§5.prop.23ἐὰν ᾖ τρία μεγέθη καὶ ἄλλα αὐτοῖς ἴσα τὸ πλῆθος σύνδυο λαμβανόμενα ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ, ᾖ δὲ τεταραγμένη αὐτῶν ἡ ἀναλογία, καὶ διʼ ἴσου ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ ἔσται.
もし三つの大きさがあり、それらと同数の他の大きさがあって、二つずつ同じ比で取られ、それらの比が乱された比例であるならば、それらは等比においても同じ比にあるであろう。
ἔστω τρία μεγέθη τὰ Α, Β, Γ καὶ ἄλλα αὐτοῖς ἴσα τὸ πλῆθος σύνδυο λαμβανόμενα ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ τὰ Δ, Ε, Ζ, ἔστω δὲ τεταραγμένη αὐτῶν ἡ ἀναλογία, ὡς μὲν τὸ Α πρὸς τὸ Β, οὕτως τὸ Ε πρὸς τὸ Ζ, ὡς δὲ τὸ Β πρὸς τὸ Γ, οὕτως τὸ Δ πρὸς τὸ Ε·
三つの大きさを Α, Β, Γ とし、それらと同数の他の大きさを Δ, Ε, Ζ として、二つずつ同じ比で取られているとせよ。 そしてそれらの比例は乱されている、すなわち、Α の Β に対する比は Ε の Ζ に対する比と同じであり、Β の Γ に対する比は Δ の Ε に対する比と同じであるとせよ。
λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Γ, οὕτως τὸ Δ πρὸς τὸ Ζ.
εἰλήφθω τῶν μὲν Α, Β, Δ ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Η, Θ, Κ, τῶν δὲ Γ, Ε, Ζ ἄλλα, ἃ ἔτυχεν, ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Λ, Μ, Ν.
καὶ ἐπεὶ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσια τὰ Η, Θ τῶν Α, Β, τὰ δὲ μέρη τοῖς ὡσαύτως πολλαπλασίοις τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον, ἔστιν ἄρα ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Β, οὕτως τὸ Η πρὸς τὸ Θ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὡς τὸ Ε πρὸς τὸ Ζ, οὕτως τὸ Μ πρὸς τὸ Ν·
私は言う、Α の Γ に対する比は、Δ の Ζ に対する比と同じであると。 Α, Β, Δ の等倍のものとして Η, Θ, Κ を取り、Γ, Ε, Ζ の他の任意に選んだ等倍のものとして Λ, Μ, Ν を取れ。 そして、Η, Θ は Α, Β の等倍のものであり、部分は同様の倍数のものに対して同じ比を持つから、したがって、Α の Β に対する比は Η の Θ に対する比と同じである。 同じ理由によってまた、Ε の Ζ に対する比は Μ の Ν に対する比と同じである。
καί ἐστιν ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Β, οὕτως τὸ Ε πρὸς τὸ Ζ·
ところで、Α の Β に対する比は Ε の Ζ に対する比と同じである。
καὶ ὡς ἄρα τὸ Η πρὸς τὸ Θ, οὕτως τὸ Μ πρὸς τὸ Ν. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς τὸ Β πρὸς τὸ Γ, οὕτως τὸ δ πρὸς τὸ Ε, καὶ ἐναλλὰξ ὡς τὸ Β πρὸς τὸ Δ, οὕτως τὸ Γ πρὸς τὸ Ε. καὶ ἐπεὶ τὰ Θ, Κ τῶν Β, Δ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσια, τὰ δὲ μέρη τοῖς ἰσάκις πολλαπλασίοις τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον, ἔστιν ἄρα ὡς τὸ Β πρὸς τὸ Δ, οὕτως τὸ Θ πρὸς τὸ Κ. ἀλλʼ ὡς τὸ Β πρὸς τὸ Δ, οὕτως τὸ Γ πρὸς τὸ Ε·
