§3.prop.31ἐν κύκλῳ ἡ μὲν ἐν τῷ ἡμικυκλίῳ γωνία ὀρθή ἐστιν, ἡ δὲ ἐν τῷ μείζονι τμήματι ἐλάττων ὀρθῆς, ἡ δὲ ἐν τῷ ἐλάττονι τμήματι μείζων ὀρθῆς·
円において、半円の中にある角は直角であり、大きい方の弓形の中にある［角］は直角より小さく、小さい方の弓形の中にある［角］は直角より大きい。
καὶ ἔτι ἡ μὲν τοῦ μείζονος τμήματος γωνία μείζων ἐστὶν ὀρθῆς, ἡ δὲ τοῦ ἐλάττονος τμήματος γωνία ἐλάττων ὀρθῆς.
さらに、大きい方の弓形の角は直角より大きく、小さい方の弓形の角は直角より小さい。
ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓΔ, διάμετρος δὲ αὐτοῦ ἔστω ἡ ΒΓ, κέντρον δὲ τὸ Ε, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΑ, ΑΓ, ΑΔ, ΔΓ·
円を ΑΒΓΔ とし、その直径を ΒΓ、中心を Ε とせよ。 そして ΒΑ, ΑΓ, ΑΔ, ΔΓ が結ばれたとせよ。
λέγω, ὅτι ἡ μὲν ἐν τῷ ΒΑΓ ἡμικυκλίῳ γωνία ἡ ὑπὸ ΒΑΓ ὀρθή ἐστιν, ἡ δὲ ἐν τῷ ΑΒΓ μείζονι τοῦ ἡμικυκλίου τμήματι γωνία ἡ ὑπὸ ΑΒΓ ἐλάττων ἐστὶν ὀρθῆς, ἡ δὲ ἐν τῷ ΑΔΓ ἐλάττονι τοῦ ἡμικυκλίου τμήματι γωνία ἡ ὑπὸ ΑΔΓ μείζων ἐστὶν ὀρθῆς.
私は、半円 ΒΑΓ の中にある角 ΒΑΓ は直角であり、半円より大きい弓形 ΑΒΓ の中にある角 ΑΒΓ は直角より小さく、半円より小さい弓形 ΑΔΓ の中にある角 ΑΔΓ は直角より大きいと主張する。
ἐπεζεύχθω ἡ ΑΕ, καὶ διήχθω ἡ ΒΑ ἐπὶ τὸ Ζ.
καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΒΕ τῇ ΕΑ, ἴση ἐστὶ καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΒΕ τῇ ὑπὸ ΒΑΕ. πάλιν, ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΓΕ τῇ ΕΑ, ἴση ἐστὶ καὶ ἡ ὑπὸ ΑΓΕ τῇ ὑπὸ ΓΑΕ·
ΑΕ が結ばれたとし、ΒΑ が Ζ まで延長されたとせよ。 そして、ΒΕ は ΕΑ に等しいから、角 ΑΒΕ も角 ΒΑΕ に等しい。 再び、ΓΕ は ΕΑ に等しいから、［角］ ΑΓΕ も［角］ ΓΑΕ に等しい。
ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΑΓ δυσὶ ταῖς ὑπὸ ΑΒΓ, ΑΓΒ ἴση ἐστίν.
したがって、角 ΒΑΓ 全体は 2つの［角］ ΑΒΓ, ΑΓΒ に等しい。
ἐστὶ δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΖΑΓ ἐκτὸς τοῦ ΑΒΓ τριγώνου δυσὶ ταῖς ὑπὸ ΑΒΓ, ΑΓΒ γωνίαις ἴση·
ところで、三角形 ΑΒΓ の外角である［角］ ΖΑΓ も2つの角 ΑΒΓ, ΑΓΒ に等しい。
ἴση ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΖΑΓ·
したがって、角 ΒΑΓ も角 ΖΑΓ に等しい。
ὀρθὴ ἄρα ἑκατέρα·
したがって各々は直角である。
ἡ ἄρα ἐν τῷ ΒΑΓ ἡμικυκλίῳ γωνία ἡ ὑπὸ ΒΑΓ ὀρθή ἐστιν.
