§2.prop.6ἐὰν εὐθεῖα γραμμὴ τμηθῇ δίχα, προστεθῇ δέ τις αὐτῇ εὐθεῖα ἐπʼ εὐθείας, τὸ ὑπὸ τῆς ὅλης σὺν τῇ προσκειμένῃ καὶ τῆς προσκειμένης περιεχόμενον ὀρθογώνιον μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ἡμισείας τετραγώνου ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς συγκειμένης ἔκ τε τῆς ἡμισείας καὶ τῆς προσκειμένης τετραγώνῳ.
もし直線が二等分され、別の直線がそれと一直線になるように付け加えられるならば、全体の直線と付け加えられた直線とによって囲まれる直角四辺形に、半分の線分から作られる正方形を加えたものは、半分と付け加えられた直線との和から作られる正方形に等しい。
εὐθεῖα γάρ τις ἡ ΑΒ τετμήσθω δίχα κατὰ τὸ Γ σημεῖον, προσκείσθω δέ τις αὐτῇ εὐθεῖα ἐπʼ εὐθείας ἡ ΒΔ·
なぜなら、ある直線ABがC点において二等分され、直線BDがそれと一直線になるように付け加えられているとする。
λέγω, ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ περιεχόμενον ὀρθογώνιον μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΒ τετραγώνου ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΓΔ τετραγώνῳ.
私は言う、AD, DBによって囲まれる直角四辺形と、CBから作られる正方形との和は、CDから作られる正方形に等しいと。
Ἀναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ τῆς ΓΔ τετράγωνον τὸ ΓΕΖΔ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΕ, καὶ διὰ μὲν τοῦ Β σημείου ὁποτέρᾳ τῶν ΕΓ, ΔΖ παράλληλος ἤχθω ἡ ΒΗ, διὰ δὲ τοῦ Θ σημείου ὁποτέρᾳ τῶν ΑΒ, ΕΖ παράλληλος ἤχθω ἡ ΚΜ, καὶ ἔτι διὰ τοῦ Α ὁποτέρᾳ τῶν ΓΛ, ΔΜ παράλληλος ἤχθω ἡ ΑΚ.
ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΑΓ τῇ ΓΒ, ἴσον ἐστὶ καὶ τὸ ΑΛ τῷ ΓΘ. ἀλλὰ τὸ ΓΘ τῷ ΘΖ ἴσον ἐστίν.
なぜなら、CDから正方形CEZDが記述され、DEが結ばれ、B点を通って EG, DZのいずれか一方に平行にBHが引かれ、Q点を通ってAB, EZのいずれか一方に平行にKMが引かれ、さらにAを通ってCL, DMのいずれか一方に平行にAKが引かれたとする。 したがって、ACはCBに等しいから、ALも CQに等しい。 しかし、CQはQZに等しい。
καὶ τὸ ΑΛ ἄρα τῷ ΘΖ ἐστιν ἴσον.
したがって、ALもQZに等しい。
κοινὸν προσκείσθω τὸ ΓΜ·
共通のCMが加えられたとせよ。
ὅλον ἄρα τὸ ΑΜ τῷ ΝΞΟ γνώμονί ἐστιν ἴσον.
したがって、全体のAMはグノーモンNXOに等しい。
ἀλλὰ τὸ ΑΜ ἐστι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ·
しかし、AMはAD, DBによるものである。
ἴση γάρ ἐστιν ἡ ΔΜ τῇ ΔΒ·
なぜなら、DMはDBに等しいからである。
καὶ ὁ ΝΞΟ ἄρα γνώμων ἴσος ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ.
したがって、グノーモンNXOもAD, DBによるものに等しい。
κοινὸν προσκείσθω τὸ ΛΗ, ὅ ἐστιν ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΒΓ τετραγώνῳ·
共通のLHが加えられたとせよ。 これはBCから作られる正方形に等しい。
τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ περιεχόμενον ὀρθογώνιον μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΒ τετραγώνου ἴσον ἐστὶ τῷ ΝΞΟ γνώμονι καὶ τῷ ΛΗ. ἀλλὰ ὁ ΝΞΟ γνώμων καὶ τὸ ΛΗ ὅλον ἐστὶ τὸ ΓΕΖΔ τετράγωνον, ὅ ἐστιν ἀπὸ τῆς ΓΔ·
したがって、AD, DBによって囲まれる直角四辺形と、CBから作られる正方形との和は、グノーモンNXOとLHとの和に等しい。 しかし、グノーモンNXOとLHは全体としては正方形CEZDであり、それはCDから作られるものである。
τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ περιεχόμενον ὀρθογώνιον μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΒ τετραγώνου ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΓΔ τετραγώνῳ.
