§6.prop.22ἐὰν τέσσαρες εὐθεῖαι ἀνάλογον ὦσιν, καὶ τὰ ἀπʼ αὐτῶν εὐθύγραμμα ὅμοιά τε καὶ ὁμοίως ἀναγεγραμμένα ἀνάλογον ἔσται·
만약 네 직선이 비례한다면, 그 직선들 위에 그려진 닮았고 또한 비슷하게 그려진 직선도형들도 비례할 것이다.
κἂν τὰ ἀπʼ αὐτῶν εὐθύγραμμα ὅμοιά τε καὶ ὁμοίως ἀναγεγραμμένα ἀνάλογον ᾖ, καὶ αὐταὶ αἱ εὐθεῖαι ἀνάλογον ἔσονται.
그리고 만약 그 직선들 위에 그려진 닮았고 또한 비슷하게 그려진 직선도형들이 비례한다면, 그 직선들 자체도 비례할 것이다.
ἔστωσαν τέσσαρες εὐθεῖαι ἀνάλογον αἱ ΑΒ, ΓΔ, ΕΖ, ΗΘ, ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΓΔ, οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΗΘ, καὶ ἀναγεγράφθωσαν ἀπὸ μὲν τῶν ΑΒ, ΓΔ ὅμοιά τε καὶ ὁμοίως κείμενα εὐθύγραμμα τὰ ΚΑΒ, ΛΓΔ, ἀπὸ δὲ τῶν ΕΖ, ΗΘ ὅμοιά τε καὶ ὁμοίως κείμενα εὐθύγραμμα τὰ ΜΖ, ΝΘ·
네 개의 비례하는 직선 AB, ΓΔ, EZ, HΘ가 있어서, AB가 ΓΔ에 대함과 같이 그렇게 EZ가 HΘ에 대한다고 하고, AB, ΓΔ 위에는 닮았고 또한 비슷하게 놓인 직선도형 KAB, ΛΓΔ가 그려지고, EZ, HΘ 위에는 닮았고 또한 비슷하게 놓인 직선도형 MZ, NΘ가 그려졌다고 하자.
λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς τὸ ΚΑΒ πρὸς τὸ ΛΓΔ, οὕτως τὸ ΜΖ πρὸς τὸ ΝΘ.
εἰλήφθω γὰρ τῶν μὲν ΑΒ, ΓΔ τρίτη ἀνάλογον ἡ Ξ, τῶν δὲ ΕΖ, ΗΘ τρίτη ἀνάλογον ἡ Ο. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς μὲν ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΓΔ, οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΗΘ, ὡς δὲ ἡ ΓΔ πρὸς τὴν Ξ, οὕτως ἡ ΗΘ πρὸς τὴν Ο, διʼ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν Ξ, οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς τὴν Ο. ἀλλʼ ὡς μὲν ἡ ΑΒ πρὸς τὴν Ξ, οὕτως τὸ ΚΑΒ πρὸς τὸ ΛΓΔ, ὡς δὲ ἡ ΕΖ πρὸς τὴν Ο, οὕτως τὸ ΜΖ πρὸς τὸ ΝΘ· καὶ ὡς ἄρα τὸ ΚΑΒ πρὸς τὸ ΛΓΔ, οὕτως τὸ ΜΖ πρὸς τὸ ΝΘ.
ἀλλὰ δὴ ἔστω ὡς τὸ ΚΑΒ πρὸς τὸ ΛΓΔ, οὕτως τὸ ΜΖ πρὸς τὸ ΝΘ·
나는 KAB가 ΛΓΔ에 대함과 같이 그렇게 MZ가 NΘ에 대한다고 주장한다. 왜냐하면 AB, ΓΔ의 제3비례항을 Ξ라 하고, EZ, HΘ의 제3비례항을 O라 하자. 그리고 AB가 ΓΔ에 대함과 같이 그렇게 EZ가 HΘ에 대하고, ΓΔ가 Ξ에 대함과 같이 그렇게 HΘ가 O에 대하므로, 등비의 리에 의해, AB가 Ξ에 대함과 같이 그렇게 EZ가 O에 대한다. 그런데 AB가 Ξ에 대함과 같이 그렇게 KAB가 ΛΓΔ에 대하고, EZ가 O에 대함과 같이 그렇게 MZ가 NΘ에 대하므로, KAB가 ΛΓΔ에 대함과 같이 그렇게 MZ가 NΘ에 대한다. 한편, KAB가 ΛΓΔ에 대함과 같이 그렇게 MZ가 NΘ에 대한다고 하자.
