§5.prop.13ἐὰν πρῶτον πρὸς δεύτερον τὸν αὐτὸν ἔχῃ λόγον καὶ τρίτον πρὸς τέταρτον, τρίτον δὲ πρὸς τέταρτον μείζονα λόγον ἔχῃ ἢ πέμπτον πρὸς ἕκτον, καὶ πρῶτον πρὸς δεύτερον μείζονα λόγον ἕξει ἢ πέμπτον πρὸς ἕκτον.
第一の大きさが第二の大きさに対して持つ比が、第三の大きさが第四の大きさに対して持つ比と同じであり、第三の大きさが第四の大きさに対して持つ比が、第五の大きさが第六の大きさに対して持つ比よりも大きいならば、第一の大きさが第二の大きさに対して持つ比も、第五の大きさが第六の大きさに対して持つ比よりも大きいであろう。
πρῶτον γὰρ τὸ Α πρὸς δεύτερον τὸ Β τὸν αὐτὸν ἐχέτω λόγον καὶ τρίτον τὸ Γ πρὸς τέταρτον τὸ Δ, τρίτον δὲ τὸ Γ πρὸς τέταρτον τὸ Δ μείζονα λόγον ἐχέτω ἢ πέμπτον τὸ Ε πρὸς ἕκτον τὸ Ζ. λέγω, ὅτι καὶ πρῶτον τὸ Α πρὸς δεύτερον τὸ Β μείζονα λόγον ἕξει ἤπερ πέμπτον τὸ Ε πρὸς ἕκτον τὸ Ζ.
ἐπεὶ γὰρ ἔστι τινὰ τῶν μὲν Γ, Ε ἰσάκις πολλαπλάσια, τῶν δὲ Δ, Ζ ἄλλα, ἃ ἔτυχεν, ἰσάκις πολλαπλάσια, καὶ τὸ μὲν τοῦ Γ πολλαπλάσιον τοῦ τοῦ Δ πολλαπλασίου ὑπερέχει, τὸ δὲ τοῦ Ε πολλαπλάσιον τοῦ τοῦ Ζ πολλαπλασίου οὐχ ὑπερέχει, εἰλήφθω, καὶ ἔστω τῶν μὲν Γ, Ε ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Η, Θ, τῶν δὲ Δ, Ζ ἄλλα, ἃ ἔτυχεν, ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Κ, Λ, ὥστε τὸ μὲν Η τοῦ Κ ὑπερέχειν, τὸ δὲ Θ τοῦ Λ μὴ ὑπερέχειν·
なぜなら、第一の A の第二の B に対する比は、第三の Γ の第四の Δ に対する比と同じであり、第三の Γ の第四の Δ に対する比は、第五の E の第六の Z に対する比よりも大きいとせよ。 私は言う、第一の A の第二の B に対する比も、第五の E の第六の Z に対する比よりも大きいであろうと。 なぜなら、Γ, E のある等倍数があり、Δ, Z の他の任意にとった等倍数があって、Γ の倍数が Δ の倍数より大きく、 E の倍数は Z の倍数より大きくはないので、それらを取ることにし、Γ, E の等倍数を H, Θ とし、Δ, Z の他の任意にとった等倍数を K, Λ とせよ。 ただし、 H が K より大きく、Θ が Λ より大きくはないように。
καὶ ὁσαπλάσιον μέν ἐστι τὸ Η τοῦ Γ, τοσαυταπλάσιον ἔστω καὶ τὸ Μ τοῦ Α, ὁσαπλάσιον δὲ τὸ Κ τοῦ Δ, τοσαυταπλάσιον ἔστω καὶ τὸ Ν τοῦ Β.
καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Β, οὕτως τὸ Γ πρὸς τὸ Δ, καὶ εἴληπται τῶν μὲν Α, Γ ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Μ, Η, τῶν δὲ Β, Δ ἄλλα, ἃ ἔτυχεν, ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Ν, Κ, εἰ ἄρα ὑπερέχει τὸ Μ τοῦ Ν, ὑπερέχει καὶ τὸ Η τοῦ Κ, καὶ εἰ ἴσον, ἴσον, καὶ εἰ ἔλαττον, ἔλαττον.
そして、H が Γ の何倍であるかと同じだけ、M も A の倍数であるとし、K が Δ の何倍であるかと同じだけ、N も B の倍数であるとせよ。 そして、A の B に対する比は Γ の Δ に対する比に等しく、A, Γ の等倍数 M, H が取られ、B, Δ の他の任意にとった等倍数 N, K が取られているので、もし M が N より大きければ H も K より大きく、等しければ等しく、小さければ小さい。
ὑπερέχει δὲ τὸ Η τοῦ Κ·
ところが、H は K より大きい。
ὑπερέχει ἄρα καὶ τὸ Μ τοῦ Ν. τὸ δὲ Θ τοῦ Λ οὐχ ὑπερέχει·
したがって、M も N より大きい。 しかし Θ は Λ より大きくはない。
καί ἐστι τὰ μὲν Μ, Θ τῶν Α, Ε ἰσάκις πολλαπλάσια, τὰ δὲ Ν, Λ τῶν Β, Ζ ἄλλα, ἃ ἔτυχεν, ἰσάκις πολλαπλάσια·
そして M, Θ は A, E の等倍数であり、N, Λ は B, Z の他の任意にとった等倍数である。
τὸ ἄρα Α πρὸς τὸ Β μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ Ε πρὸς τὸ Ζ.
