§6.prop.20#1τὰ ὅμοια πολύγωνα εἴς τε ὅμοια τρίγωνα διαιρεῖται καὶ εἰς ἴσα τὸ πλῆθος καὶ ὁμόλογα τοῖς ὅλοις, καὶ τὸ πολύγωνον πρὸς τὸ πολύγωνον διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ὁμόλογος πλευρὰ πρὸς τὴν ὁμόλογον πλευράν.
相似な多角形は、相似な三角形へ、かつ個数において等しく、かつ全体に対応する三角形へと分割され、また多角形の多角形に対する比は、対応する辺の対応する辺に対する比の二倍比を有する。
ἔστω ὅμοια πολύγωνα τὰ ΑΒΓΔΕ, ΖΗΘΚΛ, ὁμόλογος δὲ ἔστω ἡ ΑΒ τῇ ΖΗ·
相似な多角形 ABΓΔE, ZHΘKΛ があり、ABはZHに対応するとせよ。
λέγω, ὅτι τὰ ΑΒΓΔΕ, ΖΗΘΚΛ πολύγωνα εἴς τε ὅμοια τρίγωνα διαιρεῖται καὶ εἰς ἴσα τὸ πλῆθος καὶ ὁμόλογα τοῖς ὅλοις, καὶ τὸ ΑΒΓΔΕ πολύγωνον πρὸς τὸ ΖΗΘΚΛ πολύγωνον διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΖΗ.
ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΕ, ΕΓ, ΗΛ, ΛΘ.
καὶ ἐπεὶ ὅμοιόν ἐστι τὸ ΑΒΓΔΕ πολύγωνον τῷ ΖΗΘΚΛ πολυγώνῳ, ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΑΕ γωνία τῇ ὑπὸ ΗΖΛ. καί ἐστιν ὡς ἡ ΒΑ πρὸς ΑΕ, οὕτως ἡ ΗΖ πρὸς ΖΛ. ἐπεὶ οὖν δύο τρίγωνά ἐστι τὰ ΑΒΕ, ΖΗΛ μίαν γωνίαν μιᾷ γωνίᾳ ἴσην ἔχοντα, περὶ δὲ τὰς ἴσας γωνίας τὰς πλευρὰς ἀνάλογον, ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΕ τρίγωνον τῷ ΖΗΛ τριγώνῳ· ὥστε καὶ ὅμοιον·
私は言う、多角形 ABΓΔE, ZHΘKΛ は、相似な三角形へ、かつ個数において等しく、かつ全体に対応する三角形へと分割され、また多角形 ABΓΔE の多角形 ZHΘKΛ に対する比は、 ABのZHに対する比の二倍比を有する。 BE, EΓ, HΛ, ΛΘ が結ばれるとせよ。 そして、多角形 ABΓΔE は多角形 ZHΘKΛ に相似であるから、角BAEは角HZΛに等しい。 そして、BAのAEに対する比は、HZのZΛに対する比と同じである。 それゆえ、二つの三角形 ABE, ZHΛ があって、一つの角を一つの角に等しく持ち、等しい角を挟む辺は比例するから、したがって三角形 ABE は三角形 ZHΛ と等角であり、したがってまた相似である。
ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΒΕ γωνία τῇ ὑπὸ ΖΗΛ. ἔστι δὲ καὶ ὅλη ἡ ὑπὸ ΑΒΓ ὅλῃ τῇ ὑπὸ ΖΗΘ ἴση διὰ τὴν ὁμοιότητα τῶν πολυγώνων·
したがって、角ABEは角ZHΛに等しい。 また、多角形の相似性のために、全体の角ABΓも全体の角ZHΘに等しい。
λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΕΒΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΛΗΘ ἐστιν ἴση.
したがって、残りの角EBΓは角ΛHΘに等しい。
καὶ ἐπεὶ διὰ τὴν ὁμοιότητα τῶν ΑΒΕ, ΖΗΛ τριγώνων ἐστὶν ὡς ἡ ΕΒ πρὸς ΒΑ, οὕτως ἡ ΛΗ πρὸς ΗΖ, ἀλλὰ μὴν καὶ διὰ τὴν ὁμοιότητα τῶν πολυγώνων ἐστὶν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς ΒΓ, οὕτως ἡ ΖΗ πρὸς ΗΘ, διʼ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΕΒ πρὸς ΒΓ, οὕτως ἡ ΛΗ πρὸς ΗΘ, καὶ περὶ τὰς ἴσας γωνίας τὰς ὑπὸ ΕΒΓ, ΛΗΘ αἱ πλευραὶ ἀνάλογόν εἰσιν·
そして、三角形 ABE, ZHΛ の相似性のために、EBのBAに対する比はΛHのHZに対する比と同じであるが、しかしまた、多角形の相似性のために、ABのBΓに対する比はZHのHΘに対する比と同じであるから、したがって等比により、EBのBΓに対する比はΛHのHΘに対する比と同じである。 また、等しい角EBΓ, ΛHΘを挟む辺は比例する。
ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΕΒΓ τρίγωνον τῷ ΛΗΘ τριγώνῳ· ὥστε καὶ ὅμοιόν ἐστι τὸ ΕΒΓ τρίγωνον τῷ ΛΗΘ τριγώνῳ.
したがって、三角形 EBΓ は三角形 ΛHΘ と等角であり、したがってまた三角形 EBΓ は三角形 ΛHΘ に相似である。
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ ΕΓΔ τρίγωνον ὅμοιόν ἐστι τῷ ΛΘΚ τριγώνῳ.
まさに同じ理由により、三角形 EΓΔ も三角形 ΛΘK に相似である。
τὰ ἄρα ὅμοια πολύγωνα τὰ ΑΒΓΔΕ, ΖΗΘΚΛ εἴς τε ὅμοια τρίγωνα διῄρηται καὶ εἰς ἴσα τὸ πλῆθος.
したがって、相似な多角形 ABΓΔE, ZHΘKΛ は相似な三角形へ、かつ個数において等しく分割された。
λέγω, ὅτι καὶ ὁμόλογα τοῖς ὅλοις, τουτέστιν ὥστε ἀνάλογον εἶναι τὰ τρίγωνα, καὶ ἡγούμενα μὲν εἶναι τὰ ΑΒΕ, ΕΒΓ, ΕΓΔ, ἑπόμενα δὲ αὐτῶν τὰ ΖΗΛ, ΛΗΘ, ΛΘΚ, καὶ ὅτι τὸ ΑΒΓΔΕ πολύγωνον πρὸς τὸ ΖΗΘΚΛ πολύγωνον διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ὁμόλογος πλευρὰ πρὸς τὴν ὁμόλογον πλευράν, τουτέστιν ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΖΗ.
私は言う、それらは全体に対応する、すなわち、三角形たちが比例するようになり、 ABE, EBΓ, EΓΔ が前項であり、それらに対する ZHΛ, ΛHΘ, ΛΘK が後項である。 そして、多角形 ABΓΔE の多角形 ZHΘKΛ に対する比は、対応する辺の対応する辺に対する比の二倍比を有する、すなわちABのZHに対する比である。