§5.prop.19ἐὰν ᾖ ὡς ὅλον πρὸς ὅλον, οὕτως ἀφαιρεθὲν πρὸς ἀφαιρεθέν, καὶ τὸ λοιπὸν πρὸς τὸ λοιπὸν ἔσται ὡς ὅλον πρὸς ὅλον.
もし全体と全体の比が、引かれたものと引かれたものの比と同じであるならば、残りと残りの比もまた、全体と全体の比と同じであるであろう。
ἔστω γὰρ ὡς ὅλον τὸ ΑΒ πρὸς ὅλον τὸ ΓΔ, οὕτως ἀφαιρεθὲν τὸ ΑΕ πρὸς ἀφαιρεθὲν τὸ ΓΖ·
なぜなら、全体 ΑΒ の全体 ΓΔ に対する比が、引かれたもの ΑΕ の引かれたもの ΓΖ に対する比と同じであるとせよ。
λέγω, ὅτι καὶ λοιπὸν τὸ ΕΒ πρὸς λοιπὸν τὸ ΖΔ ἔσται ὡς ὅλον τὸ ΑΒ πρὸς ὅλον τὸ ΓΔ.
ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΓΔ, οὕτως τὸ ΑΕ πρὸς τὸ ΓΖ, καὶ ἐναλλὰξ ὡς τὸ ΒΑ πρὸς τὸ ΑΕ, οὕτως τὸ ΔΓ πρὸς τὸ ΓΖ. καὶ ἐπεὶ συγκείμενα μεγέθη ἀνάλογόν ἐστιν, καὶ διαιρεθέντα ἀνάλογον ἔσται, ὡς τὸ ΒΕ πρὸς τὸ ΕΑ, οὕτως τὸ ΔΖ πρὸς τὸ ΓΖ·
私は言う、残りの ΕΒ の残りの ΖΔ に対する比も、全体 ΑΒ の全体 ΓΔ に対する比と同じであるであろうと。
καὶ ἐναλλάξ, ὡς τὸ ΒΕ πρὸς τὸ ΔΖ, οὕτως τὸ ΕΑ πρὸς τὸ ΖΓ. ὡς δὲ τὸ ΑΕ πρὸς τὸ ΓΖ, οὕτως ὑπόκειται ὅλον τὸ ΑΒ πρὸς ὅλον τὸ ΓΔ. καὶ λοιπὸν ἄρα τὸ ΕΒ πρὸς λοιπὸν τὸ ΖΔ ἔσται ὡς ὅλον τὸ ΑΒ πρὸς ὅλον τὸ ΓΔ.
ἐὰν ἄρα ᾖ ὡς ὅλον πρὸς ὅλον, οὕτως ἀφαιρεθὲν πρὸς ἀφαιρεθέν, καὶ τὸ λοιπὸν πρὸς τὸ λοιπὸν ἔσται ὡς ὅλον πρὸς ὅλον.
なぜなら、ΑΒ の ΓΔ に対する比は ΑΕ の ΓΖ に対する比と同じであるから、交互に、ΒΑ の ΑΕ に対する比は ΔΓ の ΓΖ に対する比と同じである。 そして、合成された大きさは比例しているから、分離された大きさも比例するであろう。 したがって、ΒΕ の ΕΑ に対する比は、 ΔΖ の ΓΖ に対する比と同じである。 したがって交互に、ΒΕ の ΔΖ に対する比は、ΕΑ の ΖΓ に対する比と同じである。 ところで、ΑΕ の ΓΖ に対する比は、全体 ΑΒ の全体 ΓΔ に対する比と同じであると仮定されている。 したがって、残りの ΕΒ の残りの ΖΔ に対する比も、全体 ΑΒ の全体 ΓΔ に対する比と同じであるであろう。 したがって、もし全体と全体の比が、引かれたものと引かれたものの比と同じであるならば、残りと残りの比もまた、全体と全体の比と同じであるであろう。
. Πόρισμα
ἐκ δὴ τούτου φανερόν, ὅτι ἐὰν συγκείμενα μεγέθη ἀνάλογον ᾖ, καὶ ἀναστρέψαντι ἀνάλογον ἔσται·
. 系これより、もし合成された大きさが比例するなら、反転された比も比例することは明らかである。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。
§5.prop.20ἐὰν ᾖ τρία μεγέθη καὶ ἄλλα αὐτοῖς ἴσα τὸ πλῆθος, σύνδυο λαμβανόμενα καὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ, διʼ ἴσου δὲ τὸ πρῶτον τοῦ τρίτου μεῖζον ᾖ, καὶ τὸ τέταρτον τοῦ ἕκτου μεῖζον ἔσται, κἂν ἴσον, ἴσον, κἂν ἔλαττον, ἔλαττον.
もし三つの大きさがあり、それらと同数の他の大きさがあって、二つずつ取られ、かつ同じ比にあり、等比において第一のものが第三のものより大きいならば、第四のものも第六のものより大きいであろう、また等しければ等しく、小さければ小さいであろう。
ἔστω τρία μεγέθη τὰ Α, Β, Γ, καὶ ἄλλα αὐτοῖς ἴσα τὸ πλῆθος τὰ Δ, Ε, Ζ, σύνδυο λαμβανόμενα ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ, ὡς μὲν τὸ Α πρὸς τὸ Β, οὕτως τὸ Δ πρὸς τὸ Ε, ὡς δὲ τὸ Β πρὸς τὸ Γ, οὕτως τὸ Ε πρὸς τὸ Ζ, διʼ ἴσου δὲ μεῖζον ἔστω τὸ Α τοῦ Γ·
三つの大きさを Α, Β, Γ とし、それらと同数の他の大きさを Δ, Ε, Ζ とせよ。 これらは二つずつ同じ比で取られている、すなわち、Α の Β に対する比は Δ の Ε に対する比と同じであり、Β の Γ に対する比は Ε の Ζ に対する比と同じであるとせよ。 そして等比において、Α が Γ より大きいとせよ。
λέγω, ὅτι καὶ τὸ Δ τοῦ Ζ μεῖζον ἔσται, κἂν ἴσον, ἴσον, κἂν ἔλαττον, ἔλαττον.
私は言う、Δ も Ζ より大きいであろう、また等しければ等しく、小さければ小さいであろうと。
ἐπεὶ γὰρ μεῖζόν ἐστι τὸ Α τοῦ Γ, ἄλλο δέ τι τὸ Β, τὸ δὲ μεῖζον πρὸς τὸ αὐτὸ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ἔλαττον, τὸ Α ἄρα πρὸς τὸ Β μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ Γ πρὸς τὸ Β. ἀλλʼ ὡς μὲν τὸ Α πρὸς τὸ Β, τὸ Δ πρὸς τὸ Ε, ὡς δὲ τὸ Γ πρὸς τὸ Β, ἀνάπαλιν οὕτως τὸ Ζ πρὸς τὸ Ε·
なぜなら、Α は Γ より大きく、Β は別の何かであるから、大きいものは同じものに対して、小さいものよりも大きい比を持つ。 したがって、Α の Β に対する比は、Γ の Β に対する比よりも大きい比を持つ。 ところで、Α の Β に対する比は Δ の Ε に対する比と同じであり、Γ の Β に対する比は、逆に Ζ の Ε に対する比と同じである。
καὶ τὸ Δ ἄρα πρὸς τὸ Ε μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ Ζ πρὸς τὸ Ε. τῶν δὲ πρὸς τὸ αὐτὸ λόγον ἐχόντων τὸ μείζονα λόγον ἔχον μεῖζόν ἐστιν.
したがって、Δ の Ε に対する比は、Ζ の Ε に対する比よりも大きい比を持つ。 ところで、同じものに対して比を持つもののうち、より大きい比を持つものがより大きい。
μεῖζον ἄρα τὸ Δ τοῦ Ζ. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι κἂν ἴσον ᾖ τὸ Α τῷ Γ, ἴσον ἔσται καὶ τὸ Δ τῷ Ζ, κἂν ἔλαττον, ἔλαττον.
したがって、Δ は Ζ より大きい。 同様にして、もし Α が Γ に等しければ、Δ も Ζ に等しく、小さければ小さいことを示すことができる。
ἐὰν ἄρα ᾖ τρία μεγέθη καὶ ἄλλα αὐτοῖς ἴσα τὸ πλῆθος, σύνδυο λαμβανόμενα καὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ, διʼ ἴσου δὲ τὸ πρῶτον τοῦ τρίτου μεῖζον ᾖ, καὶ τὸ τέταρτον τοῦ ἕκτου μεῖζον ἔσται, κἂν ἴσον, ἴσον, κἂν ἔλαττον, ἔλαττον·
したがって、もし三つの大きさがあり、それらと同数の他の大きさがあって、二つずつ取られ、かつ同じ比にあり、等比において第一のものが第三のものより大きいならば、第四のものも第六のものより大きいであろう、また等しければ等しく、小さければ小さいであろう。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。