したがってまた、Η の Θ に対する比は Μ の Ν に対する比と同じである。 そして、Β の Γ に対する比は Δ の Ε に対する比と同じであるから、交互比例によって、Β の Δ に対する比は Γ の Ε に対する比と同じである。 そして、Θ, Κ は Β, Δ の等倍のものであり、部分は等倍のものに対して同じ比を持つから、したがって Β の Δ に対する比は Θ の Κ に対する比と同じである。 ところが、Β の Δ に対する比は Γ の Ε に対する比と同じであった。
καὶ ὡς ἄρα τὸ Θ πρὸς τὸ Κ, οὕτως τὸ Γ πρὸς τὸ Ε. πάλιν, ἐπεὶ τὰ Λ, Μ τῶν Γ, Ε ἰσάκις ἐστι πολλαπλάσια, ἔστιν ἄρα ὡς τὸ Γ πρὸς τὸ Ε, οὕτως τὸ Λ πρὸς τὸ Μ. ἀλλʼ ὡς τὸ Γ πρὸς τὸ Ε, οὕτως τὸ Θ πρὸς τὸ Κ·
したがってまた、Θ の Κ に対する比は Γ の Ε に対する比と同じである。 再び、Λ, Μ は Γ, Ε の等倍のものであるから、したがって Γ の Ε に対する比は Λ の Μ に対する比と同じである。 ところが、Γ の Ε に対する比は Θ の Κ に対する比と同じであった。
καὶ ὡς ἄρα τὸ Θ πρὸς τὸ Κ, οὕτως τὸ Λ πρὸς τὸ Μ, καὶ ἐναλλὰξ ὡς τὸ Θ πρὸς τὸ Λ, τὸ Κ πρὸς τὸ Μ. ἐδείχθη δὲ καὶ ὡς τὸ Η πρὸς τὸ Θ, οὕτως τὸ Μ πρὸς τὸ Ν. ἐπεὶ οὖν τρία μεγέθη ἐστὶ τὰ Η, Θ, Λ, καὶ ἄλλα αὐτοῖς ἴσα τὸ πλῆθος τὰ Κ, Μ, Ν σύνδυο λαμβανόμενα ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ, καί ἐστιν αὐτῶν τεταραγμένη ἡ ἀναλογία, διʼ ἴσου ἄρα, εἰ ὑπερέχει τὸ Η τοῦ Λ, ὑπερέχει καὶ τὸ Κ τοῦ Ν, καὶ εἰ ἴσον, ἴσον, καὶ εἰ ἔλαττον, ἔλαττον.
したがってまた、Θ の Κ に対する比は Λ の Μ に対する比と同じであり、交互比例によって、Θ の Λ に対する比は Κ の Μ に対する比と同じである。 ところで、Η の Θ に対する比は Μ の Ν に対する比と同じであることも示された。 したがって、三つの大きさ Η, Θ, Λ があり、それらと同数の他の大きさ Κ, Μ, Ν があって、二つずつ同じ比で取られており、それらの比例は乱されているから、したがって等比において、もし Η が Λ を超えるならば、Κ も Ν を超え、等しければ等しく、小さければ小さい。
καί ἐστι τὰ μὲν Η, Κ τῶν Α, Δ ἰσάκις πολλαπλάσια, τὰ δὲ Λ, Ν τῶν Γ, Ζ. ἔστιν ἄρα ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Γ, οὕτως τὸ Δ πρὸς τὸ Ζ.
ἐὰν ἄρα ᾖ τρία μεγέθη καὶ ἄλλα αὐτοῖς ἴσα τὸ πλῆθος σύνδυο λαμβανόμενα ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ, ᾖ δὲ τεταραγμένη αὐτῶν ἡ ἀναλογία, καὶ διʼ ἴσου ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ ἔσται·
そして Η, Κ は Α, Δ の等倍のものであり、Λ, Ν は Γ, Ζ の等倍のものである。 したがって、Α の Γ に対する比は Δ の Ζ に対する比と同じである。 したがって、もし三つの大きさがあり、それらと同数の他の大きさがあって、二つずつ同じ比で取られ、それらの比例が乱されたものであるならば、それらは等比においても同じ比にあるであろう。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。