§5.prop.21ἐὰν ᾖ τρία μεγέθη καὶ ἄλλα αὐτοῖς ἴσα τὸ πλῆθος σύνδυο λαμβανόμενα καὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ, ᾖ δὲ τεταραγμένη αὐτῶν ἡ ἀναλογία, διʼ ἴσου δὲ τὸ πρῶτον τοῦ τρίτου μεῖζον ᾖ, καὶ τὸ τέταρτον τοῦ ἕκτου μεῖζον ἔσται, κἂν ἴσον, ἴσον, κἂν ἔλαττον, ἔλαττον.
もし三つの大きさがあり、それらと同数の他の大きさがあって、二つずつ取られ、かつ同じ比にあり、それらの比が乱された比例であり、等比において第一のものが第三のものより大きいならば、第四のものも第六のものより大きいであろう、また等しければ等しく、小さければ小さいであろう。
ἔστω τρία μεγέθη τὰ Α, Β, Γ καὶ ἄλλα αὐτοῖς ἴσα τὸ πλῆθος τὰ Δ, Ε, Ζ, σύνδυο λαμβανόμενα καὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ, ἔστω δὲ τεταραγμένη αὐτῶν ἡ ἀναλογία, ὡς μὲν τὸ Α πρὸς τὸ Β, οὕτως τὸ Ε πρὸς τὸ Ζ, ὡς δὲ τὸ Β πρὸς τὸ Γ, οὕτως τὸ Δ πρὸς τὸ Ε, διʼ ἴσου δὲ τὸ Α τοῦ Γ μεῖζον ἔστω·
三つの大きさを Α, Β, Γ とし、それらと同数の他の大きさを Δ, Ε, Ζ とせよ。 これらは二つずつ同じ比で取られており、それらの比例は乱されているとせよ。 すなわち、 Α の Β に対する比は Ε の Ζ に対する比と同じであり、Β の Γ に対する比は Δ の Ε に対する比と同じである。 そして等比において、Α が Γ より大きいとせよ。
λέγω, ὅτι καὶ τὸ Δ τοῦ Ζ μεῖζον ἔσται, κἂν ἴσον, ἴσον, κἂν ἔλαττον, ἔλαττον.
私は言う、Δ も Ζ より大きいであろう、また等しければ等しく、小さければ小さいであろうと。
ἐπεὶ γὰρ μεῖζόν ἐστι τὸ Α τοῦ Γ, ἄλλο δέ τι τὸ Β, τὸ Α ἄρα πρὸς τὸ Β μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ Γ πρὸς τὸ Β. ἀλλʼ ὡς μὲν τὸ Α πρὸς τὸ Β, οὕτως τὸ Ε πρὸς τὸ Ζ, ὡς δὲ τὸ Γ πρὸς τὸ Β, ἀνάπαλιν οὕτως τὸ Ε πρὸς τὸ Δ. καὶ τὸ Ε ἄρα πρὸς τὸ Ζ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ Ε πρὸς τὸ Δ. πρὸς ὃ δὲ τὸ αὐτὸ μείζονα λόγον ἔχει, ἐκεῖνο ἔλασσόν ἐστιν·
なぜなら、Α は Γ より大きく、Β は別の何かであるから、したがって Α の Β に対する比は、Γ の Β に対する比よりも大きい比を持つ。 ところで、Α の Β に対する比は Ε の Ζ に対する比と同じであり、Γ の Β に対する比は、逆に Ε の Δ に対する比と同じである。 したがって、Ε の Ζ に対する比は、Ε の Δ に対する比よりも大きい比を持つ。 ところで、同じものがそれに対してより大きい比を持つところの、そのものはより小さい。
ἔλασσον ἄρα ἐστὶ τὸ Ζ τοῦ Δ·
したがって、Ζ は Δ より小さい。
μεῖζον ἄρα ἐστὶ τὸ Δ τοῦ Ζ. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι κἂν ἴσον ᾖ τὸ Α τῷ Γ, ἴσον ἔσται καὶ τὸ Δ τῷ Ζ, κἂν ἔλαττον, ἔλαττον.
ゆえに Δ は Ζ より大きい。 同様にして、もし Α が Γ に等しければ、Δ も Ζ に等しく、小さければ小さいことを示すことができる。
ἐὰν ἄρα ᾖ τρία μεγέθη καὶ ἄλλα αὐτοῖς ἴσα τὸ πλῆθος, σύνδυο λαμβανόμενα καὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ, ᾖ δὲ τεταραγμένη αὐτῶν ἡ ἀναλογία, διʼ ἴσου δὲ τὸ πρῶτον τοῦ τρίτου μεῖζον ᾖ, καὶ τὸ τέταρτον τοῦ ἕκτου μεῖζον ἔσται, κἂν ἴσον, ἴσον, κἂν ἔλαττον, ἔλαττον·
したがって、もし三つの大きさがあり、それらと同数の他の大きさがあって、二つずつ取られ、かつ同じ比にあり、それらの比例が乱されたものであり、等比において第一のものが第三のものより大きいならば、第四のものも第六のものより大きいであろう、また等しければ等しく、小さければ小さいであろう。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。
§5.prop.22ἐὰν ᾖ ὁποσαοῦν μεγέθη καὶ ἄλλα αὐτοῖς ἴσα τὸ πλῆθος, σύνδυο λαμβανόμενα καὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ, καὶ διʼ ἴσου ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ ἔσται.
