§6.prop.20#2ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΑΓ, ΖΘ. καὶ ἐπεὶ διὰ τὴν ὁμοιότητα τῶν πολυγώνων ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΒΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΖΗΘ, καί ἐστιν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς ΒΓ, οὕτως ἡ ΖΗ πρὸς ΗΘ, ἰσογώνιόν ἐστι τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΖΗΘ τριγώνῳ·
というのも、AΓ, ΖΘ が結ばれるとせよ。 そして、多角形の相似性のために角ABΓは角ZHΘに等しく、またABのBΓに対する比はZHのHΘに対する比と同じであるから、三角形 ABΓ は三角形 ΖΗΘ と等角である。
ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ μὲν ὑπὸ ΒΑΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΗΖΘ, ἡ δὲ ὑπὸ ΒΓΑ τῇ ὑπὸ ΗΘΖ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΑΜ γωνία τῇ ὑπὸ ΗΖΝ, ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΑΒΜ τῇ ὑπὸ ΖΗΝ ἴση, καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΜΒ λοιπῇ τῇ ὑπὸ ΖΝΗ ἴση ἐστίν·
したがって、角BAΓは角 HΖΘに等しく、角BΓAは角HΘΖに等しい。 そして、角BAMは角HΖNに等しく、また角ABMも角ΖHNに等しいから、したがって残りの角AMBも残りの角ΖNHに等しい。
ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΜ τρίγωνον τῷ ΖΗΝ τριγώνῳ.
したがって、三角形 ABM は三角形 ΖHN と等角である。
ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ τὸ ΒΜΓ τρίγωνον ἰσογώνιόν ἐστι τῷ ΗΝΘ τριγώνῳ.
同様にしてまさに、三角形 BMΓ も三角形 HNΘ と等角であることを示す。
ἀνάλογον ἄρα ἐστίν, ὡς μὲν ἡ ΑΜ πρὸς ΜΒ, οὕτως ἡ ΖΝ πρὸς ΝΗ, ὡς δὲ ἡ ΒΜ πρὸς ΜΓ, οὕτως ἡ ΗΝ πρὸς ΝΘ·
したがって比例により、AMのMBに対する比はΖNのNHに対する比と同じであり、BMのMΓに対する比はHNのNΘに対する比と同じである。
ὥστε καὶ διʼ ἴσου, ὡς ἡ ΑΜ πρὸς ΜΓ, οὕτως ἡ ΖΝ πρὸς ΝΘ. ἀλλʼ ὡς ἡ ΑΜ πρὸς ΜΓ, οὕτως τὸ ΑΒΜ πρὸς τὸ ΜΒΓ, καὶ τὸ ΑΜΕ πρὸς τὸ ΕΜΓ· πρὸς ἄλληλα γάρ εἰσιν ὡς αἱ βάσεις.
したがってまた等比により、AMのMΓに対する比はΖNのNΘに対する比と同じである。 しかし、AMのMΓに対する比は、 ABMのMBΓに対する比と同じであり、AMEのEMΓに対する比と同じである（なぜなら、それらは互いに対して底辺の比と同じであるから）。
καὶ ὡς ἄρα ἓν τῶν ἡγουμένων πρὸς ἓν τῶν ἑπομένων, οὕτως ἅπαντα τὰ ἡγούμενα πρὸς ἅπαντα τὰ ἑπόμενα·
したがってまた、前項の一つが後項の一つに対する比と同じように、すべての前項のすべての後項に対する比も同じである。
ὡς ἄρα τὸ ΑΜΒ τρίγωνον πρὸς τὸ ΒΜΓ, οὕτως τὸ ΑΒΕ πρὸς τὸ ΓΒΕ. ἀλλʼ ὡς τὸ ΑΜΒ πρὸς τὸ ΒΜΓ, οὕτως ἡ ΑΜ πρὸς ΜΓ·
したがって、三角形 AMB の三角形 BMΓ に対する比は、三角形 ABE の三角形 ΓBE に対する比と同じである。 しかし、三角形 AMB の三角形 BMΓ に対する比は、AMのMΓに対する比と同じである。
καὶ ὡς ἄρα ἡ ΑΜ πρὸς ΜΓ, οὕτως τὸ ΑΒΕ τρίγωνον πρὸς τὸ ΕΒΓ τρίγωνον.
したがってまた、AMのMΓに対する比は、三角形 ABE の三角形 EBΓ に対する比と同じである。
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὡς ἡ ΖΝ πρὸς ΝΘ, οὕτως τὸ ΖΗΛ τρίγωνον πρὸς τὸ ΗΛΘ τρίγωνον.
まさに同じ理由により、 ΖNのNΘに対する比は、三角形 ΖHΛ の三角形 HΛΘ に対する比と同じである。
καί ἐστιν ὡς ἡ ΑΜ πρὸς ΜΓ, οὕτως ἡ ΖΝ πρὸς ΝΘ·
そして、AMのMΓに対する比は、 ΖN のNΘに対する比と同じである。
καὶ ὡς ἄρα τὸ ΑΒΕ τρίγωνον πρὸς τὸ ΒΕΓ τρίγωνον, οὕτως τὸ ΖΗΛ τρίγωνον πρὸς τὸ ΗΛΘ τρίγωνον, καὶ ἐναλλὰξ, ὡς τὸ ΑΒΕ τρίγωνον πρὸς τὸ ΖΗΛ τρίγωνον, οὕτως τὸ ΒΕΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΗΛΘ τρίγωνον.
したがってまた、三角形 ABE の三角形 BEΓ に対する比は、三角形 ΖHΛ の三角形 HΛΘ に対する比と同じであり、また交互すると、三角形 ABE の三角形 ΖHΛ に対する比は、三角形 BEΓ の三角形 HΛΘ に対する比と同じである。
ὁμοίως δὴ δείξομεν ἐπιζευχθεισῶν τῶν ΒΔ, ΗΚ, ὅτι καὶ ὡς τὸ ΒΕΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΛΗΘ τρίγωνον, οὕτως τὸ ΕΓΔ τρίγωνον πρὸς τὸ ΛΘΚ τρίγωνον.
まさに同様に、BΔ、 HK が結ばれると、三角形 BEΓ の三角形 ΛHΘ に対する比は、三角形 EΓΔ の三角形 ΛΘK に対する比と同じであることを示す。
καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς τὸ ΑΒΕ τρίγωνον πρὸς τὸ ΖΗΛ τρίγωνον, οὕτως τὸ ΕΒΓ πρὸς τὸ ΛΗΘ, καὶ ἔτι τὸ ΕΓΔ πρὸς τὸ ΛΘΚ, καὶ ὡς ἄρα ἓν τῶν ἡγουμένων πρὸς ἓν τῶν ἑπομένων, οὕτως ἅπαντα τὰ ἡγούμενα πρὸς ἅπαντα τὰ ἑπόμενα·
そして、三角形 ABE の三角形 ΖHΛ に対する比は、三角形 EBΓ の三角形 ΛHΘ に対する比と同じであり、さらに三角形 EΓΔ の三角形 ΛΘK に対する比と同じであるから、したがって、前項の一つが後項の一つに対する比と同じように、すべての前項のすべての後項に対する比も同じである。
ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ΑΒΕ τρίγωνον πρὸς τὸ ΖΗΛ τρίγωνον, οὕτως τὸ ΑΒΓΔΕ πολύγωνον πρὸς τὸ ΖΗΘΚΛ πολύγωνον.
したがって、三角形 ABE の三角形 ΖHΛ に対する比は、多角形 ABΓΔE の多角形 ZHΘKΛ に対する比と同じである。
ἀλλὰ τὸ ΑΒΕ τρίγωνον πρὸς τὸ ΖΗΛ τρίγωνον διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΑΒ ὁμόλογος πλευρὰ πρὸς τὴν ΖΗ ὁμόλογον πλευράν· τὰ γὰρ ὅμοια τρίγωνα ἐν διπλασίονι λόγῳ ἐστὶ τῶν ὁμολόγων πλευρῶν.
しかし、三角形 ABE の三角形 ΖHΛ に対する比は、対応する辺ABの対応する辺ΖHに対する比の二倍比を有する（相似な三角形は、対応する辺の二倍比にあるからである）。
καὶ τὸ ΑΒΓΔΕ ἄρα πολύγωνον πρὸς τὸ ΖΗΘΚΛ πολύγωνον διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΑΒ ὁμόλογος πλευρὰ πρὸς τὴν ΖΗ ὁμόλογον πλευράν.
したがってまた、多角形 ABΓΔE の多角形 ZHΘKΛ に対する比は、対応する辺ABの対応する辺ΖHに対する比の二倍比を有する。
τὰ ἄρα ὅμοια πολύγωνα εἴς τε ὅμοια τρίγωνα διαιρεῖται καὶ εἰς ἴσα τὸ πλῆθος καὶ ὁμόλογα τοῖς ὅλοις, καὶ τὸ πολύγωνον πρὸς τὸ πολύγωνον διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ὁμόλογος πλευρὰ πρὸς τὴν ὁμόλογον πλευράν· .
したがって、相似な多角形は、相似な三角形へ、かつ個数において等しく、かつ全体に対応する三角形へと分割され、また多角形の多角形に対する比は、対応する辺の対応する辺に対する比の二倍比を有する。
Πόρισμα
ὡσαύτως δὲ καὶ ἐπὶ τῶν τετραπλεύρων δειχθήσεται, ὅτι ἐν διπλασίονι λόγῳ εἰσὶ τῶν ὁμολόγων πλευρῶν.
系同様にして、四辺形についても、それらが対応する辺の二倍比にあることが示される。
ἐδείχθη δὲ καὶ ἐπὶ τῶν τριγώνων·
また、三角形についても示された。
ὥστε καὶ καθόλου τὰ ὅμοια εὐθύγραμμα σχήματα πρὸς ἄλληλα ἐν διπλασίονι λόγῳ εἰσὶ τῶν ὁμολόγων πλευρῶν.
したがってまた一般に、相似な直線図形は、互いに対して、対応する辺の二倍比にある。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。