§3.prop.32ἐὰν κύκλου ἐφάπτηταί τις εὐθεῖα, ἀπὸ δὲ τῆς ἁφῆς εἰς τὸν κύκλον διαχθῇ τις εὐθεῖα τέμνουσα τὸν κύκλον, ἃς ποιεῖ γωνίας πρὸς τῇ ἐφαπτομένῃ, ἴσαι ἔσονται ταῖς ἐν τοῖς ἐναλλὰξ τοῦ κύκλου τμήμασι γωνίαις.
만약 어떤 직선이 원에 접하고, 접점으로부터 원 안으로 원을 자르는 어떤 직선이 그려진다면, 그것이 접선과 만드는 각들은 그 원의 교대하는 활꼴들 안의 각들과 같을 것이다.
κύκλου γὰρ τοῦ ΑΒΓΔ ἐφαπτέσθω τις εὐθεῖα ἡ ΕΖ κατὰ τὸ Β σημεῖον, καὶ ἀπὸ τοῦ Β σημείου διήχθω τις εὐθεῖα εἰς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον τέμνουσα αὐτὸν ἡ ΒΔ. λέγω, ὅτι ἃς ποιεῖ γωνίας ἡ ΒΔ μετὰ τῆς ΕΖ ἐφαπτομένης, ἴσαι ἔσονται ταῖς ἐν τοῖς ἐναλλὰξ τμήμασι τοῦ κύκλου γωνίαις, τουτέστιν, ὅτι ἡ μὲν ὑπὸ ΖΒΔ γωνία ἴση ἐστὶ τῇ ἐν τῷ ΒΑΔ τμήματι συνισταμένῃ γωνίᾳ, ἡ δὲ ὑπὸ ΕΒΔ γωνία ἴση ἐστὶ τῇ ἐν τῷ ΔΓΒ τμήματι συνισταμένῃ γωνίᾳ.
왜냐하면 어떤 직선 ΕΖ가 원 ΑΒΓΔ에 점 Β에서 접한다고 하고, 점 Β로부터 원 ΑΒΓΔ 안으로 그것을 자르는 어떤 직선 ΒΔ가 그려졌다고 하자. 나는 ΒΔ가 접선 ΕΖ와 만드는 각들이 그 원의 교대하는 활꼴들 안의 각들과 같을 것이라고 주장한다. 즉, 각 ΖΒΔ는 활꼴 ΒΑΔ 안에 만들어진 각과 같고, 각 ΕΒΔ는 활꼴 ΔΓΒ 안에 만들어진 각과 같다고 주장한다.
ἤχθω γὰρ ἀπὸ τοῦ Β τῇ ΕΖ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΒΑ, καὶ εἰλήφθω ἐπὶ τῆς ΒΔ περιφερείας τυχὸν σημεῖον τὸ Γ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΔ, ΔΓ, ΓΒ.
καὶ ἐπεὶ κύκλου τοῦ ΑΒΓΔ ἐφάπτεταί τις εὐθεῖα ἡ ΕΖ κατὰ τὸ Β, καὶ ἀπὸ τῆς ἁφῆς ἦκται τῇ ἐφαπτομένῃ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΒΑ, ἐπὶ τῆς ΒΑ ἄρα τὸ κέντρον ἐστὶ τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου.
왜냐하면 Β로부터 ΕΖ에 수직으로 ΒΑ가 그려졌다고 하고, 호 ΒΔ 위에 임의의 점 Γ가 잡혔다고 하며, ΑΔ, ΔΓ, ΓΒ가 연결되었다고 하자. 그리고 직선 ΕΖ가 원 ΑΒΓΔ에 Β에서 접하고, 그 접점으로부터 접선에 수직으로 ΒΑ가 그려졌으므로, 원 ΑΒΓΔ의 중심은 ΒΑ 위에 있다.
ἡ ΒΑ ἄρα διάμετρός ἐστι τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου·
그러므로 ΒΑ는 원 ΑΒΓΔ의 지름이다.
ἡ ἄρα ὑπὸ ΑΔΒ γωνία ἐν ἡμικυκλίῳ οὖσα ὀρθή ἐστιν.
그러므로 반원 안의 각인 각 ΑΔΒ는 직각이다.
λοιπαὶ ἄρα αἱ ὑπὸ ΒΑΔ, ΑΒΔ μιᾷ ὀρθῇ ἴσαι εἰσίν.
그러므로 남은 각 ΒΑΔ, ΑΒΔ는 한 직각과 같다.
ἐστὶ δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΑΒΖ ὀρθή·
그런데 각 ΑΒΖ 역시 직각이다.
ἡ ἄρα ὑπὸ ΑΒΖ ἴση ἐστὶ ταῖς ὑπὸ ΒΑΔ, ΑΒΔ. κοινὴ ἀφῃρήσθω ἡ ὑπὸ ΑΒΔ·
그러므로 각 ΑΒΖ는 각 ΒΑΔ, ΑΒΔ의 합과 같다. 공통인 각 ΑΒΔ가 빼졌다고 하자.
λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΔΒΖ γωνία ἴση ἐστὶ τῇ ἐν τῷ ἐναλλὰξ τμήματι τοῦ κύκλου γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΒΑΔ. καὶ ἐπεὶ ἐν κύκλῳ τετράπλευρόν ἐστι τὸ ΑΒΓΔ, αἱ ἀπεναντίον αὐτοῦ γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν.
그러므로 남은 각 ΔΒΖ는 원의 교대하는 활꼴 안의 각인 각 ΒΑΔ와 같다. 그리고 원 안의 사각형은 ΑΒΓΔ이므로, 그것의 대 각들의 합은 두 직각과 같다.
εἰσὶ δὲ καὶ αἱ ὑπὸ ΔΒΖ, ΔΒΕ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι·
그런데 각 ΔΒΖ, ΔΒΕ 역시 두 직각과 같다.
αἱ ἄρα ὑπὸ ΔΒΖ, ΔΒΕ ταῖς ὑπὸ ΒΑΔ, ΒΓΔ ἴσαι εἰσίν, ὧν ἡ ὑπὸ ΒΑΔ τῇ ὑπὸ ΔΒΖ ἐδείχθη ἴση·
그러므로 각 ΔΒΖ, ΔΒΕ는 각 ΒΑΔ, ΒΓΔ의 합과 같다. 이 중 각 ΒΑΔ는 각 ΔΒΖ와 같음이 증명되었다.
λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΔΒΕ τῇ ἐν τῷ ἐναλλὰξ τοῦ κύκλου τμήματι τῷ ΔΓΒ τῇ ὑπὸ ΔΓΒ γωνίᾳ ἐστὶν ἴση.
그러므로 남은 각 ΔΒΕ는 원의 교대하는 활꼴인 ΔΓΒ 안의 각인 각 ΔΓΒ와 같다.
ἐὰν ἄρα κύκλου ἐφάπτηταί τις εὐθεῖα, ἀπὸ δὲ τῆς ἁφῆς εἰς τὸν κύκλον διαχθῇ τις εὐθεῖα τέμνουσα τὸν κύκλον, ἃς ποιεῖ γωνίας πρὸς τῇ ἐφαπτομένῃ, ἴσαι ἔσονται ταῖς ἐν τοῖς ἐναλλὰξ τοῦ κύκλου τμήμασι γωνίαις·
그러므로 만약 어떤 직선이 원에 접하고, 접점으로부터 원 안으로 원을 자르는 어떤 직선이 그려진다면, 그것이 접선과 만드는 각들은 그 원의 교대하는 활꼴들 안의 각들과 같을 것이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 바이다.