§5.prop.21ἐὰν ᾖ τρία μεγέθη καὶ ἄλλα αὐτοῖς ἴσα τὸ πλῆθος σύνδυο λαμβανόμενα καὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ, ᾖ δὲ τεταραγμένη αὐτῶν ἡ ἀναλογία, διʼ ἴσου δὲ τὸ πρῶτον τοῦ τρίτου μεῖζον ᾖ, καὶ τὸ τέταρτον τοῦ ἕκτου μεῖζον ἔσται, κἂν ἴσον, ἴσον, κἂν ἔλαττον, ἔλαττον.
만일 세 크기가 있고 이들과 개수가 같은 다른 크기들이 있어서, 둘씩 쌍을 지어 같은 비를 가지고, 그들의 비례가 흐트러진 비례이며, 등비에서 첫째 크기가 셋째 크기보다 크다면, 넷째 크기도 여섯째 크기보다 클 것이며, 같으면 같고, 작으면 작을 것이다.
ἔστω τρία μεγέθη τὰ Α, Β, Γ καὶ ἄλλα αὐτοῖς ἴσα τὸ πλῆθος τὰ Δ, Ε, Ζ, σύνδυο λαμβανόμενα καὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ, ἔστω δὲ τεταραγμένη αὐτῶν ἡ ἀναλογία, ὡς μὲν τὸ Α πρὸς τὸ Β, οὕτως τὸ Ε πρὸς τὸ Ζ, ὡς δὲ τὸ Β πρὸς τὸ Γ, οὕτως τὸ Δ πρὸς τὸ Ε, διʼ ἴσου δὲ τὸ Α τοῦ Γ μεῖζον ἔστω·
세 크기를 A, B, Γ라 하고, 이들과 개수가 같은 다른 크기들을 Δ, E, Z라 하자. 이들은 둘씩 쌍을 지어 같은 비를 가지며, 그들의 비례는 흐트러져 있다고 하자. 즉, A가 B에 대하여 가지는 비는 E가 Z에 대하여 가지는 비와 같고, B가 Γ에 대하여 가지는 비는 Δ가 E에 대하여 가지는 비와 같다고 하자. 그리고 등비에서 A가 Γ보다 크다고 하자.
λέγω, ὅτι καὶ τὸ Δ τοῦ Ζ μεῖζον ἔσται, κἂν ἴσον, ἴσον, κἂν ἔλαττον, ἔλαττον.
나는 Δ도 Z보다 클 것이며, 같으면 같고, 작으면 작을 것이라고 말한다.
ἐπεὶ γὰρ μεῖζόν ἐστι τὸ Α τοῦ Γ, ἄλλο δέ τι τὸ Β, τὸ Α ἄρα πρὸς τὸ Β μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ Γ πρὸς τὸ Β. ἀλλʼ ὡς μὲν τὸ Α πρὸς τὸ Β, οὕτως τὸ Ε πρὸς τὸ Ζ, ὡς δὲ τὸ Γ πρὸς τὸ Β, ἀνάπαλιν οὕτως τὸ Ε πρὸς τὸ Δ. καὶ τὸ Ε ἄρα πρὸς τὸ Ζ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ Ε πρὸς τὸ Δ. πρὸς ὃ δὲ τὸ αὐτὸ μείζονα λόγον ἔχει, ἐκεῖνο ἔλασσόν ἐστιν·
왜냐하면 A는 Γ보다 크고 B는 다른 어떤 크기이므로, 따라서 A가 B에 대하여 가지는 비는 Γ가 B에 대하여 가지는 비보다 더 크다. 그런데 A가 B에 대하여 가지는 비는 E가 Z에 대하여 가지는 비와 같고, Γ가 B에 대하여 가지는 비는 역으로 E가 Δ에 대하여 가지는 비와 같다. 그러므로 E가 Z에 대하여 가지는 비는 E가 Δ에 대하여 가지는 비보다 더 크다. 그런데 같은 크기가 더 큰 비를 가지는 대상은 더 작다.
ἔλασσον ἄρα ἐστὶ τὸ Ζ τοῦ Δ· μεῖζον ἄρα ἐστὶ τὸ Δ τοῦ Ζ. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι κἂν ἴσον ᾖ τὸ Α τῷ Γ, ἴσον ἔσται καὶ τὸ Δ τῷ Ζ, κἂν ἔλαττον, ἔλαττον.
그러므로 Z는 Δ보다 작다, 따라서 Δ는 Z보다 크다. 마찬가지로 만일 A가 Γ와 같다면 Δ도 Z와 같을 것이며, 작으면 작을 것임을 보일 수 있다.
ἐὰν ἄρα ᾖ τρία μεγέθη καὶ ἄλλα αὐτοῖς ἴσα τὸ πλῆθος, σύνδυο λαμβανόμενα καὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ, ᾖ δὲ τεταραγμένη αὐτῶν ἡ ἀναλογία, διʼ ἴσου δὲ τὸ πρῶτον τοῦ τρίτου μεῖζον ᾖ, καὶ τὸ τέταρτον τοῦ ἕκτου μεῖζον ἔσται, κἂν ἴσον, ἴσον, κἂν ἔλαττον, ἔλαττον·
그러므로 만일 세 크기가 있고 이들과 개수가 같은 다른 크기들이 있어서, 둘씩 쌍을 지어 같은 비를 가지고 그들의 비례가 흐트러진 비례이며, 등비에서 첫째 크기가 셋째 크기보다 크다면, 넷째 크기도 여섯째 크기보다 클 것이며, 같으면 같고, 작으면 작을 것이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 보여야 할 것이었다.
