§6.prop.19τὰ ὅμοια τρίγωνα πρὸς ἄλληλα ἐν διπλασίονι λόγῳ ἐστὶ τῶν ὁμολόγων πλευρῶν.
相似な三角形は互いに、対応する辺の二倍比（二乗比）にある。
ἔστω ὅμοια τρίγωνα τὰ ΑΒΓ, ΔΕΖ ἴσην ἔχοντα τὴν πρὸς τῷ Β γωνίαν τῇ πρὸς τῷ Ε, ὡς δὲ τὴν ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως τὴν ΔΕ πρὸς τὴν ΕΖ, ὥστε ὁμόλογον εἶναι τὴν ΒΓ τῇ ΕΖ·
相似な三角形 ABΓ, ΔEZ があり、Bにおける角はEにおける角に等しく、ABの BΓに対する比はΔEのEZに対する比と同じであり、したがってBΓはEZに対応するとせよ。
λέγω, ὅτι τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΔΕΖ τρίγωνον διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΕΖ.
εἰλήφθω γὰρ τῶν ΒΓ, ΕΖ τρίτη ἀνάλογον ἡ ΒΗ, ὥστε εἶναι ὡς τὴν ΒΓ πρὸς τὴν ΕΖ, οὕτως τὴν ΕΖ πρὸς τὴν ΒΗ·
私は言う、三角形 ABΓ は三角形 ΔEZ に対して、BΓの EZに対する比の二倍比を有する。 なぜなら、BΓ, EZに対して第三の比例項 BH が取られるとせよ。 BΓのEZに対する比はEZのBHに対する比と同じであるように。
καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΗ.
ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως ἡ ΔΕ πρὸς τὴν ΕΖ, ἐναλλὰξ ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΔΕ, οὕτως ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΕΖ. ἀλλʼ ὡς ἡ ΒΓ πρὸς ΕΖ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΕΖ πρὸς ΒΗ. καὶ ὡς ἄρα ἡ ΑΒ πρὸς ΔΕ, οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς ΒΗ·
そして AH が結ばれるとせよ。 それゆえ、ABのBΓに対する比はΔEのEZに対する比と同じであるから、したがって交互に、ABのΔEに対する比はBΓのEZに対する比と同じである。 しかし、BΓのEZに対する比はEZのBHに対する比と同じである。 したがってまた、ABのΔEに対する比はEZのBHに対する比と同じである。
τῶν ΑΒΗ, ΔΕΖ ἄρα τριγώνων ἀντιπεπόνθασιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰς ἴσας γωνίας.
したがって、三角形 ABH, ΔEZの等しい角を挟む辺は逆比例する。
ὧν δὲ μίαν μιᾷ ἴσην ἐχόντων γωνίαν τριγώνων ἀντιπεπόνθασιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰς ἴσας γωνίας, ἴσα ἐστὶν ἐκεῖνα.
しかし、等しい一つの角をそれぞれが持つ三角形において、等しい角を挟む辺が逆比例するならば、それらは等しい。
ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΗ τρίγωνον τῷ ΔΕΖ τριγώνῳ.
したがって、三角形 ABH は三角形 ΔEZ に等しい。
καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΕΖ, οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΒΗ, ἐὰν δὲ τρεῖς εὐθεῖαι ἀνάλογον ὦσιν, ἡ πρώτη πρὸς τὴν τρίτην διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ πρὸς τὴν δευτέραν, ἡ ΒΓ ἄρα πρὸς τὴν ΒΗ διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΓΒ πρὸς τὴν ΕΖ. ὡς δὲ ἡ ΓΒ πρὸς τὴν ΒΗ, οὕτως τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΑΒΗ τρίγωνον· καὶ τὸ ΑΒΓ ἄρα τρίγωνον πρὸς τὸ ΑΒΗ διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΕΖ. ἴσον δὲ τὸ ΑΒΗ τρίγωνον τῷ ΔΕΖ τριγώνῳ·
そして、BΓのEZに対する比は EZのBHに対する比と同じであり、また、三つの直線が比例するならば、第一のものは第三のものに対して第二のものに対する比の二倍比を有するから、したがって BΓ は BH に対して、ΓBのEZに対する比の二倍比を有する。 そして、ΓBのBHに対する比は三角形 ABΓ の三角形 ABH に対する比と同じであるから、したがってまた、三角形 ABΓ は ABH に対して、BΓのEZに対する比の二倍比を有する。 しかし、三角形 ABH は三角形 ΔEZ に等しい。
καὶ τὸ ΑΒΓ ἄρα τρίγωνον πρὸς τὸ ΔΕΖ τρίγωνον διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΕΖ.
τὰ ἄρα ὅμοια τρίγωνα πρὸς ἄλληλα ἐν διπλασίονι λόγῳ ἐστὶ τῶν ὁμολόγων πλευρῶν· .
したがってまた、三角形 ABΓ は三角形 ΔEZ に対して、BΓのEZに対する比の二倍比を有する。 したがって、相似な三角形は互いに、対応する辺の二倍比にある。
Πόρισμα
ἐκ δὴ τούτου φανερόν, ὅτι, ἐὰν τρεῖς εὐθεῖαι ἀνάλογον ὦσιν, ἔστιν ὡς ἡ πρώτη πρὸς τὴν τρίτην, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς πρώτης εἶδος πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας τὸ ὅμοιον καὶ ὁμοίως ἀναγραφόμενον·
系これより、もし三つの直線が比例するならば、第一のものの第三のものに対する比は、第一のものの上に作図された図形の、第二のものの上に作図された相似で同様に位置する図形に対する比と同じであることは明らかである。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。