§5.prop.17ἐὰν συγκείμενα μεγέθη ἀνάλογον ᾖ, καὶ διαιρεθέντα ἀνάλογον ἔσται.
もし合成された大きさが比例するなら、分離された大きさも比例するであろう。
ἔστω συγκείμενα μεγέθη ἀνάλογον τὰ ΑΒ, ΒΕ, ΓΔ, ΔΖ, ὡς τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΒΕ, οὕτως τὸ ΓΔ πρὸς τὸ ΔΖ·
合成された大きさを ΑΒ, ΒΕ, ΓΔ, ΔΖ とし、ΑΒ の ΒΕ に対する比は ΓΔ の ΔΖ に対する比と同じとせよ。
λέγω, ὅτι καὶ διαιρεθέντα ἀνάλογον ἔσται, ὡς τὸ ΑΕ πρὸς τὸ ΕΒ, οὕτως τὸ ΓΖ πρὸς τὸ ΔΖ.
εἰλήφθω γὰρ τῶν μὲν ΑΕ, ΕΒ, ΓΖ, ΖΔ ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ ΗΘ, ΘΚ, ΛΜ, ΜΝ, τῶν δὲ ΕΒ, ΖΔ ἄλλα, ἃ ἔτυχεν, ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ ΚΞ, ΝΠ.
καὶ ἐπεὶ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΗΘ τοῦ ΑΕ καὶ τὸ ΘΚ τοῦ ΕΒ, ἰσάκις ἄρα ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΗΘ τοῦ ΑΕ καὶ τὸ ΗΚ τοῦ ΑΒ. ἰσάκις δέ ἐστι πολλαπλάσιον τὸ ΗΘ τοῦ ΑΕ καὶ τὸ ΛΜ τοῦ ΓΖ·
私は言う、分離されたものも比例する、すなわち、ΑΕ の ΕΒ に対する比は ΓΖ の ΔΖ に対する比と同じであるであろうと。 なぜなら、ΑΕ, ΕΒ, ΓΖ, ΖΔ の等倍数 ΗΘ, ΘΚ, ΛΜ, ΜΝ を取り、ΕΒ, ΖΔ の他の任意にとった等倍数 ΚΞ, ΝΠ を取れ。 そして、ΗΘ が ΑΕ の、ΘΚ が ΕΒ の等倍数であるから、ΗΘ は ΑΕ の、ΗΚ は ΑΒ の等倍数である。 ところで、ΗΘ は ΑΕ の、ΛΜ は ΓΖ の等倍数である。
ἰσάκις ἄρα ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΗΚ τοῦ ΑΒ καὶ τὸ ΛΜ τοῦ ΓΖ. πάλιν, ἐπεὶ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΛΜ τοῦ ΓΖ καὶ τὸ ΜΝ τοῦ ΖΔ, ἰσάκις ἄρα ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΛΜ τοῦ ΓΖ καὶ τὸ ΛΝ τοῦ ΓΔ. ἰσάκις δὲ ἦν πολλαπλάσιον τὸ ΛΜ τοῦ ΓΖ καὶ τὸ ΗΚ τοῦ ΑΒ·
したがって、ΗΚ は ΑΒ の、ΛΜ は ΓΖ の等倍数である。 再び、ΛΜ が ΓΖ の、ΜΝ が ΖΔ の等倍数であるから、ΛΜ は ΓΖ の、ΛΝ は ΓΔ の等倍数である。 ところで、ΛΜ は ΓΖ の、ΗΚ は ΑΒ の等倍数であった。
ἰσάκις ἄρα ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΗΚ τοῦ ΑΒ καὶ τὸ ΛΝ τοῦ ΓΔ. τὰ ΗΚ, ΛΝ ἄρα τῶν ΑΒ, ΓΔ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσια.
したがって、ΗΚ は ΑΒ の、ΛΝ は ΓΔ の等倍数である。 したがって、ΗΚ, ΛΝ は ΑΒ, ΓΔ の等倍数である。
πάλιν, ἐπεὶ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΘΚ τοῦ ΕΒ καὶ τὸ ΜΝ τοῦ ΖΔ, ἔστι δὲ καὶ τὸ ΚΞ τοῦ ΕΒ ἰσάκις πολλαπλάσιον καὶ τὸ ΝΠ τοῦ ΖΔ, καὶ συντεθὲν τὸ ΘΞ τοῦ ΕΒ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον καὶ τὸ ΜΠ τοῦ ΖΔ. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΒΕ, οὕτως τὸ ΓΔ πρὸς τὸ ΔΖ, καὶ εἴληπται τῶν μὲν ΑΒ, ΓΔ ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ ΗΚ, ΛΝ, τῶν δὲ ΕΒ, ΖΔ ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ ΘΞ, ΜΠ, εἰ ἄρα ὑπερέχει τὸ ΗΚ τοῦ ΘΞ, ὑπερέχει καὶ τὸ ΛΝ τοῦ ΜΠ, καὶ εἰ ἴσον, ἴσον, καὶ εἰ ἔλαττον, ἔλαττον.
再び、ΘΚ が ΕΒ の、ΜΝ が ΖΔ の等倍数であり、ΚΞ も ΕΒ の、ΝΠ も ΖΔ の等倍数であるから、足し合わされた ΘΞ も ΕΒ の、ΜΠ も ΖΔ の等倍数である。 そして、 ΑΒ の ΒΕ に対する比は ΓΔ の ΔΖ に対する比と同じであり、ΑΒ, ΓΔ の等倍数 ΗΚ, ΛΝ が、また ΕΒ, ΖΔ の等倍数 ΘΞ, ΜΠ が取られているから、もし ΗΚ が ΘΞ より大きければ、ΛΝ も ΜΠ より大きく、等しければ等しく、小さければ小さい。
ὑπερεχέτω δὴ τὸ ΗΚ τοῦ ΘΞ, καὶ κοινοῦ ἀφαιρεθέντος τοῦ ΘΚ ὑπερέχει ἄρα καὶ τὸ ΗΘ τοῦ ΚΞ. ἀλλὰ εἰ ὑπερεῖχε τὸ ΗΚ τοῦ ΘΞ, ὑπερεῖχε καὶ τὸ ΛΝ τοῦ ΜΠ·
そこで、ΗΚ が ΘΞ より大きいとせよ。 共通のものとして ΘΚ を引けば、ΗΘ も ΚΞ より大きい。 ところで、もし ΗΚ が ΘΞ より大きければ、ΛΝ も ΜΠ より大きかった。
ὑπερέχει ἄρα καὶ τὸ ΛΝ τοῦ ΜΠ, καὶ κοινοῦ ἀφαιρεθέντος τοῦ ΜΝ ὑπερέχει καὶ τὸ ΛΜ τοῦ ΝΠ·
したがって、ΛΝ も ΜΠ より大きく、共通のものとして ΜΝ を引けば、ΛΜ も ΝΠ より大きい。
ὥστε εἰ ὑπερέχει τὸ ΗΘ τοῦ ΚΞ, ὑπερέχει καὶ τὸ ΛΜ τοῦ ΝΠ. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι κἂν ἴσον ᾖ τὸ ΗΘ τῷ ΚΞ, ἴσον ἔσται καὶ τὸ ΛΜ τῷ ΝΠ, κἂν ἔλαττον, ἔλαττον.
したがって、もし ΗΘ が ΚΞ より大きければ、ΛΜ も ΝΠ より大きい。 同様にして、もし ΗΘ が ΚΞ に等しければ、ΛΜ も ΝΠ に等しく、小さければ小さいことを示すことができる。
καί ἐστι τὰ μὲν ΗΘ, ΛΜ τῶν ΑΕ, ΓΖ ἰσάκις πολλαπλάσια, τὰ δὲ ΚΞ, ΝΠ τῶν ΕΒ, ΖΔ ἄλλα, ἃ ἔτυχεν, ἰσάκις πολλαπλάσια·
そして、ΗΘ, ΛΜ は ΑΕ, ΓΖ の等倍数であり、ΚΞ, ΝΠ は ΕΒ, ΖΔ の他の任意にとった等倍数である。
ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ΑΕ πρὸς τὸ ΕΒ, οὕτως τὸ ΓΖ πρὸς τὸ ΖΔ.
ἐὰν ἄρα συγκείμενα μεγέθη ἀνάλογον ᾖ, καὶ διαιρεθέντα ἀνάλογον ἔσται·
したがって、ΑΕ の ΕΒ に対する比は、ΓΖ の ΖΔ に対する比と同じである。 したがって、もし合成された大きさが比例するなら、分離された大きさも比例するであろう。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。
§5.prop.18ἐὰν διῃρημένα μεγέθη ἀνάλογον ᾖ, καὶ συντεθέντα ἀνάλογον ἔσται.
もし分離された大きさが比例するなら、合成された大きさも比例するであろう。
ἔστω διῃρημένα μεγέθη ἀνάλογον τὰ ΑΕ, ΕΒ, ΓΖ, ΖΔ, ὡς τὸ ΑΕ πρὸς τὸ ΕΒ, οὕτως τὸ ΓΖ πρὸς τὸ ΖΔ·
分離された大きさを ΑΕ, ΕΒ, ΓΖ, ΖΔ とし、ΑΕ の ΕΒ に対する比は ΓΖ の ΖΔ に対する比と同じとせよ。
λέγω, ὅτι καὶ συντεθέντα ἀνάλογον ἔσται, ὡς τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΒΕ, οὕτως τὸ ΓΔ πρὸς τὸ ΖΔ.
εἰ γὰρ μή ἐστιν ὡς τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΒΕ, οὕτως τὸ ΓΔ πρὸς τὸ ΔΖ, ἔσται ὡς τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΒΕ, οὕτως τὸ ΓΔ ἤτοι πρὸς ἔλασσόν τι τοῦ ΔΖ ἢ πρὸς μεῖζον.
私は言う、合成されたものも比例する、すなわち、ΑΒ の ΒΕ に対する比は ΓΔ の ΖΔ に対する比と同じであるであろうと。 なぜなら、もし ΑΒ の ΒΕ に対する比が、ΓΔ の ΔΖ に対する比と同じでないならば、ΑΒ の ΒΕ に対する比は、ΓΔ の、ΔΖ より小さいものに対する比、あるいはより大きいものに対する比と同じであろう。
ἔστω πρότερον πρὸς ἔλασσον τὸ ΔΗ. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΒΕ, οὕτως τὸ ΓΔ πρὸς τὸ ΔΗ, συγκείμενα μεγέθη ἀνάλογόν ἐστιν·
まず、より小さい ΔΗ に対する比と同じとせよ。 そして、ΑΒ の ΒΕ に対する比は ΓΔ の ΔΗ に対する比と同じであるから、合成された大きさは比例している。
ὥστε καὶ διαιρεθέντα ἀνάλογον ἔσται.
したがって、分離された大きさも比例するであろう。
ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ΑΕ πρὸς τὸ ΕΒ, οὕτως τὸ ΓΗ πρὸς τὸ ΗΔ. ὑπόκειται δὲ καὶ ὡς τὸ ΑΕ πρὸς τὸ ΕΒ, οὕτως τὸ ΓΖ πρὸς τὸ ΖΔ. καὶ ὡς ἄρα τὸ ΓΗ πρὸς τὸ ΗΔ, οὕτως τὸ ΓΖ πρὸς τὸ ΖΔ. μεῖζον δὲ τὸ πρῶτον τὸ ΓΗ τοῦ τρίτου τοῦ ΓΖ·
したがって、ΑΕ の ΕΒ に対する比は、ΓΗ の ΗΔ に対する比と同じである。 ところで、ΑΕ の ΕΒ に対する比は、ΓΖ の ΖΔ に対する比と同じであるとも仮定されている。 したがって、ΓΗ の ΗΔ に対する比も、ΓΖ の ΖΔ に対する比と同じである。 ところで、第一の ΓΗ は第三の ΓΖ より大きい。
μεῖζον ἄρα καὶ τὸ δεύτερον τὸ ΗΔ τοῦ τετάρτου τοῦ ΖΔ. ἀλλὰ καὶ ἔλαττον·
したがって、第二の ΗΔ も第四の ΖΔ より大きい。 しかし、小さくもある。
ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον·
これは不可能である。
οὐκ ἄρα ἐστὶν ὡς τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΒΕ, οὕτως τὸ ΓΔ πρὸς ἔλασσον τοῦ ΖΔ. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι οὐδὲ πρὸς μεῖζον·
したがって、ΑΒ の ΒΕ に対する比が、ΓΔ の、ΔΖ より小さいものに対する比と同じであることはない。 同様にして、より大きいものに対する比と同じでもないことを示すことができる。
πρὸς αὐτὸ ἄρα.
したがって、それ自体に対する比と同じである。
ἐὰν ἄρα διῃρημένα μεγέθη ἀνάλογον ᾖ, καὶ συντεθέντα ἀνάλογον ἔσται·
したがって、もし分離された大きさが比例するなら、合成された大きさも比例するであろう。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。