§6.prop.20#1τὰ ὅμοια πολύγωνα εἴς τε ὅμοια τρίγωνα διαιρεῖται καὶ εἰς ἴσα τὸ πλῆθος καὶ ὁμόλογα τοῖς ὅλοις, καὶ τὸ πολύγωνον πρὸς τὸ πολύγωνον διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ὁμόλογος πλευρὰ πρὸς τὴν ὁμόλογον πλευράν.
닮은 다각형들은 닮은 삼각형들로 분할되며, 개수가 같고 전체에 대응하며, 다각형이 다각형에 대하여 가지는 비는 대응하는 변이 대응하는 변에 대하여 가지는 비의 이배비를 가진다.
ἔστω ὅμοια πολύγωνα τὰ ΑΒΓΔΕ, ΖΗΘΚΛ, ὁμόλογος δὲ ἔστω ἡ ΑΒ τῇ ΖΗ·
닮은 다각형들 ABΓΔE, ZHΘKΛ가 있고, AB가 ZH에 대응한다고 하자.
λέγω, ὅτι τὰ ΑΒΓΔΕ, ΖΗΘΚΛ πολύγωνα εἴς τε ὅμοια τρίγωνα διαιρεῖται καὶ εἰς ἴσα τὸ πλῆθος καὶ ὁμόλογα τοῖς ὅλοις, καὶ τὸ ΑΒΓΔΕ πολύγωνον πρὸς τὸ ΖΗΘΚΛ πολύγωνον διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΖΗ.
ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΕ, ΕΓ, ΗΛ, ΛΘ.
καὶ ἐπεὶ ὅμοιόν ἐστι τὸ ΑΒΓΔΕ πολύγωνον τῷ ΖΗΘΚΛ πολυγώνῳ, ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΑΕ γωνία τῇ ὑπὸ ΗΖΛ. καί ἐστιν ὡς ἡ ΒΑ πρὸς ΑΕ, οὕτως ἡ ΗΖ πρὸς ΖΛ. ἐπεὶ οὖν δύο τρίγωνά ἐστι τὰ ΑΒΕ, ΖΗΛ μίαν γωνίαν μιᾷ γωνίᾳ ἴσην ἔχοντα, περὶ δὲ τὰς ἴσας γωνίας τὰς πλευρὰς ἀνάλογον, ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΕ τρίγωνον τῷ ΖΗΛ τριγώνῳ· ὥστε καὶ ὅμοιον·
나는 다각형들 ABΓΔE, ZHΘKΛ가 닮은 삼각형들로 분할되고, 개수가 같으며 전체에 대응하고, 다각형 ABΓΔE가 다각형 ZHΘKΛ에 대하여 가지는 비는 AB가 ZH에 대하여 가지는 비의 이배비를 가진다고 말한다. BE, EΓ, HΛ, ΛΘ가 연결되게 하라. 그리고 다각형 ABΓΔE가 다각형 ZHΘKΛ와 닮았으므로, 각 BAE는 각 HZΛ와 같다. 그리고 BA가 AE에 대하여 가지는 비는 HZ가 ZΛ에 대하여 가지는 비와 같다. 그러므로 두 삼각형 ABE, ZHΛ가 하나의 각을 하나의 각과 같게 가지고, 등각들을 품은 변들이 비례하므로, 그러므로 삼각형 ABE는 삼각형 ZHΛ와 등각이며, 그리하여 또한 닮음이다.
ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΒΕ γωνία τῇ ὑπὸ ΖΗΛ. ἔστι δὲ καὶ ὅλη ἡ ὑπὸ ΑΒΓ ὅλῃ τῇ ὑπὸ ΖΗΘ ἴση διὰ τὴν ὁμοιότητα τῶν πολυγώνων·
그러므로 각 ABE는 각 ZHΛ와 같다. 그런데 다각형들의 닮음으로 인해 전체 각 ABΓ 또한 전체 각 ZHΘ와 같다.
λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΕΒΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΛΗΘ ἐστιν ἴση.
그러므로 남은 각 EBΓ는 각 ΛHΘ와 같다.
καὶ ἐπεὶ διὰ τὴν ὁμοιότητα τῶν ΑΒΕ, ΖΗΛ τριγώνων ἐστὶν ὡς ἡ ΕΒ πρὸς ΒΑ, οὕτως ἡ ΛΗ πρὸς ΗΖ, ἀλλὰ μὴν καὶ διὰ τὴν ὁμοιότητα τῶν πολυγώνων ἐστὶν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς ΒΓ, οὕτως ἡ ΖΗ πρὸς ΗΘ, διʼ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΕΒ πρὸς ΒΓ, οὕτως ἡ ΛΗ πρὸς ΗΘ, καὶ περὶ τὰς ἴσας γωνίας τὰς ὑπὸ ΕΒΓ, ΛΗΘ αἱ πλευραὶ ἀνάλογόν εἰσιν·
그리고 삼각형 ABE, ZHΛ의 닮음으로 인해 EB가 BA에 대하여 가지는 비는 ΛH가 HZ에 대하여 가지는 비와 같고, 한편 또한 다각형들의 닮음으로 인해 AB가 BΓ에 대하여 가지는 비는 ZH가 HΘ에 대하여 가지는 비와 같으므로, 그러므로 등비에 의해 EB가 BΓ에 대하여 가지는 비는 ΛH가 HZ에 대하여 가지는 비와 같고, 등각인 EBΓ, ΛHΘ를 품은 변들이 비례한다.
ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΕΒΓ τρίγωνον τῷ ΛΗΘ τριγώνῳ· ὥστε καὶ ὅμοιόν ἐστι τὸ ΕΒΓ τρίγωνον τῷ ΛΗΘ τριγώνῳ.
그러므로 삼각형 EBΓ는 삼각형 ΛHΘ와 등각이며, 그리하여 또한 삼각형 EBΓ는 삼각형 ΛHΘ와 닮음이다.
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ ΕΓΔ τρίγωνον ὅμοιόν ἐστι τῷ ΛΘΚ τριγώνῳ.
같은 이유로 삼각형 EΓΔ 역시 삼각형 ΛΘK와 닮음이다.
τὰ ἄρα ὅμοια πολύγωνα τὰ ΑΒΓΔΕ, ΖΗΘΚΛ εἴς τε ὅμοια τρίγωνα διῄρηται καὶ εἰς ἴσα τὸ πλῆθος.
그러므로 닮은 다각형들 ABΓΔE, ZHΘKΛ는 닮은 삼각형들로 분할되었으며 그 개수가 같다.
λέγω, ὅτι καὶ ὁμόλογα τοῖς ὅλοις, τουτέστιν ὥστε ἀνάλογον εἶναι τὰ τρίγωνα, καὶ ἡγούμενα μὲν εἶναι τὰ ΑΒΕ, ΕΒΓ, ΕΓΔ, ἑπόμενα δὲ αὐτῶν τὰ ΖΗΛ, ΛΗΘ, ΛΘΚ, καὶ ὅτι τὸ ΑΒΓΔΕ πολύγωνον πρὸς τὸ ΖΗΘΚΛ πολύγωνον διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ὁμόλογος πλευρὰ πρὸς τὴν ὁμόλογον πλευράν, τουτέστιν ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΖΗ.
나는 그것들이 또한 전체에 대응한다고 말한다. 즉, 삼각형들이 비례 관계에 있어, ABE, EBΓ, EΓΔ는 전항들이고, 그것들의 후항들은 ZHΛ, ΛHΘ, ΛΘK가 되며, 다각형 ABΓΔE가 다각형 ZHΘKΛ에 대하여 가지는 비는 대응하는 변이 대응하는 변에 대하여 가지는 비의 이배비를 가진다. 즉, AB가 ZH에 대하여 가지는 비다.