§5.prop.22ἐὰν ᾖ ὁποσαοῦν μεγέθη καὶ ἄλλα αὐτοῖς ἴσα τὸ πλῆθος, σύνδυο λαμβανόμενα καὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ, καὶ διʼ ἴσου ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ ἔσται.
만일 몇 개든 임의의 개수의 크기들이 있고 이들과 개수가 같은 다른 크기들이 있어서, 둘씩 쌍을 지어 같은 비를 가진다면, 이들은 등비에서도 같은 비를 가질 것이다.
ἔστω ὁποσαοῦν μεγέθη τὰ Α, Β, Γ καὶ ἄλλα αὐτοῖς ἴσα τὸ πλῆθος τὰ Δ, Ε, Ζ, σύνδυο λαμβανόμενα ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ, ὡς μὲν τὸ Α πρὸς τὸ Β, οὕτως τὸ Δ πρὸς τὸ Ε, ὡς δὲ τὸ Β πρὸς τὸ Γ, οὕτως τὸ Ε πρὸς τὸ Ζ·
몇 개든 임의의 개수의 크기들을 A, B, Γ라 하고, 이들과 개수가 같은 다른 크기들을 Δ, E, Z라 하자. 이들은 둘씩 쌍을 지어 같은 비를 가진다, 즉 A가 B에 대하여 가지는 비는 Δ가 E에 대하여 가지는 비와 같고, B가 Γ에 대하여 가지는 비는 E가 Z에 대하여 가지는 비와 같다고 하자.
λέγω, ὅτι καὶ διʼ ἴσου ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ ἔσται.
나는 이들이 등비에서도 같은 비를 가질 것이라고 말한다.
εἰλήφθω γὰρ τῶν μὲν Α, Δ ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ η, Θ, τῶν δὲ Β, Ε ἄλλα, ἃ ἔτυχεν, ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Κ, Λ, καὶ ἔτι τῶν Γ, Ζ ἄλλα, ἃ ἔτυχεν, ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Μ, Ν.
καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Β, οὕτως τὸ Δ πρὸς τὸ Ε, καὶ εἴληπται τῶν μὲν Α, Δ ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ η, Θ, τῶν δὲ Β, Ε ἄλλα, ἃ ἔτυχεν, ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Κ, Λ, ἔστιν ἄρα ὡς τὸ Η πρὸς τὸ Κ, οὕτως τὸ Θ πρὸς τὸ Λ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὡς τὸ Κ πρὸς τὸ Μ, οὕτως τὸ Λ πρὸς τὸ Ν. ἐπεὶ οὖν τρία μεγέθη ἐστὶ τὰ Η, Κ, Μ, καὶ ἄλλα αὐτοῖς ἴσα τὸ πλῆθος τὰ Θ, Λ, Ν, σύνδυο λαμβανόμενα καὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ, διʼ ἴσου ἄρα, εἰ ὑπερέχει τὸ Η τοῦ Μ, ὑπερέχει καὶ τὸ Θ τοῦ Ν, καὶ εἰ ἴσον, ἴσον, καὶ εἰ ἔλαττον, ἔλαττον.
왜냐하면 A, Δ의 같배수로서 H, Θ를 취하고, B, E의 다른 임의의 같배수로서 K, Λ를 취하며, 다시 Γ, Z의 다른 임의의 같배수로서 M, N을 취하자. 그리고 A가 B에 대하여 가지는 비는 Δ가 E에 대하여 가지는 비와 같고, A, Δ의 같배수로서 H, Θ가 취해졌으며, B, E의 다른 임의의 같배수로서 K, Λ가 취해졌으므로, 따라서 H가 K에 대하여 가지는 비는 Θ가 Λ에 대하여 가지는 비와 같다. 같은 이유로 또한 K가 M에 대하여 가지는 비는 Λ가 N에 대하여 가지는 비와 같다. 그러므로 세 크기 H, K, M이 있고 이들과 개수가 같은 다른 크기들 Θ, Λ, N이 있어서, 둘씩 쌍을 지어 같은 비를 가지므로, 등비에 의하여, 만일 H가 M보다 크면 Θ도 N보다 크고, 같으면 같고, 작으면 작을 것이다.
καί ἐστι τὰ μὲν Η, Θ τῶν Α, Δ ἰσάκις πολλαπλάσια, τὰ δὲ Μ, Ν τῶν Γ, Ζ ἄλλα, ἃ ἔτυχεν, ἰσάκις πολλαπλάσια.
그리고 H, Θ는 A, Δ의 같배수이고, M, N은 Γ, Z의 다른 임의의 같배수이다.
ἔστιν ἄρα ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Γ, οὕτως τὸ Δ πρὸς τὸ Ζ.
ἐὰν ἄρα ᾖ ὁποσαοῦν μεγέθη καὶ ἄλλα αὐτοῖς ἴσα τὸ πλῆθος, σύνδυο λαμβανόμενα ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ, καὶ διʼ ἴσου ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ ἔσται·
그러므로 A가 Γ에 대하여 가지는 비는 Δ가 Z에 대하여 가지는 비와 같다. 그러므로 만일 몇 개든 임의의 개수의 크기들이 있고 이들과 개수가 같은 다른 크기들이 있어서, 둘씩 쌍을 지어 같은 비를 가진다면, 이들은 등비에서도 같은 비를 가질 것이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 보여야 할 것이었다.