§3.prop.33ἐπὶ τῆς δοθείσης εὐθείας γράψαι τμῆμα κύκλου δεχόμενον γωνίαν ἴσην τῇ δοθείσῃ γωνίᾳ εὐθυγράμμῳ.
与えられた直線の上に、与えられた直線角に等しい角を受け入れる円の弓形を描くこと。
ἔστω ἡ δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ ΑΒ, ἡ δὲ δοθεῖσα γωνία εὐθύγραμμος ἡ πρὸς τῷ Γ·
与えられた直線を ΑΒ とし、与えられた直線角を Γ におけるものとせよ。
δεῖ δὴ ἐπὶ τῆς δοθείσης εὐθείας τῆς ΑΒ γράψαι τμῆμα κύκλου δεχόμενον γωνίαν ἴσην τῇ πρὸς τῷ Γ.
ἡ δὴ πρὸς τῷ Γ ἤτοι ὀξεῖά ἐστιν ἢ ὀρθὴ ἢ ἀμβλεῖα·
このとき、与えられた直線 ΑΒ の上に、Γ における角に等しい角を受け入れる円の弓形を描かなければならない。 さて、Γ における角は、鋭角であるか、直角であるか、鈍角であるかのいずれかである。
ἔστω πρότερον ὀξεῖα, καὶ ὡς ἐπὶ τῆς πρώτης καταγραφῆς συνεστάτω πρὸς τῇ ΑΒ εὐθείᾳ καὶ τῷ α σημείῳ τῇ πρὸς τῷ Γ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ ΒΑΔ·
まず鋭角であるとし、第1の図にあるように、直線 ΑΒ と点 Α において、Γ における角に等しい角 ΒΑΔ が作られたとせよ。
ὀξεῖα ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΔ. ἤχθω τῇ ΔΑ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΑΕ, καὶ τετμήσθω ἡ ΑΒ δίχα κατὰ τὸ Ζ, καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Ζ σημείου τῇ ΑΒ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΖΗ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΗΒ.
καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΖ τῇ ΖΒ, κοινὴ δὲ ἡ ΖΗ, δύο δὴ αἱ ΑΖ, ΖΗ δύο ταῖς ΒΖ, ΖΗ ἴσαι εἰσίν·
したがって、［角］ ΒΑΔ も鋭角である。 ΔΑ に対して垂直に ΑΕ が引かれたとし、ΑΒ が点 Ζ において2等分されたとし、点 Ζ から ΑΒ に対して垂直に ΖΗ が引かれたとし、 ΗΒ が結ばれたとせよ。 そして、ΑΖ は ΖΒ に等しく、ΖΗ は共通であるから、2つの［直線］ ΑΖ, ΖΗ は2つの［直線］ ΒΖ, ΖΗ にそれぞれ等しい。
καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΖΗ τῇ ὑπὸ ΒΖΗ ἴση·
そして、角 ΑΖΗ は角 ΒΖΗ に等しい。
βάσις ἄρα ἡ ΑΗ βάσει τῇ ΒΗ ἴση ἐστίν.
したがって、底辺 ΑΗ は底辺 ΒΗ に等しい。
ὁ ἄρα κέντρῳ μὲν τῷ Η διαστήματι δὲ τῷ ΗΑ κύκλος γραφόμενος ἥξει καὶ διὰ τοῦ Β. γεγράφθω καὶ ἔστω ὁ ΑΒΕ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΕΒ. ἐπεὶ οὖν ἀπʼ ἄκρας τῆς ΑΕ διαμέτρου ἀπὸ τοῦ Α τῇ ΑΕ πρὸς ὀρθάς ἐστιν ἡ ΑΔ, ἡ ΑΔ ἄρα ἐφάπτεται τοῦ ΑΒΕ κύκλου·
したがって、Η を中心とし、ΗΑ を半径として描かれる円は、Β も通るであろう。 それが描かれたとし、それを ΑΒΕ とせよ。 そして、ΕΒ が結ばれたとせよ。 さて、直径 ΑΕ の端点である Α から、ΑΕ に対して垂直に ΑΔ があるから、ΑΔ は円 ΑΒΕ に接する。
ἐπεὶ οὖν κύκλου τοῦ ΑΒΕ ἐφάπτεταί τις εὐθεῖα ἡ ΑΔ, καὶ ἀπὸ τῆς κατὰ τὸ Α ἁφῆς εἰς τὸν ΑΒΕ κύκλον διῆκταί τις εὐθεῖα ἡ ΑΒ, ἡ ἄρα ὑπὸ ΔΑΒ γωνία ἴση ἐστὶ τῇ ἐν τῷ ἐναλλὰξ τοῦ κύκλου τμήματι γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΑΕΒ. ἀλλʼ ἡ ὑπὸ ΔΑΒ τῇ πρὸς τῷ Γ ἐστιν ἴση·
そこで、円 ΑΒΕ にある直線 ΑΔ が接しており、その接点 Α から円 ΑΒΕ の中へ、ある直線 ΑΒ が引かれているから、角 ΔΑΒ は、円の交互の弓形の中にある角である角 ΑΕΒ に等しい。 ところが、角 ΔΑΒ は Γ における角に等しい。
καὶ ἡ πρὸς τῷ Γ ἄρα γωνία ἴση ἐστὶ τῇ ὑπὸ ΑΕΒ.