ἐὰν ἄρα πρῶτον πρὸς δεύτερον τὸν αὐτὸν ἔχῃ λόγον καὶ τρίτον πρὸς τέταρτον, τρίτον δὲ πρὸς τέταρτον μείζονα λόγον ἔχῃ ἢ πέμπτον πρὸς ἕκτον, καὶ πρῶτον πρὸς δεύτερον μείζονα λόγον ἕξει ἢ πέμπτον πρὸς ἕκτον·
したがって、A の B に対する比は、E の Z に対する比よりも大きい。 したがって、もし第一の大きさが第二の大きさに対して持つ比が第三の大きさが第四の大きさに対して持つ比と同じであり、第三の大きさが第四の大きさに対して持つ比が、第五の大きさが第六の大きさに対して持つ比よりも大きいならば、第一の大きさが第二の大きさに対して持つ比も、第五の大きさが第六の大きさに対して持つ比よりも大きいであろう。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。
§5.prop.14ἐὰν πρῶτον πρὸς δεύτερον τὸν αὐτὸν ἔχῃ λόγον καὶ τρίτον πρὸς τέταρτον, τὸ δὲ πρῶτον τοῦ τρίτου μεῖζον ᾖ, καὶ τὸ δεύτερον τοῦ τετάρτου μεῖζον ἔσται, κἂν ἴσον, ἴσον, κἂν ἔλαττον, ἔλαττον.
もし第一の大きさが第二の大きさに対して持つ比が、第三の大きさが第四の大きさに対して持つ比と同じであり、第一の大きさが第三の大きさよりも大きいならば、第二の大きさも第四の大きさよりも大きいであろう。 また、もし等しければ等しく、小さければ小さいであろう。
πρῶτον γὰρ τὸ Α πρὸς δεύτερον τὸ Β τὸν αὐτὸν ἐχέτω λόγον καὶ τρίτον τὸ Γ πρὸς τέταρτον τὸ Δ, μεῖζον δὲ ἔστω τὸ Α τοῦ Γ·
なぜなら、第一の A の第二の B に対する比は、第三の Γ の第四の Δ に対する比と同じであり、A は Γ より大きいとせよ。
λέγω, ὅτι καὶ τὸ Β τοῦ Δ μεῖζόν ἐστιν.
私は言う、B も Δ より大きいと。
ἐπεὶ γὰρ τὸ Α τοῦ Γ μεῖζόν ἐστιν, ἄλλο δέ, ὃ ἔτυχεν, τὸ Β, τὸ Α ἄρα πρὸς τὸ Β μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ Γ πρὸς τὸ Β. ὡς δὲ τὸ Α πρὸς τὸ Β, οὕτως τὸ Γ πρὸς τὸ Δ·
なぜなら、A は Γ より大きく、他の任意にとった大きさ B があるので、A の B に対する比は、Γ の B に対する比よりも大きい。 そして、A の B に対する比は Γ の Δ に対する比に等しい。
καὶ τὸ Γ ἄρα πρὸς τὸ Δ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ Γ πρὸς τὸ Β. πρὸς ὃ δὲ τὸ αὐτὸ μείζονα λόγον ἔχει, ἐκεῖνο ἔλασσόν ἐστιν·
したがって、Γ の Δ に対する比も、Γ の B に対する比よりも大きい。 ところで、同じ大きさがより大きな比を持つ相手の大きさは、より小さい。
ἔλασσον ἄρα τὸ Δ τοῦ Β·
したがって、Δ は B より小さい。
ὥστε μεῖζόν ἐστι τὸ Β τοῦ Δ.
ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι κἂν ἴσον ᾖ τὸ Α τῷ Γ, ἴσον ἔσται καὶ τὸ Β τῷ Δ, κἂν ἔλασσον ᾖ τὸ Α τοῦ Γ, ἔλασσον ἔσται καὶ τὸ Β τοῦ Δ.
ἐὰν ἄρα πρῶτον πρὸς δεύτερον τὸν αὐτὸν ἔχῃ λόγον καὶ τρίτον πρὸς τέταρτον, τὸ δὲ πρῶτον τοῦ τρίτου μεῖζον ᾖ, καὶ τὸ δεύτερον τοῦ τετάρτου μεῖζον ἔσται, κἂν ἴσον, ἴσον, κἂν ἔλαττον, ἔλαττον·
ゆえに、B は Δ より大きい。 同様にして、もし A が Γ に等しければ、B も Δ に等しく、もし A が Γ より小さければ、B も Δ より小さいことを示すことができる。 したがって、もし第一の大きさが第二の大きさに対して持つ比が、第三の大きさが第四の大きさに対して持つ比と同じであり、第一の大きさが第三の大きさよりも大きいならば、第二の大きさも第四の大きさよりも大きいであろう。 また、もし等しければ等しく、小さければ小さいであろう。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。