν διάμετρος ἡ ΔΒ, καὶ καταγεγράφθω τὸ σχῆμα.
그것들의 대각선 ΔΒ 를 긋고, 그림을 그리자.
ἐπεὶ οὖν ἴσον ἐστὶ τὸ ΓΖ τῷ ΖΕ, κοινὸν δὲ τὸ ΖΒ, ὅλον ἄρα τὸ ΓΘ ὅλῳ τῷ ΚΕ ἐστιν ἴσον.
그러므로 ΓΖ 는 ΖΕ 와 같고, ΖΒ 는 공통이므로, 전체 ΓΘ 는 전체 ΚΕ 와 같다.
ἀλλὰ τὸ ΓΘ τῷ ΓΗ ἐστιν ἴσον, ἐπεὶ καὶ ἡ ΑΓ τῇ ΓΒ. καὶ τὸ ΗΓ ἄρα τῷ ΕΚ ἐστιν ἴσον.
그런데 ΓΘ 는 ΓΗ 와 같다. ΑΓ 가 ΓΒ 와 같기 때문이다. 그러므로 ΗΓ 도 ΕΚ 와 같다.
κοινὸν προσκείσθω τὸ ΓΖ·
공통인 ΓΖ 를 더하자.
ὅλον ἄρα τὸ ΑΖ τῷ ΛΜΝ γνώμονί ἐστιν ἴσον·
그러면 전체 ΑΖ 는 그노몬 ΛΜΝ 과 같다.
ὥστε τὸ ΔΒ παραλληλόγραμμον, τουτέστι τὸ ΑΔ, τοῦ ΑΖ παραλληλογράμμου μεῖζόν ἐστιν.
따라서 평행사변형 ΔΒ, 즉 ΑΔ 는 평행사변형 ΑΖ 보다 더 크다.
πάντων ἄρα τῶν παρὰ τὴν αὐτὴν εὐθεῖαν παραβαλλομένων παραλληλογράμμων καὶ ἐλλειπόντων εἴδεσι παραλληλογράμμοις ὁμοίοις τε καὶ ὁμοίως κειμένοις τῷ ἀπὸ τῆς ἡμισείας ἀναγραφομένῳ μέγιστόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ἡμισείας παραβληθέν·
그러므로 동일한 직선 옆에 대어 붙여지며 절반의 직선 위에 그려진 도형과 닮음이고 닮은 위치에 놓인 평행사변형의 모양만큼 부족한 모든 평행사변형들 중에서, 절반의 직선 옆에 대어 붙여진 것이 가장 크다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 보여야 했던 바이다.