§6.prop.23τὰ ἰσογώνια παραλληλόγραμμα πρὸς ἄλληλα λόγον ἔχει τὸν συγκείμενον ἐκ τῶν πλευρῶν.
等角な平行四辺形は、互いに対して、辺の比から合成される比を有する。
ἔστω ἰσογώνια παραλληλόγραμμα τὰ ΑΓ, ΓΖ ἴσην ἔχοντα τὴν ὑπὸ ΒΓΔ γωνίαν τῇ ὑπὸ ΕΓΗ· λέγω, ὅτι τὸ ΑΓ παραλληλόγραμμον πρὸς τὸ ΓΖ παραλληλόγραμμον λόγον ἔχει τὸν συγκείμενον ἐκ τῶν πλευρῶν. κείσθω γὰρ ὥστε ἐπʼ εὐθείας εἶναι τὴν ΒΓ τῇ ΓΗ·
等角な平行四辺形 AΓ, ΓZ があって、角 BΓΔ が角 EΓH に等しいとせよ。私は、平行四辺形 AΓ は平行四辺形 ΓZ に対し、辺の比から合成される比を有すると主張する。なぜなら、BC が CH と一直線上にあるように置かれよ。
ἐπʼ εὐθείας ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΔΓ τῇ ΓΕ. καὶ συμπεπληρώσθω τὸ ΔΗ παραλληλόγραμμον, καὶ ἐκκείσθω τις εὐθεῖα ἡ Κ, καὶ γεγονέτω ὡς μὲν ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΓΗ, οὕτως ἡ Κ πρὸς τὴν Λ, ὡς δὲ ἡ ΔΓ πρὸς τὴν ΓΕ, οὕτως ἡ Λ πρὸς τὴν Μ.
οἱ ἄρα λόγοι τῆς τε Κ πρὸς τὴν Λ καὶ τῆς Λ πρὸς τὴν Μ οἱ αὐτοί εἰσι τοῖς λόγοις τῶν πλευρῶν, τῆς τε ΒΓ πρὸς τὴν ΓΗ καὶ τῆς ΔΓ πρὸς τὴν ΓΕ. ἀλλʼ ὁ τῆς Κ πρὸς Μ λόγος σύγκειται ἔκ τε τοῦ τῆς Κ πρὸς Λ λόγου καὶ τοῦ τῆς Λ πρὸς Μ·
すると、DC も CE と一直線上にある。 そして平行四辺形 ΔH が完成され、ある直線 K が置かれ、BC の CH に対する比のように、そのように K が Λ に対し、DC の CE に対する比のように、そのように Λ が M に対するようにせよ。 したがって、K の Λ に対する比、および Λ の M に対する比は、辺の比、すなわち BC の CH に対する比、および DC の CE に対する比と同じである。 しかし、K の M に対する比は、K の Λ に対する比と Λ の M に対する比から合成される。
ὥστε καὶ ἡ Κ πρὸς τὴν Μ λόγον ἔχει τὸν συγκείμενον ἐκ τῶν πλευρῶν.
したがって、K も M に対し、辺の比から合成される比を有する。
καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΓΗ, οὕτως τὸ ΑΓ παραλληλόγραμμον πρὸς τὸ ΓΘ, ἀλλʼ ὡς ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΓΗ, οὕτως ἡ Κ πρὸς τὴν λ, καὶ ὡς ἄρα ἡ Κ πρὸς τὴν Λ, οὕτως τὸ ΑΓ πρὸς τὸ ΓΘ. πάλιν, ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΔΓ πρὸς τὴν ΓΕ, οὕτως τὸ ΓΘ παραλληλόγραμμον πρὸς τὸ ΓΖ, ἀλλʼ ὡς ἡ ΔΓ πρὸς τὴν ΓΕ, οὕτως ἡ Λ πρὸς τὴν Μ, καὶ ὡς ἄρα ἡ Λ πρὸς τὴν Μ, οὕτως τὸ ΓΘ παραλληλόγραμμον πρὸς τὸ ΓΖ παραλληλόγραμμον.
そして、BC が CH に対するよう、そのように平行四辺形 AΓ は ΓΘ に対し、しかし BC が CH に対するよう、そのように K は λ に対するので、したがって K が Λ に対するよう、そのように AΓ は ΓΘ に対する。 さらに、DC が CE に対するよう、そのように平行四辺形 ΓΘ は ΓZ に対し、しかし DC が CE に対するよう、そのように Λ は M に対するので、したがって Λ が M に対するよう、そのように平行四辺形 ΓΘ は平行四辺形 ΓZ に対する。
ἐπεὶ οὖν ἐδείχθη, ὡς μὲν ἡ Κ πρὸς τὴν Λ, οὕτως τὸ ΑΓ παραλληλόγραμμον πρὸς τὸ ΓΘ παραλληλόγραμμον, ὡς δὲ ἡ Λ πρὸς τὴν Μ, οὕτως τὸ ΓΘ παραλληλόγραμμον πρὸς τὸ ΓΖ παραλληλόγραμμον, διʼ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ Κ πρὸς τὴν Μ, οὕτως τὸ ΑΓ πρὸς τὸ ΓΖ παραλληλόγραμμον.
それゆえ、K が Λ に対するよう、そのように平行四辺形 AΓ は平行四辺形 ΓΘ に対し、Λ が M に対するよう、そのように平行四辺形 ΓΘ は平行四辺形 ΓZ に対することが示されたので、等比の理により、K が M に対するよう、そのように AΓ は平行四辺形 ΓZ に対する。
ἡ δὲ Κ πρὸς τὴν Μ λόγον ἔχει τὸν συγκείμενον ἐκ τῶν πλευρῶν· καὶ τὸ ΑΓ ἄρα πρὸς τὸ ΓΖ λόγον ἔχει τὸν συγκείμενον ἐκ τῶν πλευρῶν.
しかし、K は M に対し、辺の比から合成される比を有するので、したがって AΓ も ΓZ に対し、辺の比から合成される比を有する。
τὰ ἄρα ἰσογώνια παραλληλόγραμμα πρὸς ἄλληλα λόγον ἔχει τὸν συγκείμενον ἐκ τῶν πλευρῶν·
したがって、等角な平行四辺形は、互いに対して、辺の比から合成される比を有する。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。