§4.prop.11εἰς τὸν δοθέντα κύκλον πεντάγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον ἐγγράψαι.
与えられた円に、等辺かつ等角な五角形を内接させること。
ἔστω ὁ δοθεὶς κύκλος ὁ ΑΒΓΔΕ·
与えられた円をABΓΔEとせよ。
δεῖ δὴ εἰς τὸν ΑΒΓΔΕ κύκλον πεντάγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον ἐγγράψαι.
円ABΓΔEに等辺かつ等角な五角形を内接させねばならない。
Ἐκκείσθω τρίγωνον ἰσοσκελὲς τὸ ΖΗΘ διπλασίονα ἔχον ἑκατέραν τῶν πρὸς τοῖς Η, Θ γωνιῶν τῆς πρὸς τῷ Ζ, καὶ ἐγγεγράφθω εἰς τὸν ΑΒΓΔΕ κύκλον τῷ ΖΗΘ τριγώνῳ ἰσογώνιον τρίγωνον τὸ ΑΓΔ, ὥστε τῇ μὲν πρὸς τῷ Ζ γωνίᾳ ἴσην εἶναι τὴν ὑπὸ ΓΑΔ, ἑκατέραν δὲ τῶν πρὸς τοῖς Η, Θ ἴσην ἑκατέρᾳ τῶν ὑπὸ ΑΓΔ, ΓΔΑ·
2つの角H, Θのそれぞれが角Zの2倍であるような二等辺三角形ZHΘが置かれたとせよ。 そして、三角形ZHΘと等角な三角形AΓΔが円ABΓΔEに内接されたとせよ。 すなわち、角Zに角ΓAΔが等しくなり、2つの角H, Θのそれぞれが2つの角AΓΔ, ΓΔAのそれぞれに等しくなるように。
καὶ ἑκατέρα ἄρα τῶν ὑπὸ ΑΓΔ, ΓΔΑ τῆς ὑπὸ ΓΑΔ ἐστι διπλῆ.
したがって、角AΓΔ, ΓΔAのそれぞれも角ΓAΔの 2倍である。
τετμήσθω δὴ ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΑΓΔ, ΓΔΑ δίχα ὑπὸ ἑκατέρας τῶν ΓΕ, ΔΒ εὐθειῶν, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΒ, ΒΓ,, ΔΕ, ΕΑ.
ἐπεὶ οὖν ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΑΓΔ, ΓΔΑ γωνιῶν διπλασίων ἐστὶ τῆς ὑπὸ ΓΑΔ, καὶ τετμημέναι εἰσὶ δίχα ὑπὸ τῶν ΓΕ, ΔΒ εὐθειῶν, αἱ πέντε ἄρα γωνίαι αἱ ὑπὸ ΔΑΓ, ΑΓΕ, ΕΓΔ, ΓΔΒ, ΒΔΑ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν.
そこで、角AΓΔ, ΓΔAのそれぞれが、2つの直線ΓE, ΔBのそれぞれによって2等分されたとせよ。 そして、AB, BΓ,, ΔE, EAが結ばれたとせよ。 そこで、角AΓΔ, ΓΔAのそれぞれの角が角ΓAΔの2倍であり、それらが直線ΓE, ΔBによって2等分されているので、したがって5つの角ΔAΓ, AΓE, EΓΔ, ΓΔB, BΔAは互いに等しい。
αἱ δὲ ἴσαι γωνίαι ἐπὶ ἴσων περιφερειῶν βεβήκασιν·
ところが、等しい角は等しい弧の上に立つ。
αἱ πέντε ἄρα περιφέρειαι αἱ ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΕ, ΕΑ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν.
したがって、5つの弧AB, BΓ, ΓΔ, ΔE, EAは互いに等しい。
ὑπὸ δὲ τὰς ἴσας περιφερείας ἴσαι εὐθεῖαι ὑποτείνουσιν·
そして、等しい弧の下には等しい直線が張る。
αἱ πέντε ἄρα εὐθεῖαι αἱ ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΕ, ΕΑ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν·
したがって、5つの直線AB, BΓ, ΓΔ, ΔE, EAは互いに等しい。
ἰσόπλευρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓΔΕ πεντάγωνον.
したがって、五角形ABΓΔEは等辺である。
λέγω δή, ὅτι καὶ ἰσογώνιον.
さらに、等角でもあると主張する。
ἐπεὶ γὰρ ἡ ΑΒ περιφέρεια τῇ ΔΕ περιφερείᾳ ἐστὶν ἴση, κοινὴ προσκείσθω ἡ ΒΓΔ·
なぜなら、弧ABが弧ΔEに等しいので、共通のものとして弧BΓΔが加えられたとせよ。
ὅλη ἄρα ἡ ΑΒΓΔ περιφέρεια ὅλῃ τῇ ΕΔΓΒ περιφερείᾳ ἐστὶν ἴση.
したがって、弧ABΓΔ全体は、弧EΔΓB 全体に等しい。
καὶ βέβηκεν ἐπὶ μὲν τῆς ΑΒΓΔ περιφερείας γωνία ἡ ὑπὸ ΑΕΔ, ἐπὶ δὲ τῆς ΕΔΓΒ περιφερείας γωνία ἡ ὑπὸ ΒΑΕ·
そして、弧ABΓΔの上には角AEΔが立っており、弧EΔΓBの上には角BAEが立っている。
καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΕ ἄρα γωνία τῇ ὑπὸ ΑΕΔ ἐστιν ἴση.
したがって、角BAEも角AEΔに等しい。
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἑκάστη τῶν ὑπὸ ΑΒΓ, ΒΓΔ, ΓΔΕ γωνιῶν ἑκατέρᾳ τῶν ὑπὸ ΒΑΕ, ΑΕΔ ἐστιν ἴση·
これと同じ理由により、角ABΓ, BΓΔ, ΓΔEのそれぞれも、角BAE, AEΔのそれぞれに等しい。
ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓΔΕ πεντάγωνον.
したがって、五角形ABΓΔEは等角である。
ἐδείχθη δὲ καὶ ἰσόπλευρον.
そして、等辺であることも示された。
εἰς ἄρα τὸν δοθέντα κύκλον πεντάγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον ἐγγέγραπται·
したがって、与えられた円に等辺かつ等角な五角形が内接された。
ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
これこそなすべきことであった。