λέγω, ὅτι ἐστὶ καὶ ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΓΔ, οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΗΘ. εἰ γὰρ μή ἐστιν, ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΓΔ, οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΗΘ, ἔστω ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΓΔ, οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΠΡ, καὶ ἀναγεγράφθω ἀπὸ τῆς ΠΡ ὁποτέρῳ τῶν ΜΖ, ΝΘ ὅμοιόν τε καὶ ὁμοίως κείμενον εὐθύγραμμον τὸ ΣΡ.
ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΓΔ, οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΠΡ, καὶ ἀναγέγραπται ἀπὸ μὲν τῶν ΑΒ, ΓΔ ὅμοιά τε καὶ ὁμοίως κείμενα τὰ ΚΑΒ, ΛΓΔ, ἀπὸ δὲ τῶν ΕΖ, ΠΡ ὅμοιά τε καὶ ὁμοίως κείμενα τὰ ΜΖ, ΣΡ, ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ΚΑΒ πρὸς τὸ ΛΓΔ, οὕτως τὸ ΜΖ πρὸς τὸ ΣΡ. ὑπόκειται δὲ καὶ ὡς τὸ ΚΑΒ πρὸς τὸ ΛΓΔ, οὕτως τὸ ΜΖ πρὸς τὸ ΝΘ·
나는 AB가 ΓΔ에 대함과 같이 그렇게 EZ가 HΘ에 대한다고 주장한다. 왜냐하면 만약 AB가 ΓΔ에 대함과 같이 그렇게 EZ가 HΘ에 대하지 않는다면, AB가 ΓΔ에 대함과 같이 그렇게 EZ가 ΠP에 대한다고 하고, ΠP 위에 MZ, NΘ 중 어느 하나와 닮았고 또한 비슷하게 놓인 직선도형 ΣP를 그리자. 그러므로 AB가 ΓΔ에 대함과 같이 그렇게 EZ가 ΠP에 대하고, AB, ΓΔ 위에는 닮았고 또한 비슷하게 놓인 KAB, ΛΓΔ가 그려졌으며, EZ, ΠP 위에는 닮았고 또한 비슷하게 놓인 MZ, ΣP가 그려졌으므로, KAB가 ΛΓΔ에 대함과 같이 그렇게 MZ가 ΣP에 대한다. 그런데 KAB가 ΛΓΔ에 대함과 같이 그렇게 MZ가 NΘ에 대한다고도 가정되었다.
καὶ ὡς ἄρα τὸ ΜΖ πρὸς τὸ ΣΡ, οὕτως τὸ ΜΖ πρὸς τὸ ΝΘ. τὸ ΜΖ ἄρα πρὸς ἑκάτερον τῶν ΝΘ, ΣΡ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον·
그러므로 MZ가 ΣP에 대함과 같이 그렇게 MZ가 NΘ에 대한다. 그러므로 MZ는 NΘ, ΣP 각각에 대하여 같은 비를 가진다.
ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΝΘ τῷ ΣΡ. ἔστι δὲ αὐτῷ καὶ ὅμοιον καὶ ὁμοίως κείμενον·
그러므로 NΘ는 ΣP와 같다. 그런데 그것은 그것과 닮았고 또한 비슷하게 놓여 있다.
ἴση ἄρα ἡ ΗΘ τῇ ΠΡ. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΓΔ, οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΠΡ, ἴση δὲ ἡ ΠΡ τῇ ΗΘ, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΓΔ, οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΗΘ.
ἐὰν ἄρα τέσσαρες εὐθεῖαι ἀνάλογον ὦσιν, καὶ τὰ ἀπʼ αὐτῶν εὐθύγραμμα ὅμοιά τε καὶ ὁμοίως ἀναγεγραμμένα ἀνάλογον ἔσται·
그러므로 HΘ는 ΠP와 같다. 그리고 AB가 ΓΔ에 대함과 같이 그렇게 EZ가 ΠP에 대하고, ΠP는 HΘ와 같으므로, 그러므로 AB가 ΓΔ에 대함과 같이 그렇게 EZ가 HΘ에 대한다. 그러므로 만약 네 직선이 비례한다면, 그 직선들 위에 그려진 닮았고 또한 비슷하게 그려진 직선도형들도 비례할 것이다.
κἂν τὰ ἀπʼ αὐτῶν εὐθύγραμμα ὅμοιά τε καὶ ὁμοίως ἀναγεγραμμένα ἀνάλογον ᾖ, καὶ αὐταὶ αἱ εὐθεῖαι ἀνάλογον ἔσονται·
그리고 만약 그 직선들 위에 그려진 닮았고 또한 비슷하게 그려진 직선도형들이 비례한다면, 그 직선들 자체도 비례할 것이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 바이다.