もし幾つでも任意の数の大きさがあり、それらと同数の他の大きさがあって、二つずつ取られ、かつ同じ比にあるならば、それらは等比においても同じ比にあるであろう。
ἔστω ὁποσαοῦν μεγέθη τὰ Α, Β, Γ καὶ ἄλλα αὐτοῖς ἴσα τὸ πλῆθος τὰ Δ, Ε, Ζ, σύνδυο λαμβανόμενα ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ, ὡς μὲν τὸ Α πρὸς τὸ Β, οὕτως τὸ Δ πρὸς τὸ Ε, ὡς δὲ τὸ Β πρὸς τὸ Γ, οὕτως τὸ Ε πρὸς τὸ Ζ·
任意の数の大きさを Α, Β, Γ とし、それらと同数の他の大きさを Δ, Ε, Ζ とせよ。 これらは二つずつ同じ比で取られている、すなわち、Α の Β に対する比は Δ の Ε に対する比と同じであり、Β の Γ に対する比は Ε の Ζ に対する比と同じであるとせよ。
λέγω, ὅτι καὶ διʼ ἴσου ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ ἔσται.
私は言う、それらは等比においても同じ比にあるであろうと。
εἰλήφθω γὰρ τῶν μὲν Α, Δ ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ η, Θ, τῶν δὲ Β, Ε ἄλλα, ἃ ἔτυχεν, ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Κ, Λ, καὶ ἔτι τῶν Γ, Ζ ἄλλα, ἃ ἔτυχεν, ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Μ, Ν.
καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Β, οὕτως τὸ Δ πρὸς τὸ Ε, καὶ εἴληπται τῶν μὲν Α, Δ ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ η, Θ, τῶν δὲ Β, Ε ἄλλα, ἃ ἔτυχεν, ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Κ, Λ, ἔστιν ἄρα ὡς τὸ Η πρὸς τὸ Κ, οὕτως τὸ Θ πρὸς τὸ Λ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὡς τὸ Κ πρὸς τὸ Μ, οὕτως τὸ Λ πρὸς τὸ Ν. ἐπεὶ οὖν τρία μεγέθη ἐστὶ τὰ Η, Κ, Μ, καὶ ἄλλα αὐτοῖς ἴσα τὸ πλῆθος τὰ Θ, Λ, Ν, σύνδυο λαμβανόμενα καὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ, διʼ ἴσου ἄρα, εἰ ὑπερέχει τὸ Η τοῦ Μ, ὑπερέχει καὶ τὸ Θ τοῦ Ν, καὶ εἰ ἴσον, ἴσον, καὶ εἰ ἔλαττον, ἔλαττον.
なぜなら、Α, Δ の等倍のものとして Η, Θ を取り、Β, Ε の他の任意に選んだ等倍のものとして Κ, Λ を取り、さらに Γ, Ζ の他の任意に選んだ等倍のものとして Μ, Ν を取れ。 そして、Α の Β に対する比は Δ の Ε に対する比と同じであり、Α, Δ の等倍のものとして Η, Θ が取られ、Β, Ε の他の任意に選んだ等倍のものとして Κ, Λ が取られているから、したがって、Η の Κ に対する比は Θ の Λ に対する比と同じである。 同じ理由によってまた、Κ の Μ に対する比は Λ の Ν に対する比と同じである。 したがって、三つの大きさ Η, Κ, Μ があり、それらと同数の他の大きさ Θ, Λ, Ν があって、二つずつ取られ、かつ同じ比にあるから、したがって等比において、もし Η が Μ を超えるならば Θ も Ν を超え、等しければ等しく、小さければ小さい。
καί ἐστι τὰ μὲν Η, Θ τῶν Α, Δ ἰσάκις πολλαπλάσια, τὰ δὲ Μ, Ν τῶν Γ, Ζ ἄλλα, ἃ ἔτυχεν, ἰσάκις πολλαπλάσια.
そして Η, Θ は Α, Δ の等倍のものであり、Μ, Ν は Γ, Ζ の他の任意に選んだ等倍のものである。
ἔστιν ἄρα ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Γ, οὕτως τὸ Δ πρὸς τὸ Ζ.
ἐὰν ἄρα ᾖ ὁποσαοῦν μεγέθη καὶ ἄλλα αὐτοῖς ἴσα τὸ πλῆθος, σύνδυο λαμβανόμενα ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ, καὶ διʼ ἴσου ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ ἔσται·
したがって、Α の Γ に対する比は Δ の Ζ に対する比と同じである。 したがって、もし幾つでも任意の数の大きさがあり、それらと同数の他の大きさがあって、二つずつ取られ、かつ同じ比にあるならば、それらは等比においても同じ比にあるであろう。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。