したがって、AD, DBによって囲まれる直角四辺形と、CBから作られる正方形との和は、CDから作られる正方形に等しい。
ἐὰν ἄρα εὐθεῖα γραμμὴ τμηθῇ δίχα, προστεθῇ δέ τις αὐτῇ εὐθεῖα ἐπʼ εὐθείας, τὸ ὑπὸ τῆς ὅλης σὺν τῇ προσκειμένῃ καὶ τῆς προσκειμένης περιεχόμενον ὀρθογώνιον μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ἡμισείας τετραγώνου ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς συγκειμένης ἔκ τε τῆς ἡμισείας καὶ τῆς προσκειμένης τετραγώνῳ·
したがって、もし直線が二等分され、別の直線がそれと一直線になるように付け加えられるならば、全体の直線と付け加えられた直線とによって囲まれる直角四辺形に、半分の線分から作られる正方形を加えたものは、半分と付け加えられた直線との和から作られる正方形に等しい。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。
ἐὰν εὐθεῖα γραμμὴ τμηθῇ, ὡς ἔτυχεν, τὸ ἀπὸ τῆς ὅλης καὶ τὸ ἀφʼ ἑνὸς τῶν τμημάτων τὰ συναμφότερα τετράγωνα ἴσα ἐστὶ τῷ τε δὶς ὑπὸ τῆς ὅλης καὶ τοῦ εἰρημένου τμήματος περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ καὶ τῷ ἀπὸ τοῦ λοιποῦ τμήματος τετραγώνῳ.
もし直線が任意に分割されるならば、全体の直線から作られる正方形と、分割された線分の一方から作られる正方形との和は、全体の直線と前述の線分とによって囲まれる直角四辺形の二倍と、残りの線分から作られる正方形との和に等しい。
εὐθεῖα γάρ τις ἡ ΑΒ τετμήσθω, ὡς ἔτυχεν, κατὰ τὸ Γ σημεῖον·
なぜなら、ある直線ABが、任意にC点において分割されているとする。
λέγω, ὅτι τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ τετράγωνα ἴσα ἐστὶ τῷ τε δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΓΑ τετραγώνῳ.
私は言う、AB, BCから作られる正方形の和は、AB, BCによって囲まれる直角四辺形の二倍と、CAから作られる正方形との和に等しいと。
Ἀναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετράγωνον τὸ ΑΔΕΒ· καὶ καταγεγράφθω τὸ σχῆμα.
なぜなら、ABから正方形ADEBが記述され、図が描かれたとする。
ἐπεὶ οὖν ἴσον ἐστὶ τὸ ΑΗ τῷ ΗΕ, κοινὸν προσκείσθω τὸ ΓΖ·
したがって、AHはHEに等しいから、共通のCZが加えられたとせよ。
ὅλον ἄρα τὸ ΑΖ ὅλῳ τῷ ΓΕ ἴσον ἐστίν·
したがって、全体のAZは全体のCEに等しい。
τὰ ἄρα ΑΖ, ΓΕ διπλάσιά ἐστι τοῦ ΑΖ. ἀλλὰ τὰ ΑΖ, ΓΕ ὁ ΚΛΜ ἐστι γνώμων καὶ τὸ ΓΖ τετράγωνον·
したがって、AZ, CEはAZの二倍に等しい。 しかし、AZ, CEはグノーモンKLMと正方形CZである。
ὁ ΚΛΜ ἄρα γνώμων καὶ τὸ ΓΖ διπλάσιά ἐστι τοῦ ΑΖ. ἔστι δὲ τοῦ ΑΖ διπλάσιον καὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ·
したがって、グノーモンKLMと正方形CZはAZの二倍に等しい。 また、AB, BCによるものの二倍も、AZの二倍に等しい。
ἴση γὰρ ἡ ΒΖ τῇ ΒΓ·
なぜなら、BZはBCに等しいからである。
ὁ ἄρα ΚΛΜ γνώμων καὶ τὸ ΓΖ τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ. κοινὸν προσκείσθω τὸ ΔΗ, ὅ ἐστιν ἀπὸ τῆς ΑΓ τετράγωνον·
したがって、グノーモンKLMと正方形CZは AB, BCによるものの二倍に等しい。 共通のDHが加えられたとせよ。 これはACから作られる正方形である。
ὁ ἄρα ΚΛΜ γνώμων καὶ τὰ ΒΗ, ΗΔ τετράγωνα ἴσα ἐστὶ τῷ τε δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΓ τετραγώνῳ.
したがって、グノーモンKLMと正方形BH, HDの和は、AB, BCによって囲まれる直角四辺形の二倍と、ACから作られる正方形との和に等しい。
ἀλλὰ ὁ ΚΛΜ γνώμων καὶ τὰ ΒΗ, ΗΔ τετράγωνα ὅλον ἐστὶ τὸ ΑΔΕΒ καὶ τὸ ΓΖ, ἅ ἐστιν ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ τετράγωνα·
しかし、グノーモンKLMと正方形BH, HDは全体としては正方形ADEBとCZであり、それらはAB, BCから作られる正方形である。
τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ τετράγωνα ἴσα ἐστὶ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΓ τετραγώνου.
したがって、AB, BCから作られる正方形の和は、AB, BCによって囲まれる直角四辺形の二倍と、ACから作られる正方形との和に等しい。
ἐὰν ἄρα εὐθεῖα γραμμὴ τμηθῇ, ὡς ἔτυχεν, τὸ ἀπὸ τῆς ὅλης καὶ τὸ ἀφʼ ἑνὸς τῶν τμημάτων τὰ συναμφότερα τετράγωνα ἴσα ἐστὶ τῷ τε δὶς ὑπὸ τῆς ὅλης καὶ τοῦ εἰρημένου τμήματος περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ καὶ τῷ ἀπὸ τοῦ λοιποῦ τμήματος τετραγώνῳ·
したがって、もし直線が任意に分割されるならば、全体の直線から作られる正方形と、分割された線分の一方から作られる正方形との和は、全体の直線と前述の線分とによって囲まれる直角四辺形の二倍と、残りの線分から作られる正方形との和に等しい。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。