§3.prop.32ἐὰν κύκλου ἐφάπτηταί τις εὐθεῖα, ἀπὸ δὲ τῆς ἁφῆς εἰς τὸν κύκλον διαχθῇ τις εὐθεῖα τέμνουσα τὸν κύκλον, ἃς ποιεῖ γωνίας πρὸς τῇ ἐφαπτομένῃ, ἴσαι ἔσονται ταῖς ἐν τοῖς ἐναλλὰξ τοῦ κύκλου τμήμασι γωνίαις.
もしある直線が円に接し、その接点から円の中へ、円を切るある直線が引かれるならば、それが接線となす角は、交互の円の弓形の中にある角に等しいであろう。
κύκλου γὰρ τοῦ ΑΒΓΔ ἐφαπτέσθω τις εὐθεῖα ἡ ΕΖ κατὰ τὸ Β σημεῖον, καὶ ἀπὸ τοῦ Β σημείου διήχθω τις εὐθεῖα εἰς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον τέμνουσα αὐτὸν ἡ ΒΔ. λέγω, ὅτι ἃς ποιεῖ γωνίας ἡ ΒΔ μετὰ τῆς ΕΖ ἐφαπτομένης, ἴσαι ἔσονται ταῖς ἐν τοῖς ἐναλλὰξ τμήμασι τοῦ κύκλου γωνίαις, τουτέστιν, ὅτι ἡ μὲν ὑπὸ ΖΒΔ γωνία ἴση ἐστὶ τῇ ἐν τῷ ΒΑΔ τμήματι συνισταμένῃ γωνίᾳ, ἡ δὲ ὑπὸ ΕΒΔ γωνία ἴση ἐστὶ τῇ ἐν τῷ ΔΓΒ τμήματι συνισταμένῃ γωνίᾳ.
円 ΑΒΓΔ にある直線 ΕΖ が点 Β において接しているとし、点 Β から円 ΑΒΓΔ へ、それを切るある直線 ΒΔ が引かれているとせよ。 私は、 ΒΔ が接線 ΕΖ となす角は、その円の交互の弓形の中にある角に等しい、すなわち、角 ΖΒΔ は弓形 ΒΑΔ の中に作られる角に等しく、角 ΕΒΔ は弓形 ΔΓΒ の中に作られる角に等しいと主張する。
ἤχθω γὰρ ἀπὸ τοῦ Β τῇ ΕΖ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΒΑ, καὶ εἰλήφθω ἐπὶ τῆς ΒΔ περιφερείας τυχὸν σημεῖον τὸ Γ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΔ, ΔΓ, ΓΒ.
καὶ ἐπεὶ κύκλου τοῦ ΑΒΓΔ ἐφάπτεταί τις εὐθεῖα ἡ ΕΖ κατὰ τὸ Β, καὶ ἀπὸ τῆς ἁφῆς ἦκται τῇ ἐφαπτομένῃ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΒΑ, ἐπὶ τῆς ΒΑ ἄρα τὸ κέντρον ἐστὶ τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου.
なぜなら、Β から ΕΖ に対し垂直に ΒΑ が引かれたとし、弧 ΒΔ の上に任意の点 Γ が取られたとし、ΑΔ, ΔΓ, ΓΒ が結ばれたとせよ。 そして、円 ΑΒΓΔ にある直線 ΕΖ が Β において接しており、その接点から接線に対して垂直に ΒΑ が引かれているから、円 ΑΒΓΔ の中心は ΒΑ の上にある。
ἡ ΒΑ ἄρα διάμετρός ἐστι τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου·
したがって、ΒΑ は円 ΑΒΓΔ の直径である。
ἡ ἄρα ὑπὸ ΑΔΒ γωνία ἐν ἡμικυκλίῳ οὖσα ὀρθή ἐστιν.
したがって、半円の中にある角 ΑΔΒ は直角である。
λοιπαὶ ἄρα αἱ ὑπὸ ΒΑΔ, ΑΒΔ μιᾷ ὀρθῇ ἴσαι εἰσίν.
したがって、残りの［角］ ΒΑΔ, ΑΒΔ は1直角に等しい。
ἐστὶ δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΑΒΖ ὀρθή·
ところで、角 ΑΒΖ も直角である。
ἡ ἄρα ὑπὸ ΑΒΖ ἴση ἐστὶ ταῖς ὑπὸ ΒΑΔ, ΑΒΔ. κοινὴ ἀφῃρήσθω ἡ ὑπὸ ΑΒΔ·
したがって、角 ΑΒΖ は［角］ ΒΑΔ, ΑΒΔ に等しい。 共通の［角］ ΑΒΔ が引かれたとせよ。
λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΔΒΖ γωνία ἴση ἐστὶ τῇ ἐν τῷ ἐναλλὰξ τμήματι τοῦ κύκλου γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΒΑΔ. καὶ ἐπεὶ ἐν κύκλῳ τετράπλευρόν ἐστι τὸ ΑΒΓΔ, αἱ ἀπεναντίον αὐτοῦ γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν.
したがって、残りの角 ΔΒΖ は、円の交互の弓形の中にある角である［角］ ΒΑΔ に等しい。 そして、円の内接四角形は ΑΒΓΔ であるから、その対角は 2直角に等しい。
εἰσὶ δὲ καὶ αἱ ὑπὸ ΔΒΖ, ΔΒΕ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι·
ところで、角 ΔΒΖ, ΔΒΕ も2直角に等しい。
αἱ ἄρα ὑπὸ ΔΒΖ, ΔΒΕ ταῖς ὑπὸ ΒΑΔ, ΒΓΔ ἴσαι εἰσίν, ὧν ἡ ὑπὸ ΒΑΔ τῇ ὑπὸ ΔΒΖ ἐδείχθη ἴση·
したがって、［角］ ΔΒΖ, ΔΒΕ は［角］ ΒΑΔ, ΒΓΔ に等しい。 これらのうち、角 ΒΑΔ は角 ΔΒΖ に等しいと示された。
λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΔΒΕ τῇ ἐν τῷ ἐναλλὰξ τοῦ κύκλου τμήματι τῷ ΔΓΒ τῇ ὑπὸ ΔΓΒ γωνίᾳ ἐστὶν ἴση.
したがって、残りの角 ΔΒΕ は、円の交互の弓形である ΔΓΒ の中にある角である角 ΔΓΒ に等しい。
ἐὰν ἄρα κύκλου ἐφάπτηταί τις εὐθεῖα, ἀπὸ δὲ τῆς ἁφῆς εἰς τὸν κύκλον διαχθῇ τις εὐθεῖα τέμνουσα τὸν κύκλον, ἃς ποιεῖ γωνίας πρὸς τῇ ἐφαπτομένῃ, ἴσαι ἔσονται ταῖς ἐν τοῖς ἐναλλὰξ τοῦ κύκλου τμήμασι γωνίαις·
したがって、もしある直線が円に接し、その接点から円の中へ、円を切るある直線が引かれるならば、それが接線となす角は、交互の円の弓形の中にある角に等しいであろう。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきであった。