§4.prop.13εἰς τὸ δοθὲν πεντάγωνον, ὅ ἐστιν ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον, κύκλον ἐγγράψαι.
与えられた、等辺かつ等角な五角形に、円を内接させること。
ἔστω τὸ δοθὲν πεντάγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον τὸ ΑΒΓΔΕ·
与えられた等辺かつ等角な五角形をABΓΔEとせよ。
δεῖ δὴ εἰς τὸ ΑΒΓΔΕ πεντάγωνον κύκλον ἐγγράψαι.
五角形ABΓΔEに円を内接させねばならない。
τετμήσθω γὰρ ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΒΓΔ, ΓΔΕ γωνιῶν δίχα ὑπὸ ἑκατέρας τῶν ΓΖ, ΔΖ εὐθειῶν·
なぜなら、角BΓΔ, ΓΔEのそれぞれが、直線ΓZ, ΔZのそれぞれによって二等分されたとせよ。
καὶ ἀπὸ τοῦ Ζ σημείου, καθʼ ὃ συμβάλλουσιν ἀλλήλαις αἱ ΓΖ, ΔΖ εὐθεῖαι, ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΖΒ, ΖΑ, ΖΕ εὐθεῖαι.
そして、直線ΓZ, ΔZが互いに交わる点Zから、直線ZB, ZA, ZEが結ばれたとせよ。
καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΒΓ τῇ ΓΔ, κοινὴ δὲ ἡ ΓΖ, δύο δὴ αἱ ΒΓ, ΓΖ δυσὶ ταῖς ΔΓ, ΓΖ ἴσαι εἰσίν·
そして BΓはΓΔに等しく、ΓZは共通であるので、2つの辺BΓ, ΓZは2つの辺ΔΓ, ΓZにそれぞれ等しい。
καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΒΓΖ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΔΓΖ ἴση·
そして、角BΓZは角ΔΓZに等しい。
βάσις ἄρα ἡ ΒΖ βάσει τῇ ΔΖ ἐστιν ἴση, καὶ τὸ ΒΓΖ τρίγωνον τῷ ΔΓΖ τριγώνῳ ἐστιν ἴσον, καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι ταῖς λοιπαῖς γωνίαις ἴσαι ἔσονται, ὑφʼ ἃς αἱ ἴσαι πλευραὶ ὑποτείνουσιν·
したがって、底辺BZは底辺ΔZに等しく、三角形BΓZは三角形ΔΓZに等しい。 そして、残りの角も残りの角にそれぞれ等しい（それらは等しい辺が対面する角である）。
ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΓΒΖ γωνία τῇ ὑπὸ ΓΔΖ. καὶ ἐπεὶ διπλῆ ἐστιν ἡ ὑπὸ ΓΔΕ τῆς ὑπὸ ΓΔΖ, ἴση δὲ ἡ μὲν ὑπὸ ΓΔΕ τῇ ὑπὸ ΑΒΓ, ἡ δὲ ὑπὸ ΓΔΖ τῇ ὑπὸ ΓΒΖ, καὶ ἡ ὑπὸ ΓΒΑ ἄρα τῆς ὑπὸ ΓΒΖ ἐστι διπλῆ·
したがって、角ΓBZは角ΓΔZに等しい。 そして、角ΓΔEは角ΓΔZの2倍であり、角ΓΔEは角ABΓに等しく、角ΓΔZは角ΓBZに等しいので、したがって角ΓBAも角ΓBZの2倍である。
ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΒΖ γωνία τῇ ὑπὸ ΖΒΓ·
したがって、角ABZは角ZΒΓに等しい。
ἡ ἄρα ὑπὸ ΑΒΓ γωνία δίχα τέτμηται ὑπὸ τῆς ΒΖ εὐθείας.
したがって、角ABΓは直線BZによって二等分されている。
ὁμοίως δὴ δειχθήσεται, ὅτι καὶ ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΒΑΕ, ΑΕΔ δίχα τέτμηται ὑπὸ ἑκατέρας τῶν ΖΑ, ΖΕ εὐθειῶν.