ἐπὶ τῆς δοθείσης ἄρα εὐθείας τῆς ΑΒ τμῆμα κύκλου γέγραπται τὸ ΑΕΒ δεχόμενον γωνίαν τὴν ὑπὸ ΑΕΒ ἴσην τῇ δοθείσῃ τῇ πρὸς τῷ Γ.
ἀλλὰ δὴ ὀρθὴ ἔστω ἡ πρὸς τῷ Γ·
したがって、Γ における角も角 ΑΕΒ に等しい。 したがって、与えられた直線 ΑΒ の上に、与えられた Γ における角に等しい角 ΑΕΒ を受け入れる円の弓形 ΑΕΒ が描かれた。 次に、Γ における角が直角であるとせよ。
καὶ δέον πάλιν ἔστω ἐπὶ τῆς ΑΒ γράψαι τμῆμα κύκλου δεχόμενον γωνίαν ἴσην τῇ πρὸς τῷ Γ ὀρθῇ.
そして再び、ΑΒ の上に、Γ における直角に等しい角を受け入れる円の弓形を描くことが求められているとせよ。
συνεστάτω τῇ πρὸς τῷ Γ ὀρθῇ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ ΒΑΔ, ὡς ἔχει ἐπὶ τῆς δευτέρας καταγραφῆς, καὶ τετμήσθω ἡ ΑΒ δίχα κατὰ τὸ Ζ, καὶ κέντρῳ τῷ Ζ, διαστήματι δὲ ὁποτέρῳ τῶν ΖΑ, ΖΒ, κύκλος γεγράφθω ὁ ΑΕΒ.
ἐφάπτεται ἄρα ἡ ΑΔ εὐθεῖα τοῦ ΑΒΕ κύκλου διὰ τὸ ὀρθὴν εἶναι τὴν πρὸς τῷ Α γωνίαν.
第2の図にあるように、Γ における直角に等しい角 ΒΑΔ が作られたとし、 ΑΒ が点 Ζ において2等分されたとし、Ζ を中心とし、ΖΑ, ΖΒ のいずれかを半径とする円 ΑΕΒ が描かれたとせよ。 すると、直線 ΑΔ は円 ΑΒΕ に接する。 なぜなら、Α における角が直角だからである。
καὶ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΑΔ γωνία τῇ ἐν τῷ ΑΕΒ τμήματι·
そして、角 ΒΑΔ は弓形 ΑΕΒ の中にある角に等しい。
ὀρθὴ γὰρ καὶ αὐτὴ ἐν ἡμικυκλίῳ οὖσα.
なぜなら、それ自身も半円の中にあるので直角だからである。
ἀλλὰ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΔ τῇ πρὸς τῷ Γ ἴση ἐστίν.
ところが、［角］ ΒΑΔ は Γ における角にも等しい。
καὶ ἡ ἐν τῷ ΑΕΒ ἄρα ἴση ἐστὶ τῇ πρὸς τῷ Γ.
γέγραπται ἄρα πάλιν ἐπὶ τῆς ΑΒ τμῆμα κύκλου τὸ ΑΕΒ δεχόμενον γωνίαν ἴσην τῇ πρὸς τῷ Γ.
ἀλλὰ δὴ ἡ πρὸς τῷ Γ ἀμβλεῖα ἔστω·
したがって、弓形 ΑΕΒ の中にある角も、Γ における角に等しい。 したがって再び、与えられた直線 ΑΒ の上に、Γ における角に等しい角を受け入れる円の弓形 ΑΕΒ が描かれた。 次に、Γ における角が実のところ鈍角であるとせよ。
καὶ συνεστάτω αὐτῇ ἴση πρὸς τῇ ΑΒ εὐθείᾳ καὶ τῷ Α σημείῳ ἡ ὑπὸ ΒΑΔ, ὡς ἔχει ἐπὶ τῆς τρίτης καταγραφῆς, καὶ τῇ ΑΔ πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἡ ΑΕ, καὶ τετμήσθω πάλιν ἡ ΑΒ δίχα κατὰ τὸ Ζ, καὶ τῇ ΑΒ πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἡ ΖΗ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΗΒ.
καὶ ἐπεὶ πάλιν ἴση ἐστὶν ἡ ΑΖ τῇ ΖΒ, καὶ κοινὴ ἡ ΖΗ, δύο δὴ αἱ ΑΖ, ΖΗ δύο ταῖς ΒΖ, ΖΗ ἴσαι εἰσίν·
そして、第3の図にあるように、直線 ΑΒ と点 Α において、それに等しい角 ΒΑΔ が作られたとし、ΑΔ に対して垂直に ΑΕ が引かれたとし、再び ΑΒ が点 Ζ において2等分されたとし、ΑΒ に対して垂直に ΖΗ が引かれたとし、 ΗΒ が結ばれたとせよ。 そして再び、ΑΖ は ΖΒ に等しく、ΖΗ は共通であるから、2つの［直線］ ΑΖ, ΖΗ は2つの［直線］ ΒΖ, ΖΗ にそれぞれ等しい。
καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΖΗ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΒΖΗ ἴση·
そして、角 ΑΖΗ は角 ΒΖΗ に等しい。
βάσις ἄρα ἡ ΑΗ βάσει τῇ ΒΗ ἴση ἐστίν·
したがって、底辺 ΑΗ は底辺 ΒΗ に等しい。
ὁ ἄρα κέντρῳ μὲν τῷ η διαστήματι δὲ τῷ ΗΑ κύκλος γραφόμενος ἥξει καὶ διὰ τοῦ Β. ἐρχέσθω ὡς ὁ ΑΕΒ. καὶ ἐπεὶ τῇ ΑΕ διαμέτρῳ ἀπʼ ἄκρας πρὸς ὀρθάς ἐστιν ἡ ΑΔ, ἡ ΑΔ ἄρα ἐφάπτεται τοῦ ΑΕΒ κύκλου.
したがって、Η を中心とし、 ΗΑ を半径として描かれる円は、Β も通るであろう。 それが ΑΕΒ として通るとせよ。 そして、直径 ΑΕ の端点において ΑΔ が垂直であるから、ΑΔ は円 ΑΕΒ に接する。
καὶ ἀπὸ τῆς κατὰ τὸ Α ἐπαφῆς διῆκται ἡ ΑΒ· ἡ ἄρα ὑπὸ ΒΑΔ γωνία ἴση ἐστὶ τῇ ἐν τῷ ἐναλλὰξ τοῦ κύκλου τμήματι τῷ ΑΘΒ συνισταμένῃ γωνίᾳ.
そして、点 Α における接点から ΑΒ が引かれているから、角 ΒΑΔ は、円の交互の弓形である ΑΘΒ の中に作られる角に等しい。
ἀλλʼ ἡ ὑπὸ ΒΑΔ γωνία τῇ πρὸς τῷ Γ ἴση ἐστίν.
ところが、角 ΒΑΔ は Γ における角に等しい。
καὶ ἡ ἐν τῷ ΑΘΒ ἄρα τμήματι γωνία ἴση ἐστὶ τῇ πρὸς τῷ Γ.
ἐπὶ τῆς ἄρα δοθείσης εὐθείας τῆς ΑΒ γέγραπται τμῆμα κύκλου τὸ ΑΘΒ δεχόμενον γωνίαν ἴσην τῇ πρὸς τῷ Γ·
したがって、弓形 ΑΘΒ の中にある角も、Γ における角に等しい。 したがって、与えられた直線 ΑΒ の上に、Γ における角に等しい角を受け入れる円の弓形 ΑΘΒ が描かれた。
ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
これがなすべきことであった。