§6.prop.22ἐὰν τέσσαρες εὐθεῖαι ἀνάλογον ὦσιν, καὶ τὰ ἀπʼ αὐτῶν εὐθύγραμμα ὅμοιά τε καὶ ὁμοίως ἀναγεγραμμένα ἀνάλογον ἔσται·
もし4つの直線が比例するならば、それらの上に描かれた相似かつ同様に描かれた直線図形も比例するであろう。
κἂν τὰ ἀπʼ αὐτῶν εὐθύγραμμα ὅμοιά τε καὶ ὁμοίως ἀναγεγραμμένα ἀνάλογον ᾖ, καὶ αὐταὶ αἱ εὐθεῖαι ἀνάλογον ἔσονται.
また、もしそれらの上に描かれた相似かつ同様に描かれた直線図形が比例するならば、それらの直線それ自体も比例するであろう。
ἔστωσαν τέσσαρες εὐθεῖαι ἀνάλογον αἱ ΑΒ, ΓΔ, ΕΖ, ΗΘ, ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΓΔ, οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΗΘ, καὶ ἀναγεγράφθωσαν ἀπὸ μὲν τῶν ΑΒ, ΓΔ ὅμοιά τε καὶ ὁμοίως κείμενα εὐθύγραμμα τὰ ΚΑΒ, ΛΓΔ, ἀπὸ δὲ τῶν ΕΖ, ΗΘ ὅμοιά τε καὶ ὁμοίως κείμενα εὐθύγραμμα τὰ ΜΖ, ΝΘ·
4つの比例する直線 AB, ΓΔ, EZ, HΘ が、AB の ΓΔ に対する比が、EZ の HΘ に対する比と同じであるよう（すなわち AB が ΓΔ に対するよう、そのように EZ が HΘ に対するよう）にあり、AB, ΓΔ の上には相似かつ同様に置かれた直線図形 KAB, ΛΓΔ が描かれ、EZ, HΘ の上には相似かつ同様に置かれた直線図形 MZ, NΘ が描かれたとせよ。
λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς τὸ ΚΑΒ πρὸς τὸ ΛΓΔ, οὕτως τὸ ΜΖ πρὸς τὸ ΝΘ.
εἰλήφθω γὰρ τῶν μὲν ΑΒ, ΓΔ τρίτη ἀνάλογον ἡ Ξ, τῶν δὲ ΕΖ, ΗΘ τρίτη ἀνάλογον ἡ Ο. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς μὲν ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΓΔ, οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΗΘ, ὡς δὲ ἡ ΓΔ πρὸς τὴν Ξ, οὕτως ἡ ΗΘ πρὸς τὴν Ο, διʼ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν Ξ, οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς τὴν Ο. ἀλλʼ ὡς μὲν ἡ ΑΒ πρὸς τὴν Ξ, οὕτως τὸ ΚΑΒ πρὸς τὸ ΛΓΔ, ὡς δὲ ἡ ΕΖ πρὸς τὴν Ο, οὕτως τὸ ΜΖ πρὸς τὸ ΝΘ·
私は、KAB の ΛΓΔ に対する比が、MZ の NΘ に対する比と同じである、と主張する。 なぜなら、AB, ΓΔ の第三比例項を Ξ とし、EZ, HΘ の第三比例項を O とせよ。 そして、AB が ΓΔ に対するよう、そのように EZ が HΘ に対し、また ΓΔ が Ξ に対するよう、そのように HΘ が O に対するので、等比の理により、AB が Ξ に対するよう、そのように EZ は O に対する。 しかし、AB が Ξ に対するよう、そのように KAB は ΛΓΔ に対し、EZ が O に対するよう、そのように MZ は NΘ に対する。
καὶ ὡς ἄρα τὸ ΚΑΒ πρὸς τὸ ΛΓΔ, οὕτως τὸ ΜΖ πρὸς τὸ ΝΘ.