同様にして、角BAE, AEΔのそれぞれも、直線ZA, ZEのそれぞれによって二等分されていることが示される。
ἤχθωσαν δὴ ἀπὸ τοῦ Ζ σημείου ἐπὶ τὰς ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΕ, ΕΑ εὐθείας κάθετοι αἱ ΖΗ, ΖΘ, ΖΚ, ΖΛ, ΖΜ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΘΓΖ γωνία τῇ ὑπὸ ΚΓΖ, ἐστὶ δὲ καὶ ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΖΘΓ τῇ ὑπὸ ΖΚΓ ἴση, δύο δὴ τρίγωνά ἐστι τὰ ΖΘΓ, ΖΚΓ τὰς δύο γωνίας δυσὶ γωνίαις ἴσας ἔχοντα καὶ μίαν πλευρὰν μιᾷ πλευρᾷ ἴσην κοινὴν αὐτῶν τὴν ΖΓ ὑποτείνουσαν ὑπὸ μίαν τῶν ἴσων γωνιῶν·
そこで、点Zから直線AB, BΓ, ΓΔ, ΔE, EAへと、垂線ZH, ZΘ, ZK, ZΛ, ZMが引かれたとせよ。 そして、角ΘΓZは角KΓZに等しく、また直角である角ZΘΓも角ZKΓに等しいので、2つの三角形ZΘΓ, ZKΓは、2つの角が 2つの角にそれぞれ等しく、1つの辺が1つの辺に等しく、それらの共通の辺ZΓは、等しい角の1つの下に対面している。
καὶ τὰς λοιπὰς ἄρα πλευρὰς ταῖς λοιπαῖς πλευραῖς ἴσας ἕξει·
したがって、残りの辺も残りの辺にそれぞれ等しい。
ἴση ἄρα ἡ ΖΘ κάθετος τῇ ΖΚ καθέτῳ.
したがって、垂線ZΘは垂線ZKに等しい。
ὁμοίως δὴ δειχθήσεται, ὅτι καὶ ἑκάστη τῶν ΖΛ, ΖΜ, ΖΗ ἑκατέρᾳ τῶν ΖΘ, ΖΚ ἴση ἐστίν·
同様にして、ZL, ZM, ZHのそれぞれも、ZΘ, ZKのそれぞれに等しいことが示される。
αἱ πέντε ἄρα εὐθεῖαι αἱ ΖΗ, ΖΘ, ΖΚ, ΖΛ, ΖΜ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν.
したがって、5つの直線ZH, ZΘ, ZK, ZΛ, ZMは互いに等しい。
ὁ ἄρα κέντρῳ τῷ Ζ διαστήματι δὲ ἑνὶ τῶν Η, Θ, Κ, Λ, Μ κύκλος γραφόμενος ἥξει καὶ διὰ τῶν λοιπῶν σημείων καὶ ἐφάψεται τῶν ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΕ, ΕΑ εὐθειῶν διὰ τὸ ὀρθὰς εἶναι τὰς πρὸς τοῖς Η, Θ, Κ, Λ, Μ σημείοις γωνίας.
したがって、中心Z、およびH, Θ, K, Λ, Mの1つへの距離をもって描かれる円は、残りの点をも通り、かつ直線AB, BΓ, ΓΔ, ΔE, EAに接する。 なぜなら、 H, Θ, K, Λ, Mにおける角が直角だからである。
εἰ γὰρ οὐκ ἐφάψεται αὐτῶν, ἀλλὰ τεμεῖ αὐτάς, συμβήσεται τὴν τῇ διαμέτρῳ τοῦ κύκλου πρὸς ὀρθὰς ἀπʼ ἄκρας ἀγομένην ἐντὸς πίπτειν τοῦ κύκλου· ὅπερ ἄτοπον ἐδείχθη.
なぜなら、もしそれらに接せず、それらを交わるならば、円の直径に対して端点から直角に引かれた直線が円の内部に落ちることになるが、これは不合理であると示されたからである。
οὐκ ἄρα ὁ κέντρῳ τῷ Ζ διαστήματι δὲ ἑνὶ τῶν η, Θ, Κ, Λ, Μ σημείων γραφόμενος κύκλος τεμεῖ τὰς ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΕ, ΕΑ εὐθείας·
したがって、中心Z、および H, Θ, K, Λ, Mの点の一つへの距離をもって描かれる円は、直線AB, BΓ, ΓΔ, ΔE, EAを交わることはない。
ἐφάψεται ἄρα αὐτῶν.
したがって、それらに接するであろう。
γεγράφθω ὡς ὁ ΗΘΚΛΜ.
εἰς ἄρα τὸ δοθὲν πεντάγωνον, ὅ ἐστιν ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον, κύκλος ἐγγέγραπται·
それをHΘKΛMとして描け。 したがって、与えられた、等辺かつ等角な五角形に、円が内接された。
ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
これこそなすべきことであった。
§4.prop.14περὶ τὸ δοθὲν πεντάγωνον, ὅ ἐστιν ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον, κύκλον περιγράψαι.
