§6.prop.28παρὰ τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν τῷ δοθέντι εὐθυγράμμῳ ἴσον παραλληλόγραμμον παραβαλεῖν ἐλλεῖπον εἴδει παραλληλογράμμῳ ὁμοίῳ τῷ δοθέντι·
与えられた直線に沿って、与えられた直線形に等しい平行四辺形を、与えられた図形に相似な平行四辺形の形状を欠くようにあてがうこと。
δεῖ δὲ τὸ διδόμενον εὐθύγραμμον μὴ μεῖζον εἶναι τοῦ ἀπὸ τῆς ἡμισείας ἀναγραφομένου ὁμοίου τῷ ἐλλείμματι.
ただし、与えられた直線形は、半分の長さの上に記述される欠けている部分に相似な図形よりも大きくあってはならない。
ἔστω ἡ μὲν δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ ΑΒ, τὸ δὲ δοθὲν εὐθύγραμμον, ᾧ δεῖ ἴσον παρὰ τὴν ΑΒ παραβαλεῖν, τὸ Γ μὴ μεῖζον τοῦ ἀπὸ τῆς ἡμισείας τῆς ΑΒ ἀναγραφομένου ὁμοίου τῷ ἐλλείμματι, ᾧ δὲ δεῖ ὅμοιον ἐλλείπειν, τὸ Δ·
与えられた直線がΑΒ、与えられた直線形（ΑΒに沿ってそれに等しくあてがうべきもの）がΓとし、これはΑΒの半分の上に記述される欠けている部分に相似な図形よりも大きくないものとする。 また、それに相似に欠けるべき図形をΔとする。
δεῖ δὴ παρὰ τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν τὴν ΑΒ τῷ δοθέντι εὐθυγράμμῳ τῷ Γ ἴσον παραλληλόγραμμον παραβαλεῖν ἐλλεῖπον εἴδει παραλληλογράμμῳ ὁμοίῳ ὄντι τῷ Δ.
τετμήσθω ἡ ΑΒ δίχα κατὰ τὸ Ε σημεῖον, καὶ ἀναγεγράφθω ἀπὸ τῆς ΕΒ τῷ Δ ὅμοιον καὶ ὁμοίως κείμενον τὸ ΕΒΖΗ, καὶ συμπεπληρώσθω τὸ ΑΗ παραλληλόγραμμον.
このとき、与えられた直線ΑΒに沿って、与えられた直線形Γに等しい平行四辺形を、Δに相似な平行四辺形の形状を欠くようにあてがわねばならない。 ΑΒが点Εにおいて二等分されたとせよ。 そして ΕΒから、Δに相似でかつ同様に位置するΕΒΖΗが記述され、平行四辺形ΑΗが補い完成されたとせよ。
εἰ μὲν οὖν ἴσον ἐστὶ τὸ ΑΗ τῷ Γ, γεγονὸς ἂν εἴη τὸ ἐπιταχθέν·
もしそれゆえΑΗがΓに等しいならば、命じられたことはなされたことになるであろう。
παραβέβληται γὰρ παρὰ τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν τὴν ΑΒ τῷ δοθέντι εὐθυγράμμῳ τῷ Γ ἴσον παραλληλόγραμμον τὸ ΑΗ ἐλλεῖπον εἴδει παραλληλογράμμῳ τῷ ΗΒ ὁμοίῳ ὄντι τῷ Δ. εἰ δὲ οὔ, μεῖζον ἔστω τὸ ΘΕ τοῦ Γ. ἴσον δὲ τὸ ΘΕ τῷ ΗΒ·
なぜなら、与えられた直線 ΑΒに沿って、与えられた直線形Γに等しい平行四辺形ΑΗが、Δに相似である平行四辺形ΗΒの形状を欠くようにあてがわれているからである。 もしそうでなければ、ΘΕはΓよりも大きいとせよ。 検算すれば、ΘΕはΗΒに等しい。
μεῖζον ἄρα καὶ τὸ ΗΒ τοῦ Γ. ᾧ δὴ μεῖζόν ἐστι τὸ ΗΒ τοῦ Γ, ταύτῃ τῇ ὑπεροχῇ ἴσον, τῷ δὲ Δ ὅμοιον καὶ ὁμοίως κείμενον τὸ αὐτὸ συνεστάτω τὸ ΚΛΜΝ. ἀλλὰ τὸ Δ τῷ ΗΒ ὅμοιον·
それゆえΗΒもΓよりも大きい。 そこで、ΗΒがΓよりも大きいその超過分に等しく、かつΔに相似で同様に位置する、同じような平行四辺形ΚΛΜΝが構成されたとせよ。 しかし、ΔはΗΒに相似である。
καὶ τὸ ΚΜ ἄρα τῷ ΗΒ ἐστιν ὅμοιον.
それゆえΚΜもΗΒに相似である。
ἔστω οὖν ὁμόλογος ἡ μὲν ΚΛ τῇ ΗΕ, ἡ δὲ ΛΜ τῇ ΗΖ. καὶ ἐπεὶ ἴσον ἐστὶ τὸ ΗΒ τοῖς Γ, ΚΜ, μεῖζον ἄρα ἐστὶ τὸ ΗΒ τοῦ ΚΜ·
そこで、ΚΛはΗΕに、ΛΜはΗΖに対応するものとせよ。 そして、ΗΒはΓとΚΜとの和に等しいので、それゆえΗΒはΚΜよりも大きい。
μείζων ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ μὲν ΗΕ τῆς ΚΛ, ἡ δὲ ΗΖ τῆς ΛΜ. κείσθω τῇ μὲν ΚΛ ἴση ἡ ΗΞ, τῇ δὲ ΛΜ ἴση ἡ ΗΟ, καὶ συμπεπληρώσθω τὸ ΞΗΟΠ παραλληλόγραμμον·
それゆえまた、 ΗΕはΚΛよりも大きく、ΗΖはΛΜよりも大きい。 ΚΛに等しいΗΞ、ΛΜに等しいΗΟが置かれ、平行四辺形ΞΗΟΠが補い完成されたとせよ。
ἴσον ἄρα καὶ ὅμοιόν ἐστι τῷ ΚΜ.
それゆえこれはΚΜに等しくかつ相似である。
καὶ τὸ ΗΠ ἄρα τῷ ΗΒ ὅμοιόν ἐστιν·
したがってまた、ΗΠはΗΒに相似である。
περὶ τὴν αὐτὴν ἄρα διάμετρόν ἐστι τὸ ΗΠ τῷ ΗΒ. ἔστω αὐτῶν διάμετρος ἡ ΗΠΒ, καὶ καταγεγράφθω τὸ σχῆμα.
それゆえまた同じ対角線の周りに、ΗΠはΗΒとともにある。 それらの対角線をΗΠΒとし、図が描かれたとせよ。
ἐπεὶ οὖν ἴσον ἐστὶ τὸ ΒΗ τοῖς Γ, ΚΜ, ὧν τὸ ΗΠ τῷ ΚΜ ἐστιν ἴσον, λοιπὸς ἄρα ὁ ΥΧΦ γνώμων λοιπῷ τῷ Γ ἴσος ἐστίν.
したがって、ΒΗはΓとΚΜとの和に等しく、そのうちΗΠはΚΜに等しいので、それゆえ残りのグノーモンΥΧΦは残りのΓに等しい。
καὶ ἐπεὶ ἴσον ἐστὶ τὸ ΟΡ τῷ ΞΣ, κοινὸν προσκείσθω τὸ ΠΒ·
そして、ΟΡはΞΣに等しいので、共通の ΠΒが加えられたとせよ。
ὅλον ἄρα τὸ ΟΒ ὅλῳ τῷ ΞΒ ἴσον ἐστίν.
それゆえ全体ΟΒは全体ΞΒに等しい。
ἀλλὰ τὸ ΞΒ τῷ ΤΕ ἐστιν ἴσον, ἐπεὶ καὶ πλευρὰ ἡ ΑΕ πλευρᾷ τῇ ΕΒ ἐστιν ἴση·
しかし、ΞΒはΤΕに等しい。 なぜなら辺ΑΕも辺ΕΒに等しいからである。
καὶ τὸ ΤΕ ἄρα τῷ ΟΒ ἐστιν ἴσον.
それゆえΤΕもΟΒに等しい。
κοινὸν προσκείσθω τὸ ΞΣ·
共通のΞΣが加えられたとせよ。
ὅλον ἄρα τὸ ΤΣ ὅλῳ τῷ ΦΧΥ γνώμονί ἐστιν ἴσον.
それゆえ全体ΤΣは全体グノーモンΦΧΥに等しい。
ἀλλʼ ὁ ΦΧΥ γνώμων τῷ Γ ἐδείχθη ἴσος·
しかしグノーモンΦΧΥはΓに等しいことが示された。
καὶ τὸ ΤΣ ἄρα τῷ Γ ἐστιν ἴσον.
それゆえΤΣもΓに等しい。
παρὰ τὴν δοθεῖσαν ἄρα εὐθεῖαν τὴν ΑΒ τῷ δοθέντι εὐθυγράμμῳ τῷ Γ ἴσον παραλληλόγραμμον παραβέβληται τὸ ΣΤ ἐλλεῖπον εἴδει παραλληλογράμμῳ τῷ ΠΒ ὁμοίῳ ὄντι τῷ Δ·
したがって、与えられた直線ΑΒに沿って、与えられた直線形Γに等しい平行四辺形ΣΤが、Δに相似な平行四辺形ΠΒの形状を欠くようにあてがわれた。
ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
これがなすべきことであった。