ἀλλὰ δὴ ἔστω ὡς τὸ ΚΑΒ πρὸς τὸ ΛΓΔ, οὕτως τὸ ΜΖ πρὸς τὸ ΝΘ·
したがって、KAB が ΛΓΔ に対するよう、そのように MZ は NΘ に対する。 他方、KAB が ΛΓΔ に対するよう、そのように MZ は NΘ に対するとせよ。
λέγω, ὅτι ἐστὶ καὶ ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΓΔ, οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΗΘ. εἰ γὰρ μή ἐστιν, ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΓΔ, οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΗΘ, ἔστω ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΓΔ, οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΠΡ, καὶ ἀναγεγράφθω ἀπὸ τῆς ΠΡ ὁποτέρῳ τῶν ΜΖ, ΝΘ ὅμοιόν τε καὶ ὁμοίως κείμενον εὐθύγραμμον τὸ ΣΡ.
ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΓΔ, οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΠΡ, καὶ ἀναγέγραπται ἀπὸ μὲν τῶν ΑΒ, ΓΔ ὅμοιά τε καὶ ὁμοίως κείμενα τὰ ΚΑΒ, ΛΓΔ, ἀπὸ δὲ τῶν ΕΖ, ΠΡ ὅμοιά τε καὶ ὁμοίως κείμενα τὰ ΜΖ, ΣΡ, ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ΚΑΒ πρὸς τὸ ΛΓΔ, οὕτως τὸ ΜΖ πρὸς τὸ ΣΡ. ὑπόκειται δὲ καὶ ὡς τὸ ΚΑΒ πρὸς τὸ ΛΓΔ, οὕτως τὸ ΜΖ πρὸς τὸ ΝΘ·
私は、AB が ΓΔ に対するよう、そのように EZ は HΘ に対する、と主張する。 なぜなら、もし AB が ΓΔ に対するよう、そのように EZ が HΘ に対するのでないならば、AB が ΓΔ に対するよう、そのように EZ は ΠP に対するとし、 ΠP の上に、MZ, NΘ のいずれか一方と相似かつ同様に置かれた直線図形 ΣP が描かれたとせよ。 それゆえ、AB が ΓΔ に対するよう、そのように EZ は ΠP に対し、AB, ΓΔ の上には相似かつ同様に置かれた KAB, ΛΓΔ が描かれ、 EZ, ΠP の上には相似かつ同様に置かれた MZ, ΣP が描かれたので、KAB が ΛΓΔ に対するよう、そのように MZ は ΣP に対する。 しかし、KAB が ΛΓΔ に対するよう、そのように MZ は NΘ に対するとも仮定されている。
καὶ ὡς ἄρα τὸ ΜΖ πρὸς τὸ ΣΡ, οὕτως τὸ ΜΖ πρὸς τὸ ΝΘ. τὸ ΜΖ ἄρα πρὸς ἑκάτερον τῶν ΝΘ, ΣΡ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον·
したがって、MZ が ΣP に対するよう、そのように MZ は NΘ に対する。 したがって MZ は NΘ, ΣP のそれぞれに対して同じ比を持つ。
ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΝΘ τῷ ΣΡ. ἔστι δὲ αὐτῷ καὶ ὅμοιον καὶ ὁμοίως κείμενον·
したがって、NΘ は ΣP と等しい。 またそれはそれと相似でかつ同様に置かれている。
ἴση ἄρα ἡ ΗΘ τῇ ΠΡ. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΓΔ, οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΠΡ, ἴση δὲ ἡ ΠΡ τῇ ΗΘ, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΓΔ, οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΗΘ.
ἐὰν ἄρα τέσσαρες εὐθεῖαι ἀνάλογον ὦσιν, καὶ τὰ ἀπʼ αὐτῶν εὐθύγραμμα ὅμοιά τε καὶ ὁμοίως ἀναγεγραμμένα ἀνάλογον ἔσται·
したがって、HΘ は ΠP と等しい。 そして、AB が ΓΔ に対するよう、そのように EZ は ΠP に対し、ΠP は HΘ と等しいので、したがって、AB が ΓΔ に対するよう、そのように EZ は HΘ に対する。 したがって、もし4つの直線が比例するならば、それらの上に描かれた相似かつ同様に描かれた直線図形も比例するであろう。
κἂν τὰ ἀπʼ αὐτῶν εὐθύγραμμα ὅμοιά τε καὶ ὁμοίως ἀναγεγραμμένα ἀνάλογον ᾖ, καὶ αὐταὶ αἱ εὐθεῖαι ἀνάλογον ἔσονται·
また、もしそれらの上に描かれた相似かつ同様に描かれた直線図形が比例するならば、それらの直線それ自体も比例するであろう。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。