与えられた、等辺かつ等角な五角形に、円を外接させること。
ἔστω τὸ δοθὲν πεντάγωνον, ὅ ἐστιν ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον, τὸ ΑΒΓΔΕ·
与えられた、等辺かつ等角な五角形をABΓΔEとせよ。
δεῖ δὴ περὶ τὸ ΑΒΓΔΕ πεντάγωνον κύκλον περιγράψαι.
五角形ABΓΔEに円を外接させねばならない。
τετμήσθω δὴ ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΒΓΔ, ΓΔΕ γωνιῶν δίχα ὑπὸ ἑκατέρας τῶν ΓΖ, ΔΖ, καὶ ἀπὸ τοῦ Ζ σημείου, καθʼ ὃ συμβάλλουσιν αἱ εὐθεῖαι, ἐπὶ τὰ Β, Α, Ε σημεῖα ἐπεζεύχθωσαν εὐθεῖαι αἱ ΖΒ, ΖΑ, ΖΕ. ὁμοίως δὴ τῷ πρὸ τούτου δειχθήσεται, ὅτι καὶ ἑκάστη τῶν ὑπὸ ΓΒΑ, ΒΑΕ, ΑΕΔ γωνιῶν δίχα τέτμηται ὑπὸ ἑκάστης τῶν ΖΒ, ΖΑ, ΖΕ εὐθειῶν.
そこで、角BΓΔ, ΓΔEのそれぞれが、ΓZ, ΔZのそれぞれによって二等分されたとせよ。 そして、それらの直線が交わる点Zから、点B, A, Eへと、直線ZB, ZA, ZEが結ばれたとせよ。 これの前のものと同様にして、角ΓBA, BAE, AEΔのそれぞれも、直線ZB, ZA, ZEのそれぞれによって二等分されていることが示される。
καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΓΔ γωνία τῇ ὑπὸ ΓΔΕ, καί ἐστι τῆς μὲν ὑπὸ ΒΓΔ ἡμίσεια ἡ ὑπὸ ΖΓΔ, τῆς δὲ ὑπὸ ΓΔΕ ἡμίσεια ἡ ὑπὸ ΓΔΖ, καὶ ἡ ὑπὸ ΖΓΔ ἄρα τῇ ὑπὸ ΖΔΓ ἐστιν ἴση·
そして、角BΓΔは角ΓΔEに等しく、角BΓΔの半分は角ZΓΔであり、角ΓΔEの半分は角ΓΔZであるので、したがって角ZΓΔも角ZΔΓに等しい。
ὥστε καὶ πλευρὰ ἡ ΖΓ πλευρᾷ τῇ ΖΔ ἐστιν ἴση.
したがって、辺ZΓも辺ZΔに等しい。
ὁμοίως δὴ δειχθήσεται, ὅτι καὶ ἑκάστη τῶν ΖΒ, ΖΑ, ΖΕ ἑκατέρᾳ τῶν ΖΓ, ΖΔ ἐστιν ἴση·
同様にして、ZB, ZA, ZEのそれぞれも、ZΓ, ZΔのそれぞれに等しいことが示される。
αἱ πέντε ἄρα εὐθεῖαι αἱ ΖΑ, ΖΒ, ΖΓ, ΖΔ, ΖΕ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν.
したがって、5つの直線ZA, ZB, ZΓ, ZΔ, ZEは互いに等しい。
ὁ ἄρα κέντρῳ τῷ Ζ καὶ διαστήματι ἑνὶ τῶν ΖΑ, ΖΒ, ΖΓ, ΖΔ, ΖΕ κύκλος γραφόμενος ἥξει καὶ διὰ τῶν λοιπῶν σημείων καὶ ἔσται περιγεγραμμένος.
したがって、中心Z、およびZA, ZB, ZΓ, ZΔ, ZEの1つへの距離をもって描かれる円は、残りの点をも通り、外接することになる。
περιγεγράφθω καὶ ἔστω ὁ ΑΒΓΔΕ.
περὶ ἄρα τὸ δοθὲν πεντάγωνον, ὅ ἐστιν ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον, κύκλος περιγέγραπται·
それを外接させ、ABΓΔEとせよ。 したがって、与えられた、等辺かつ等角な五角形に、円が外接された。
ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
これこそなすべきことであった。