したがって半円 ΒΑΓ の中にある角 ΒΑΓ は直角である。
καὶ ἐπεὶ τοῦ ΑΒΓ τριγώνου δύο γωνίαι αἱ ὑπὸ ΑΒΓ, ΒΑΓ δύο ὀρθῶν ἐλάττονές εἰσιν, ὀρθὴ δὲ ἡ ὑπὸ ΒΑΓ, ἐλάττων ἄρα ὀρθῆς ἐστιν ἡ ὑπὸ ΑΒΓ γωνία·
そして、三角形 ΑΒΓ の2つの角 ΑΒΓ, ΒΑΓ は2直角より小さく、角 ΒΑΓ は直角であるから、角 ΑΒΓ は直角より小さい。
καί ἐστιν ἐν τῷ ΑΒΓ μείζονι τοῦ ἡμικυκλίου τμήματι.
そしてそれは半円より大きい弓形 ΑΒΓ の中にある。
καὶ ἐπεὶ ἐν κύκλῳ τετράπλευρόν ἐστι τὸ ΑΒΓΔ, τῶν δὲ ἐν τοῖς κύκλοις τετραπλεύρων αἱ ἀπεναντίον γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν, καί ἐστιν ἡ ὑπὸ ΑΒΓ ἐλάττων ὀρθῆς·
そして、円の内接四角形は ΑΒΓΔ であり、円に内接する四角形の対角は2直角に等しく、角 ΑΒΓ は直角より小さいから、残りの角 ΑΔΓ は直角より大きい。
λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΔΓ γωνία μείζων ὀρθῆς ἐστιν· καί ἐστιν ἐν τῷ ΑΔΓ ἐλάττονι τοῦ ἡμικυκλίου τμήματι.
そしてそれは半円より小さい弓形 ΑΔΓ の中にある。
λέγω, ὅτι καὶ ἡ μὲν τοῦ μείζονος τμήματος γωνία ἡ περιεχομένη ὑπό τῆς ΑΒΓ περιφερείας καὶ τῆς ΑΓ εὐθείας μείζων ἐστὶν ὀρθῆς, ἡ δὲ τοῦ ἐλάττονος τμήματος γωνία ἡ περιεχομένη ὑπό τῆς ΑΔ περιφερείας καὶ τῆς ΑΓ εὐθείας ἐλάττων ἐστὶν ὀρθῆς.
私は、大きい方の弓形の角、すなわち弧 ΑΒΓ と直線 ΑΓ によって囲まれる［角］は直角より大きく、小さい方の弓形の角、すなわち弧 ΑΔ と直線 ΑΓ によって囲まれる［角］は直角より小さいと主張する。
καί ἐστιν αὐτόθεν φανερόν.
そしてこのことはそれ自体で明らかである。
ἐπεὶ γὰρ ἡ ὑπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ εὐθειῶν ὀρθή ἐστιν, ἡ ἄρα ὑπὸ τῆς ΑΒΓ περιφερείας καὶ τῆς ΑΓ εὐθείας περιεχομένη μείζων ἐστὶν ὀρθῆς.
なぜなら、直線 ΒΑ, ΑΓ によって挟まれる［角］は直角であるから、弧 ΑΒΓ と直線 ΑΓ によって囲まれる［角］は直角より大きい。
πάλιν, ἐπεὶ ἡ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΑΖ εὐθειῶν ὀρθή ἐστιν, ἡ ἄρα ὑπὸ τῆς ΓΑ εὐθείας καὶ τῆς ΑΔ περιφερείας περιεχομένη ἐλάττων ἐστὶν ὀρθῆς.
再び、直線 ΑΓ, ΑΖ によって挟まれる［角］は直角であるから、直線 ΓΑ と弧 ΑΔ によって囲まれる［角］は直角より小さい。
ἐν κύκλῳ ἄρα ἡ μὲν ἐν τῷ ἡμικυκλίῳ γωνία ὀρθή ἐστιν, ἡ δὲ ἐν τῷ μείζονι τμήματι ἐλάττων ὀρθῆς, ἡ δὲ ἐν τῷ ἐλάττονι μείζων ὀρθῆς, καὶ ἔτι ἡ μὲν τοῦ μείζονος τμήματος μείζων ὀρθῆς, ἡ δὲ τοῦ ἐλάττονος τμήματος ἐλάττων ὀρθῆς·
したがって、円において、半円の中にある角は直角であり、大きい方の弓形の中にある［角］は直角より小さく、小さい方の［弓形の中にある角］は直角より大きい。 さらに、大きい方の弓形の［角］は直角より大きく、小さい方の弓形の［角］は直角より小さい。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきであった。