§6.prop.25τῷ δοθέντι εὐθυγράμμῳ ὅμοιον καὶ ἄλλῳ τῷ δοθέντι ἴσον τὸ αὐτὸ συστήσασθαι.
与えられた直線図形に相似で、かつ別の与えられた直線図形に等しい、同一の図形を構成すること。
ἔστω τὸ μὲν δοθὲν εὐθύγραμμον, ᾧ δεῖ ὅμοιον συστήσασθαι, τὸ ΑΒΓ, ᾧ δὲ δεῖ ἴσον, τὸ Δ·
与えられた直線図形であってそれに相似なものを構成せねばならないものをΑΒΓ、等しくせねばならないものをΔとする。
δεῖ δὴ τῷ μὲν ΑΒΓ ὅμοιον, τῷ δὲ Δ ἴσον τὸ αὐτὸ συστήσασθαι.
そこで、ΑΒΓに相似で、Δに等しい、同一の図形を構成しなければならない。
παραβεβλήσθω γὰρ παρὰ μὲν τὴν ΒΓ τῷ ΑΒΓ τριγώνῳ ἴσον παραλληλόγραμμον τὸ ΒΕ, παρὰ δὲ τὴν ΓΕ τῷ Δ ἴσον παραλληλόγραμμον τὸ ΓΜ ἐν γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΖΓΕ, ἥ ἐστιν ἴση τῇ ὑπὸ ΓΒΛ. ἐπʼ εὐθείας ἄρα ἐστὶν ἡ μὲν ΒΓ τῇ ΓΖ, ἡ δὲ ΛΕ τῇ ΕΜ. καὶ εἰλήφθω τῶν ΒΓ, ΓΖ μέση ἀνάλογον ἡ ΗΘ, καὶ ἀναγεγράφθω ἀπὸ τῆς ΗΘ τῷ ΑΒΓ ὅμοιόν τε καὶ ὁμοίως κείμενον τὸ ΚΗΘ.
καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΗΘ, οὕτως ἡ ΗΘ πρὸς τὴν ΓΖ, ἐὰν δὲ τρεῖς εὐθεῖαι ἀνάλογον ὦσιν, ἔστιν ὡς ἡ πρώτη πρὸς τὴν τρίτην, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς πρώτης εἶδος πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας τὸ ὅμοιον καὶ ὁμοίως ἀναγραφόμενον, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΓΖ, οὕτως τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΚΗΘ τρίγωνον.
なぜなら、ΒΓに沿って三角形ΑΒΓに等しい平行四辺形ΒΕをあてがい、またΓΕに沿ってΔに等しい平行四辺形ΓΜを、角ΓΒΛに等しい角ΖΓΕのもとであてがえ。 したがって、ΒΓは ΓΖと一直線上にあり、ΛΕはΕΜと一直線上にある。 そして、ΒΓ、ΓΖの比例中項ΗΘを取り、ΗΘの上にΑΒΓと相似でかつ同様に位置する図形ΚΗΘを記述せよ。 そして、ΒΓのΗΘに対する比のように、そのようにΗΘのΓΖに対する比であり、かつもし3つの直線が比例するならば、第1のものの第3のものに対する比のように、そのように第1のものの上に記述される図形（の、第2のものの上に相似にかつ同様に記述される図形に対する比）となるので、したがって、ΒΓのΓΖに対する比のように、そのように三角形ΑΒΓの三角形ΚΗΘに対する比である。
ἀλλὰ καὶ ὡς ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΓΖ, οὕτως τὸ ΒΕ παραλληλόγραμμον πρὸς τὸ ΕΖ παραλληλόγραμμον.
しかしまた、ΒΓのΓΖに対する比のように、そのように平行四辺形ΒΕの平行四辺形ΕΖに対する比である。
καὶ ὡς ἄρα τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΚΗΘ τρίγωνον, οὕτως τὸ ΒΕ παραλληλόγραμμον πρὸς τὸ ΕΖ παραλληλόγραμμον·
したがって、三角形ΑΒΓの三角形ΚΗΘに対する比のように、そのように平行四辺形ΒΕの平行四辺形ΕΖに対する比である。
ἐναλλὰξ ἄρα ὡς τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΒΕ παραλληλόγραμμον, οὕτως τὸ ΚΗΘ τρίγωνον πρὸς τὸ ΕΖ παραλληλόγραμμον.
したがって、互い違いの比により、三角形ΑΒΓの平行四辺形ΒΕに対する比のように、そのように三角形ΚΗΘの平行四辺形ΕΖに対する比である。
ἴσον δὲ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΒΕ παραλληλογράμμῳ·
しかし、三角形ΑΒΓは平行四辺形ΒΕに等しい。
ἴσον ἄρα καὶ τὸ ΚΗΘ τρίγωνον τῷ ΕΖ παραλληλογράμμῳ.
したがって、三角形ΚΗΘも平行四辺形ΕΖに等しい。
ἀλλὰ τὸ ΕΖ παραλληλόγραμμον τῷ Δ ἐστιν ἴσον·
しかし、平行四辺形ΕΖはΔに等しい。
καὶ τὸ ΚΗΘ ἄρα τῷ Δ ἐστιν ἴσον.
したがって、ΚΗΘもΔに等しい。
ἔστι δὲ τὸ ΚΗΘ καὶ τῷ ΑΒΓ ὅμοιον.
そして、ΚΗΘはΑΒΓとも相似である。
τῷ ἄρα δοθέντι εὐθυγράμμῳ τῷ ΑΒΓ ὅμοιον καὶ ἄλλῳ τῷ δοθέντι τῷ Δ ἴσον τὸ αὐτὸ συνέσταται τὸ ΚΗΘ·
したがって、与えられた直線図形ΑΒΓに相似で、かつ別の与えられた図形Δに等しい、同一の図形ΚΗΘが構成された。
ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
これがなすべきことであった。